SEQUÊNCIAS – PA 01/2013

Competência, ética e cidadania
GOVERNO DO ESTADO DE PERNAMBUCO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO
UPE Campus Mata Norte
SEQUÊNCIAS – PA 01/2013
Aluno(a):
SEQUÊNCIAS
Veja e decida:







0, 2, 4, 6, ...
1, 3, 5, 7, ...
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...
1, 4, 9, 16, ...
2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200, ...
0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, 24, 28, ...
Seqüência é sucessão, encadeamento de fatos
que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia
conjuntos cujos elementos estão dispostos em
certa ordem, obedecendo a uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta
campeão mundial de futebol e os anos, em ordem
cronológica, em que ele foi campeão mundial são:
1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas
formam um conjunto com os elementos dispostos
numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o
conjunto de números reais dispostos em certa
ordem. Assim chamado de sequência numérica.
Exemplos:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a
seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a
seqüência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,
200) é uma seqüência de números que começa
com a letra D.
Matematicamente quando temos uma seqüência
numérica qualquer, representamos o seu 1º termo
por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo
termo an.
Exemplos:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 =
8; a5 = 10
A seqüência acima é uma seqüência finita sua
representação geral é (a1, a2, a3,..., an ), para as
seqüências que são infinitas a representação
geral é (a1, a2, a3, an, ... ).
nº
2º ano
Para determinarmos uma seqüência numérica
precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação an = 2n²
- 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo
que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por
esse motivo, an é chamado de termo geral da
sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo
valores para n, encontramos alguns termos da
seqüência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31
.
.
.
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda
seqüência numérica cujos termos a partir do
segundo, são iguais ao anterior somado com um
valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA
crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA
crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA
constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA
decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão
r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima
que: .............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada
termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem
n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro
termo da Progressão Aritmética – PA.
3º) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo
termo é 60, qual a razão?
Propriedades das Progressões Aritméticas
4º) Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8.
Qual o terceiro termo?
I - Numa PA, cada termo (a partir do segundo)
é a média aritmética dos termos vizinhos
deste.
5º) Determine o 4º termo da PA (x – 3, x – 1, ...)
6º) Quantos elementos tem a PA (-2, 3, ..., 43)?
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA
do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais
inteligente de resolver o problema é considerar
que a PA é do tipo:
7º) Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos
entre 100 e 1000?
8º) Determine valor de x para que os números, x²,
(x+2)² e (x+3)² sejam, nessa ordem, os três
primeiros termos de uma PA.
9º) Insira 6 meio aritméticos entre 100 e 184.
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
II - Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes
dos extremos é constante.
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r
= 2r
10º) Ao interpolarmos 10 meios aritméticos entre 2
e 79, qual é a razão obtida?
11º) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo formam uma PA de razão 5. Determine
as medidas dos lados desse triângulo.
Estas propriedades facilitam sobremaneira a
solução de problemas.
12º) As medidas dos ângulos internos de um
triângulo estão em PA de razão 20. Calcule as
medidas dos ângulos do triângulo.
Soma dos n primeiros termos de uma PA
13º) Calcule a soma dos 200 primeiros números
ímpares positivos.
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 +
... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da
aplicação da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
É claro que também poderemos escrever a
igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas
igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n
parcelas entre parênteses possuem o mesmo
valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1
+ an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos
da PA.
Daí então, vem finalmente que:
Exemplos:
14º) Qual é o número mínimo de termos que se
deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir
do primeiro termo, para que a soma seja
negativa?
15º) As medidas dos lados de um triângulo são
expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. ,
nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
16º) UFBA - Um relógio que bate de hora em hora
o número de vezes correspondente a cada hora,
baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o
dobro da terça parte de x.
17º)
A soma dos múltiplos positivos de 6
formados por 3 algarismos é:
18º) A soma dos 10 termos de uma PA é 200. Se
o primeiro termo dessa PA é 2, calcule a razão r
da PA.
19º) Determine o valor de x , na igual dade 2 + 7 +
... + 2x = 198, sabendo que as parcelas do 1º
membro estão em PA.
1º) Qual o milésimo número ímpar positivo?
2º) Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96,
... , 22) ?
20º) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora;
17 km na segunda hora, e assim por diante, em
progressão aritmética.
percorrerá em 5 horas?
Quantos
quilômetros
EXERCÍCIOS
01) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia
estão instalados telefones de emergência. Ao
longo da mesma rodovia e entre estes
quilômetros, pretende-se instalar 10 outros
telefones de emergência. Se os pontos adjacentes
de instalação dos telefones estão situados a uma
mesma distância, qual é esta distância, em
quilômetros?
02) Interpole três meios aritméticos entre 4 e 24:
03) Em uma PA, a1 = 5 e r = 4, calcule o vigésimo
termo e a soma dos 20 primeiros termos desta
PA:
04) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a
evolução de uma população de vírus. Ao final de
um minuto do início das observações, existia 1
elemento na população; ao final de dois minutos,
existiam 5, e assim por diante. A seguinte
seqüência de figuras apresenta as populações do
vírus (representado por um círculo) ao final de
cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo
que se manteve constante o ritmo de
desenvolvimento da população, o número de vírus
no final de 1 hora era de:
A) 241.
232.
B) 238.
C) 237.
D) 233.
E)
05) Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de
6.600 m. Para atingir esta altitude, ele ascende
1.000 m na primeira hora e, em cada hora
seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a
anterior.
Quantas horas leva o balonista para atingir a
altitude de vôo?
A) 112 horas B) 33 horas C) 8 horas D) 20 horas
E) 21 horas
06) Três números estão em progressão aritmética.
A soma dos três números é 21. Assinale a opção
que apresenta o valor correto do termo do meio.
A) 2.
B) 6.
C) 7.
D) 5.
E) 9.
07) Numa P.A., cujo 20 termo é igual a 5 e o 60
termo é igual a 13, o 200 termo é igual a:
A) 13
B) 40
C) 41
D) 42
E) nda.
08) Qual é a soma dos números pares
compreendidos entre 1 e 101?
A) 250 B) 2050 C) 2555 D) 2550 E) zero
09) Os números 10/x, x – 3 e x + 3 são os 3
primeiros termos de uma P.A., de termos
positivos, sendo x  0. O décimo termo desta P.A.
é igual a:
A) 50
B) 53
C) 54
D) 57
E) 55
10) (FGV-2000).Numa progressão aritmética (a1,
a2, a3, ..., an, ...), sabe-se que:
a17 = 4m +1
a18 = 15 – m/2
a19 = m2 + 5
Obtenha a razão desta progressão.
11) (FUVEST-2000) Sejam a, b, c três números
estritamente positivos em progressão aritmética.
Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(a, 0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor
de b é:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
12) Os ângulos internos de um triângulo estão em
progressão aritmética e o menor deles é a metade
do maior. O maior ângulo do triângulo mede:
A) 60o
B) 75o
C) 80o
D) 90o
E) 120o
13) (VUNESP-2000) Duas pequenas fábricas de
calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente,
3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a
partir de janeiro, a fábrica A aumentar
sucessivamente a produção em 70 pares por mês
e a fábrica B aumentar sucessivamente a
produção em 290 pares por mês, a produção da
fábrica B superará a produção da fábrica A a partir
de :
a) março. b) maio. c) julho. d) setembro. e)
outubro.
14) Os números que exprimem o lado, a diagonal
e a área de um quadrado estão em P.A., nessa
ordem. O lado do quadrado mede:
A) 21/2 B) 2.21/2 - 1 C) 1 + 21/2 D) 4 E) 2. 21/2
15) (UFSC) Numa P.A. de n termos, a soma do
primeiro com o de ordem n é 120. A soma do
sexto termo com o de ordem n - 5 é :
A) 120 B) 60n C) 90 D) [120(n + 1)]/n E) 120n
16) A soma dos 11 primeiros termos da
progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., an, ...) é 176.
Se a11 = a1 + 30 então, para qualquer n  N*
temos:
A) an = 3n - 2 B) an = 2n – 3 C) an = n + 3 D) an =
2n + 3 E) an = 3n + 2
17) A soma dos termos de uma P.A. é dada por Sn
= n2 - n, n = 1, 2, 3, .... Então o 10o termo da P.A.
vale:
A) 18
B) 90
C) 8
D) 100
E) 9
01
02
03
18 km
9,14 e 19
81-860
04
C
05
06
A
C
GABARITO
07
C
08
D
09
E
50 ou
10
0,5
11
E
12
C
13
14
15
E
B
A
16
A
17
A