Seqüências e séries - MTM

A - SEQÜÊNCIAS E SÉRIES - PARTE 1
1 - Exemplos iniciais
Situação 1
O xadrez foi inventado na Índia. Conta a história que quando o Imperador Chiran jogou
pela primeira vez este jogo, quis recompensar Seta, o inventor, no que ele desejasse. Seta
respondeu então "eu quero um grão de trigo para a primeira casa, dois grãos para a segunda
casa, quatro grãos para a terceira casa, oito grãos para a quarta casa, ...". O Imperador
achou bastante modesto o pedido de Seta. Será?
A função, a seguir, na forma de tabela, define para as 10 primeiras casas do tabuleiro do
xadrez o que Seta pediu.
Casa
No. de grãos
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
7
64
8
128
9
256
10
512
...
...
1 – Seta pediu, por exemplo, para a 8a casa 128 grãos de trigo. Para uma casa 1  n  64
qualquer, qual é a expressão que dá o número de grãos de trigo N em função de n?
2 – Defina a função f, explicitando o domínio, contra-domínio e expressão que relaciona N
em função de n, que Chiran teve que considerar.
3 – Para se ter uma idéia da recompensa de Seta, calcule aproximadamente quantos
kilogramas de trigo têm apenas na última casa do seu pedido.
Situação 2
Considere o seguinte pedido de grãos de trigo: "1 grão para a primeira casa do xadrez, 4
grãos para a segunda casa, 7 grãos para a terceira casa, 10 grãos para a terceira casa, 13
grãos para a quarta casa, ....".
1 - Defina a função, explicitando o domínio, contra-domínio e expressão que relaciona N
em função de n, para este pedido.
3 – Calcule aproximadamente quantos kilogramas de trigo têm na última casa desse pedido.
2 – Compare com o caso anterior a quantidade de trigo para a última casa.
Situação 3
1 - Preencha a tabela a seguir com valores pagos de juros de uso do cheque especial para
uma conta R$ 1000,00 negativos. Considere a taxa de 8% ao mês, praticada por muitos
bancos nessas contas. (Use a calculadora).
capital inicial
ao fim do primeiro período
ao fim do segundo período
ao fim do terceiro período
ao fim do quarto período
ao fim do quinto período
1000,00
1000,00 + 0,08 × 1000,00 = 1080,00
1080,00 + 0,08 × 1080,00 = 1166,40
2 – Preencha a tabela a seguir. Considere a situação anterior com capital inicial C0 e juros a
uma taxa i.
capital inicial
ao fim do primeiro período
ao fim do segundo período
ao fim do terceiro período
ao fim do quarto período
ao fim do quinto período
C0
C0 + i C0 = C0(1 + i)
C0 (1+ i ) + i[C0 (1+ i )] = C0 (1+ i )(1 + i) = C0 (1+ i )2
3 - Defina uma função, explicitando o domínio, contra-domínio e expressão que relaciona
um capital C em função do período t, considerando C0 o capital inicial e i a taxa de juros.
Situação 4
Admita que um casal de coelhos adultos reproduza a cada mês um novo casal de coelhos
que, por sua vez, após tornarem-se adultos em dois meses, reproduzirão nesta época um
novo casal. A seqüência resultante desta situação é conhecida como a seqüência de
Fibonacci.
1 - Copie e complete, em seu caderno, a tabela a seguir.
meses
1
2
3
4
5
6
7
8
No. casais adultos
1
1
2
3
No. casais jovens
1
2
3
5
No. total de casais
2
3
5
8
2 - Defina uma função h (total de casais adultos) em função de n (número de meses).
As funções definidas nas situações 1, 2, 3 e 4 são exemplos de seqüência numérica.
Atividades
1 - A seqüência que resulta do pedido de Seta (situação 1) e a seqüência resultante da
situação 3, aparentemente bem diferentes uma da outra, têm algo importante em comum. O
que é?
2 - Compare a seqüência originária da situação 1 com aquela da situação 2.
2 - FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA - PARTE 1
Podemos extrair da situação 1, um exemplo de função exponencial. Para x qualquer real,
f(x) = 2x define uma função exponencial. Mais precisamente, definimos função exponencial
de base igual a 2, da seguinte forma:
f :
f(x) = 2x
Da mesma forma, considerando a situação 3, podemos definir a função exponencial de dois
parâmetros (1 + i) e C0.
g:  
g(t) = C0(1 + i)t
As funções f e g são exemplos de duas funções exponenciais originadas de duas situações
distintas: uma relacionada a uma contagem simplesmente e a outra com juro composto.
As bases destas duas funções são ambas maiores do que 1. Mas isto não é obrigatório
como veremos mais adiante.
Exercícios
(elaborar exercícios sobre estas duas funções)
1) Floresta jovem
Situação n
Considere a situação seguinte: obter A = 2048  256.
Use a calculadora para obter facilmente o produto A.
Imagine obter este mesmo resultado sem o uso da calculadora, sem efetuar a operação de
multiplicação e, ainda mais, efetuando essencialmente uma adição!
Isto seria fantástico, no lugar de multiplicar, somar! Efetuar a operação de adição é, em
geral, muito mais fácil do que efetuar uma multiplicação. Daí grande parte deste interesse
em uma época em que não havia instrumentos que pudesse ajudar no cálculo.
Tal descoberta seria muito bem-vinda. E foi o que aconteceu ...
Exemplo 1. Obter A = 2048  256 sem efetuar diretamente a multiplicação.
Para responder a esta questão, construímos a tabela a seguir:
1
20
2
21
4
22
8
23
...
...
256
28
...
...
2048
211
...
...
524288
219
Com a ajuda destes valores tabelados, observe a seqüência de cálculo:
linha 1
linha 3
A=
2048

211


256

28
linha 5
linha 7
= 211+ 8

= 219

= 524288
1 - Quais operações foram efetuadas nas linhas 3, 5 e 7?
2 - Discuta as vantagens e desvantagens deste processo imaginando estar em uma época
que não havia instrumentos de cálculo, nem mesmo material para escrever com essa
facilidade que se tem hoje com o papel, lápis, caneta, computador, etc.
3 - Efetuar B = 2048  256. Que operações substituíram a divisão?
Destacamos do cálculo, nesta tabela, alguns números:
O número 211 é a forma exponencial, na base 2, do número 2048. Assim, também, são 28
e 219 formas exponenciais, na base 2, dos números 256 e 524288, respectivamente.
O número 11 é o logaritmo de 2048 tomando como base o número 2. Da mesma forma, 8
e 19 são os logaritmos, na base 2, de 256 e 524288, respectivamente.
Notando log 2 N como sendo o logaritmo de N (N > 0), na base 2, podemos escrever, por
exemplo, que: log 2 2048  log 2 (211 )  11 .
Por estes exemplos, já se pode perceber a relação importante que há entre o logaritmo e
exponencial de um número.
Fazer exercícios sobre (a relação exponencial e logaritmo)
Foram idéias simples, como a de facilitar certas operações numéricas que levaram J.
Napier em 1*** a criar os logaritmos.
Nos exemplos anteriores tomamos números fáceis de serem transformados na base 2.
Imagine, por exemplo, se quiséssemos efetuar 57  1355?
O que significa obter, por exemplo, log 2 57 ?
Exercícios.
1-) Sem usar diretamente a função LOG da calculadora, determine valores aproximados
para log 2 57 . Em seguida confira o resultado usando a função LOG da calculadora.
Revisão: propriedades das potências
A seguir, algumas propriedades importantes de potências, com α, β, A e B adequados.
1) A . A = A + 
2) A / A = A - 
3) (A) = A.
m
3') n A m = A n
4) A . B = (A.B) 
5) A / B = (A / B) 
As possibilidades de troca de operações sugeridas por estas propriedades é que estão na
base da criação do logaritmo. Se bem que é bem verdade que ele foi criado por Napier que
segundo a história não conhecia a notação exponencial.
Napier dedicou boa parte da sua vida para construir tabelas para que operações como essas
pudessem ser realizadas mais facilmente. No entanto, a base que ele utiliza é diferente da
base 2 e o logaritmo criado por ele é um pouco diferente daquele que concebemos
atualmente. Veja o texto ****
Fazer exercícios de revisão dessas propriedades.
A IDÉIA DE OPERAÇÃO INVERSA.
- Consideremos a seguinte expressão com A, B e C constantes:
A+B=C
Suponhamos que apenas B não seja conhecido. Para obtê-lo, sem muita dificuldade,
podemos escrever
A+B=C
A+B-A=C-A
B=C-A
A operação que torna possível encontrar B nesta situação é a subtração.
De forma semelhante obteríamos A caso fosse o único elemento desconhecido.
- Consideremos a expressão a seguir com A > 0.
AB = C
Sejam B e C sejam conhecidos. Para encontrar A, procedemos da forma seguinte:
1
1
(A B ) B  C B
AC
1
B
O que possibilita encontrar A é a radiciação.
Suponhamos agora que sejam conhecidos A e C. Para encontrar B, deveremos transformar
C em uma potência cuja base seja A, ou seja, encontrar C = AD:
AB = C
 AB = AD
 B=D
C = AD, B nada mais é do que o logaritmo de C na base A.
Usando a notação de logaritmo, podemos escrever:
AB  C
 log A (A B )  log A C
 B  log A C
O que mostra, como anteriormente, que B é igual ao logaritmo de C na base A.
- Consideremos a expressão, com A 0, B  0 e C constantes:
AB = C
Suponhamos que apenas A seja desconhecido nesta relação e, para obtê-lo, podemos
escrever:
AB C

B
B
C
A=
B
A operação que possibilitou obter A foi a divisão.
Faça o mesmo para o caso em que apenas B é desconhecido e certifique-se que é também a
divisão que vai possibilitar encontrá-lo.
Estas idéias estão na base da idéia de operação inversa que será generalizada, mais adiante,
para o caso das funções.
Elaborar mais exercícios
1-) Encontre, em cada caso a seguir, o termo desconhecido representado pela letra x. (Use
a calculadora quando achar conveniente).
a) 5x = 125
b) x2 = 1,44
c) 10x = 180
2-) Resolva os problemas a seguir (Use a calculadora quando achar conveniente).
1-) Encontrar X em:
a) AX + B = C
b) 2X = 2048
c) X2 = 144
3-) Probleminhas que caem em resolução de equações.
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES - PARTE 2
Uma seqüência com as características daquela derivada do pedido de Seta na atividade 1, é
denominada progressão geométrica. Ela tem como característica fundamental o fato de
que, a partir do segundo termo, um termo qualquer, é obtido pelo produto entre o termo
imediatamente anterior e o número 2. Este número é chamado de razão da progressão
geométrica.
Neste caso, para 1  n  64, temos:
1o termo
2o termo
3o termo
4o termo
5o termo
...
n-ésimo termo
1
12
22
42
82
...
n-2
2 2
1
2
4
8
16
...
2n-1
Já a seqüência derivada da atividade 2 é denominada progressão aritmética cuja
característica fundamental é que, a partir do segundo termo, um termo qualquer, pode ser
obtido pela soma do termo imediatamente anterior e o número 3. Este número é chamado
de razão da progressão aritmética.
Neste caso, para 1  n  64, temos:
1o termo
1
1
o
2 termo
1+3
4
3o termo
4+3
7
o
4 termo
7+3
10
5o termo
10 + 3
13
...
...
...
n-ésimo termo 1 + 3  (n - 2) + 3 1 + 3  (n -1)
Exercícios
1 - Verifique se as seqüências originadas das atividades 3 e 4 são progressões aritméticas
ou geométricas.
2 - Verifique que 2n-2  2 = 2n-1 e que 1 + 3  (n - 2) + 3 = 1 + 3  (n -1).
PROGRESSÕES, EXPONENCIAL E LOGARITMO.
Consideremos a tabela a seguir.
Número de Termos
P. Aritmética
1o
0
2o
1
3o
2
4o
3
5o
4
6o
5
7o
6
8o
7
9o
8
P. Geométrica
30
31
32
33
34
35
36
37
38
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
Na primeira linha temos uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 0 e razão igual a
1. Na segunda e terceiras linhas, uma mesma progressão geométrica, escrita em duas
formas de representação diferentes, de razão 3 e primeiro termo igual a 1.
Desta tabela, temos as seguintes observações:
a) O expoente que aparece na terceira linha é o logaritmo, na base 3, do termo equivalente
na quarta linha. Assim, por exemplo, 4 = log 3 81 , uma vez que log 3 81  log 3 3 4  4.
b) Como já observamos anteriormente, para multiplicar dois elementos quaisquer da
progressão geométrica, podemos utilizar a soma dos elementos correspondentes da
progressão aritmética. Por exemplo, 27  81 = 33  34 = 3 3 + 4 = 37 = 2187.
Fazer mais exercícios
- Para a divisão, por exemplo, de 37 por 34 o que ocorre?
- Some o primeiro e nono, segundo e oitavo, terceiro e sétimo, quarto e sexto, quinto e
quinto termos da progressão aritmética. Há algo que se pode observar?
- Multiplique o primeiro e nono, segundo e oitavo, terceiro e sétimo, quarto e sexto, quinto
e quinto termos da progressão geométrica. Há algo que se pode observar?
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES - PARTE 3
Faremos a seguir formalmente a definição de seqüência e das progressões aritmética e
geométrica.
Definição de seqüência: uma seqüência infinita de números reais é uma função definida
no conjunto dos inteiros positivos ou no conjunto dos números naturais.
Portanto, qualquer função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais N é uma
seqüência numérica infinita.
Exemplos.
A função f definida por
f: N 
f(n) = 2n
é uma seqüência numérica infinita.
Tem-se
f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, ...
ou simplesmente,
f1 = 2, f2 = 4, f3 = 6, ...
É bastante comum as seqüências serem definidas por meio dos termos gerais. Por exemplo,
fn = 2n
é a seqüência
2, 4, 6, 8, 10, ...
bn = 2n-1
é a seqüência
1, 3, 5, 7, 9, ...
cn = n3
é a seqüência
1, 8, 27, 64, ...
dn = 5
é a seqüência
5, 5, 5, 5, ...
Esta primeira seqüência pode ser designada simplesmente por (2n) ou (2n)n = 1, 2, 3, ... ou
ainda (2, 4, 6, 8, ....).
Observe que a seqüência (5, 5, 5, ...) tem como imagem o conjunto unitário{5}, enquanto
que a seqüência (cn) tem como imagem o conjunto{1, 8, 27, 64, 125, ...}.
Há seqüências que podem não iniciar em n = 1, como por exemplo, a seqüência de termo
geral a n  n  3 cujo domínio é n  3 inteiro. No entanto, isto não causa problema
porque podemos fazer uma mudança de variável e considerar em seu lugar a seqüência
a m  m  1 para m  1 inteiro.
Fazer mais exercícios.
1 - Use a forma de representação funcional para definir a seqüência cn.
2 - Não há dúvida de que o 6o termo da seqüência bn é 11. E em relação ao 5o termo da
seqüência (1, 4, 9, 16, ...) há alguma dúvida?
Definição de progressão geométrica (PG): a seqüência
f: N 
f(x) = a.bx-1
sendo a  0, 0 < b  1 constantes, é denominada progressão geométrica.
Observemos que f(1) = a, o que mostra que a é o primeiro termo da PG e que:
f (x  1) a b x

b
f (x)
a b x 1
o que significa dizer que, a partir do segundo termo, o quociente entre um termo qualquer e
o seu antecedente, é sempre o mesmo. Este quociente, que é constante, é chamado de razão
da PG.
Definição de progressão aritmética (PA): a seqüência
f: N 
f(x) = A(x -1) + B
sendo A e B constantes reais, é chamada de progressão aritmética.
As seqüências constantes do tipo (k, k, k, k, ...), sendo k  0 constante, são ao mesmo
tempo PG's de razão igual a 1 e PA's de razão nula.
Exercício.
Mostre que B é o primeiro termo da PA e que, a partir do segundo termo da PA, a
diferença entre um termo qualquer e o seu antecedente, é sempre a mesma.
A idéia de razão tanto da PA quanto de PG é que permitirá que se resolva mais facilmente
uma série de problemas. Veja, por exemplo, os dois exercícios a seguir. No entanto, a
notação funcional permitirá que se resolvam outros tipos de problemas, como por exemplo,
os exercícios 3, 4 e 5 a seguir.
Exercícios sobre o que PA e PG
Nos exercícios seguintes, use a idéia de razão e a notação funcional para respondê-los.
1 - Se (1, 2) são os dois primeiros termos de uma progressão:
a) Qual deverá ser o seguinte se tal progressão é uma PA?
b) Qual seria o seguinte se tivéssemos uma PG?
2 - É possível que a seqüência finita (s, t, u) seja ao mesmo tempo PA e PG?
3 - Mostre que são PA's as seqüências a seguir.
a) (1 + 2n)
b) ( )
4 - Mostre que não são PA's as seqüências a seguir.
a) (n!)
b)
c) {}
d)
5 - Mostre que não são PG's as seqüências a), b) do exercício 4 e que as seqüências c) e d)
deste mesmo exercícios são PG's.
TERMOS GERAIS DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
Consideremos a PG definida por {b1  0, b2, b3, ..., bn, bn+1, ...) de razão q  0.
Tem-se, pela definição de PG, que:
n
1
2
3
4
5
...
termo
b1
b2 = b1  q
b3 = b2  q = b1  q  q
b4 = b3  q = b1  q2  q
b5 = b4  q = b1  q3  q
...
= b1
= b1  q
= b1  q2
= b1  q3
= b1  q4
...
Observando a tabela, intuímos que para n  1,
bn = b1  qn-1
Neste caso, de fato, podemos usar o princípio da indução infinita (anexo **) e demonstrar
que o termo geral da PG é dado por esta expressão mesmo.
De forma semelhante, usando este mesmo princípio, podemos definir o termo geral da PA.
Para uma PA definida por (a1, a2, a3, ..., an, an+1, ...) de razão r, o termo geral para n  1, é:
an = a1 + r(n - 1)
Exercícios sobre termos gerais de seqüências
1 - Qual é o termo geral das seqüências a seguir
a)
b)
c)
2 - Escreva pelo menos de duas formas distintas uma PA com 5 termos sendo a1 = 7 e
razão r = p.
Classificação das progressões aritmética e geométrica.
Se numa progressão aritmética qualquer, cada termo, a partir do segundo, é maior do que
o seu antecedente, dizemos que a progressão é estritamente crescente. Isto ocorre para r >
0. Contrariamente, se cada termo, a partir do segundo é menor do que o seu antecedente,
temos um caso de PA estritamente decrescente. Isto ocorre para r < 0.
No caso em que r = 0, a PA é constante.
Para as progressões geométricas, temos uma classificação um pouco diferente.
Consideremos uma PG {a1  0, a2, a3, ...., an, ....} de razão q  0. O quadro a seguir resume
essa classificação:
Sinal do primeiro termo
a1 > 0
a1 < 0
a1  0 qualquer
Razão
q>1
0<q<1
q>1
0<q<1
q<0
q=1
Exercícios
1-) Dê exemplos de cada tipo de PA e PG
MAIS EXERCÍCIOS
Classificação
Estritamente crescente
Estritamente decrescente
Estritamente decrescente
Estritamente crescente
Alternada
constante
Soma de termos de uma PA ou PG
Atividade
a) Somar os termos da PA da tabela **: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Tomando uma calculadora, ou mesmo, fazendo mentalmente, chegamos sem muito
trabalho ao resultado: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 = 28.
b) Imagine agora que queiramos somar os temos da PA seguinte: (1, 2, 3, ..., 999, 1000).
Somar com foi feito anteriormente não se mostra nada prático para uma PA com 1000
termos. No entanto, observemos que:
1 + 2 + 3 + ... + 500 + 501 + ... + 999 + 1000 = (1 + 1000) + (2 + 999) + ...+ (500 + 501)
Como temos 500 parcelas entre parênteses iguais a 1001, podemos calcular sem muita
dificuldade, a soma dos mil primeiros termos:
S1000  1001 500 = 500500
O que ocorreu neste caso particular, não é por acaso: para qualquer PA, a soma dos seus
termos eqüidistantes é constante. Este resultado nos permitirá obter uma fórmula que dê a
soma de termos finitos de uma PA qualquer.
Seja somar os termos da PA (a1 + a2 + ...+ an-1 + an) de razão r. Observe os passos seguintes
nas linhas 1, 2 e 3:
Tabela **
Linha 1
Linha 2
Linha 3
a1
an
a1 + an
a2 = a1 + r
an-1= an -r
a2 + an-1 =
a1 + an
...
...
...
an-2 = an -2r
a3 = a1 + 2r
an-2 + a3 =
a1 + an
an-1= an -r
a2 = a1 + r
an-1 + a2 =
a1 + an
an
a1
an+ a1
Como há n parcelas a1 e n parcelas an podemos escrever:
2 Sn  n a 1  n a n
ou
Sn 
(a 1  a n )
n
2
Exercício.
Explique o que foi feito em cada linha da tabela **.
Exemplo
Para o caso da PA (1, 2, 3, ..., 999, 1000) tratada anteriormente, tem-se a partir da fórmula
do termo geral:
1000 = 1 + 1(n - 1)  n = 1000
Portanto,
S1000 
(1  1000)
 1000  500500
2
EXERCÍCIOs
1) Obter a quantidade de trigo das casas do tabuleiro relativa a seqüência da atividade 2.
Mais exercícios.
a) Somar os termos da PG: (1, 2, 4, 8, 16, 32).
Tomando uma calculadora, chegamos sem muito trabalho ao resultado: 1 + 2 + 4 + 8 + 16
+ 32 =
Para uma PG com muitos termos, como naquela do pedido de Chiran da atividade 1 este
modo se torna impraticável. Vamos obter uma maneira, do mesmo jeito que fizemos para
as PA´s.
Observemos o quadro a seguir:
Tabela **
Linha 1
a1
a2 = a1.q
...
an-2 = an qn-2
an-1= an-1 qn-
an
1
Linha 2
an
Linha 3
a1 . an
an-1= an-1 qn-1 ...
a2 . an-1 = a1. an ...
a3 = a1 q2
an-2 + a3 =
a1 . an
Como há n parcelas a1 e n parcelas an podemos escrever:
a2 = a1 q
an-1 + a2 =
a1 . an
a1
na. a1
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA - PARTE 2
Definição de função exponencial
Função exponencial é uma função definida como
f:   
f(x) = bx,
sendo 0 < b  1 a base.
Exemplos.
1 - A função dada por
f:   
f(x) = 2x
Observemos que parte das realizações de f(x) bem escolhidas formam PG's, como por
exemplo, aquela determinada no pedido de Seta: {1, 2, 22, 23, 24, ..., 263}.
É bastante comum combinar estas funções com outras funções para formar uma nova
função. Isto pode ser feito simplesmente, por exemplo, multiplicando-se e/ou somando
duas funções. Assim a função
f:   
f(x) = abx + c,
sendo a  0, 0 < b  1 e c constantes reais, é uma nova função denominada função
exponencial de três parâmetros.
Definição de função
Função logarítmica é uma função definida como
sendo 0 < b  1 a base.
Exemplo 2.