Complexos - Blog dos Professores

COLÉGIO ADVENTISTA DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO
NOME DO ALUNO ___________________________________________________________________________N°_________
DISCIPLINA: Matemática
BIMESTRE: 1º
DATA: 27/03/2012
CURSO: Ensino Médio
ANO: º A / B
PROFESSOR: Alexandre da Silva Bairrada
Complexos:
1  i 3
1  i 3
e
. Os
2
2
pontos que correspondem às representações desses três números no plano de Argand Gauss são vértices de um triângulo de área
1. (Insper 2012) No conjunto dos números complexos, o número 1 apresenta três raízes cúbicas: 1,
3
4
3
b)
2
3 3
c)
4
d) 3
e) 1
a)
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Notações
N: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
+
R : Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2  1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
a,b  x  : a  x  b
A \ B  x : x  A e x  B
A c : complementar do conjunto A;
n
 ak xk  a0  a1x a2x2  ...  anxn,n 
.
k 0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
2. (Ita 2012) Se arg z 
a) 
π
2
π
4
π
c)
2
3π
d)
4
7π
e)
4
b)
π
, então um valor para arg (−2iz) é
4
3. (Ita 2012) Sejam z  n2 (cos 45º i sen 45º) e w  n(cos15º i sen 15º) , em que n é o menor inteiro positivo tal que (1  i)n é
real. Então,
a)
z
é igual a
w
3 1
b) 2( 3  i)
c) 2( 2  i)
d) 2( 2  i)
e) 2( 3  i)
4. (Ufsm 2011) Na iluminação da praça, três novas luminárias são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminárias é instalada
na bissetriz do primeiro quadrante; a distância de cada uma delas ao ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios é 20
metros; a distância entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais números complexos a seguir representam os pontos onde
foram instaladas as três luminárias?
π
π
11π
11π 
19π
19π 



 i sen  ;z2  20  cos
 i sen
;z3  20  cos
 i sen

4
4
12
12 
12
12 



π
π
π
π
2π
2π 



 i sen
b) z1  20  cos  i sen  ;z2  20  cos  i sen  ;z3  20  cos
4
4
6
6
3
3 





π
π
11π
11π
19π
19π
 i sen
;z3  cos
 i sen
c) z1  cos  i sen ;z2  cos
4
4
12
12
12
12
π
π
π
π
2π
2π
 i sen ;z3  cos
 i sen
d) z1  cos  i sen ;z2  cos
3
3
12
12
3
3
π
π
5π
5π 


 i sen
e) z1  20  cos  i sen  ;z2  20  cos π  i senπ  ;z3  20  cos
3
3
6
6 


a) z1  20  cos
5. (Fgv 2011) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x , um aluno encontrou as
soluções: 2 + i e 2 - i . Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0,5).
6. (G1 - cftmg 2011) A medida do argumento dos números complexos z  x  yi pertencentes à reta y  x , em radianos, é
π
5π
ou
.
4
4
π
3π
ou
b)
.
2
2
π
π
ou
c) 
4
4
π
4π
ou
d)
.
3
3
a)
7. (Fgv 2011) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i,  3 e 6i,
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A 'B'C'D' que se obtém girando 90 o losango ABCD, em torno da origem
do plano cartesiano, no sentido anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o
ponto B'?

8. (Uesc 2011) O conjunto dos afixos dos números complexos z , tais que zz  2 Re  z   Im z determinam, no plano de
Argand-Gauss, uma região limitada, cuja área mede, em u.a., aproximadamente,
a) 3,9
b) 4,2
c) 5,0
d) 5,8
e) 6,0
9. (Ita 2011) A soma de todas as soluções da equação em
:
2
z  z  iz – 1  0 é igual a
2
a) 2.
i
b) .
2
c) 0.
1
d)  . .
2
e) – 2i.
10. (Epcar (Afa) 2011) O número complexo z  a  bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.
É correto afirmar que o conjugado de z 2 tem afixo que pertence ao
a) 1º quadrante.
b) 2º quadrante.
c) 3º quadrante.
d) 4º quadrante.
11. (Unifesp 2011) No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z  x  yi, cujo módulo
(indicado por | z |) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por  ) é o menor ângulo formado com OA, no
sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z  i é chamado “unidade imaginária”.
a) Determinar os números reais x tais que z  (x  2i)4 é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z0 , cujo afixo é o ponto (0, a), a  0, determine | z | .
2
12. (Ifsp 2011) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = 1 + i e w = z − z. Um argumento de w é

a) .
3

.
2
2
c)
.
3
3
d)
.
4
5
e)
.
4
b)
13. (G1 - ifal 2011) O valor da potência (1  i)10 é:
a) 11i.
b) 5i.
c) 32i.
d) 50i.
e) 1  5i.
n
π
π

14. (Ufrgs 2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo  cos  i  sen  é
8
8

negativa é
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
15. (Ita 2010) Os argumentos principais das soluções da equação em z,
2
iz + 3 z + (z + z ) – i = 0, pertencem a
 π 3π 
a)  ,  .
4 4 
 3π 5π 
b)  ,  .
 4 4 
 5π 3π 
c)  ,  .
 4 2 
 π π   3π 7π 
d)  ,   ,  .
4 2  2 4 
 π   7π

e)  0,   ,2π  .
 4  4

20
20
16. (Fgv 2010) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i) – (1 – i) é igual a
a) –1024.
b) –1024i.
c) 0
d) 1024.
e) 1024i.
3
2
17. (Ufg 2010) Considere o polinômio p(x) = x − 9x + 25x − 25. Sabendo- se que o número complexo z = 2 + i é uma raiz de p, o
triângulo, cujos vértices são as raízes de p , pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:
a)
b)
c)
d)
e)
18. (Pucrs 2010) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUCRS estão representados no plano
complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos,
respectivamente, como mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação:
8
a) z = i
8
b) z = –i
8
c) z = 1
8
d) z = –1
8
e) z = 1 + i
3
2
19. (Ufpr 2010) Considere o polinômio p(x) = x − ax + x − a e analise as seguintes afirmativas:
1. i = 1 é uma raiz desse polinômio.
2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x − a .
3. Para que p(−2) = −10 , o valor de a deve ser 0.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
20. (Mackenzie 2010) Se y = 2x, sendo x=
1 i
ei=
1 i
1 , o valor de (x + y)2 é
a) 9i
b) – 9 + i
c) –9
d) 9
e) 9 – i
21. (Ufba 2010) Sendo z1 e z2 números complexos tais que
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante,
4
2
• z2 satisfaz a equação x + x − 12 = 0 e Im(z2) > 0, calcule
3
z1
 z2 .
z2
22. (Ibmecrj 2009) Seja z um número complexo tal que:
4
z   2  , onde i é a unidade imaginária.
1  i 
É correto afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a:
a) 2 e π
2
b) 2 e π.
c) 2 e 3π
2
d) 4 e π .
2
e) 4 e π.
23. (Mackenzie 2009)
A figura mostra uma semicircunferência com centro na origem. Se o ponto A é (a) (2 , 2 ).
2 , 2), então o ponto B é:
b) ( 2 , 2).
c) (1 , 5 ).
(
d) ( 5 , 1).
e) (2 , 5 ).
24. (Uel 2009) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0 cujo quadrado é -5 + 12i?
a)
1
3
b)
1
2
c) 1
d) 2
e) 3
2
 1 
 3 
25. (Uel 2009) O número complexo    i    escrito na forma trigonométrica a + bi = ρ[cos(θ) + isen(θ)] é:
 2  
 2 
a) cos(θ) + isen(θ)
π
π
+ isen  

6
6
b) cós 
 2π 
 2π 
+ isen 


 3 
 3 
c) cos 
 2π 
 2π 
+ isen 


 3 
 3 
d) 3cos 

 5π 
 5π  
 isen 


 6 
 6 
e) 2 cos 

26. (Fgv 2009) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão (i  1)6  (1  i)6 é:
a) 0
b) 16
c) 16
d) 16i
e) 16i
27. (Ufrj 2009) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.
O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w.
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.
9
27 20
28. (Ufc 2008) O valor do número complexo [(1 + i )/[1 + i )] é:
a) 1
b) i
c) - i
d) -1
20
e) 2
29. (Fgv 2008) Os quatro vértices de um quadrado no plano Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e 1 - 2i. O quarto vértice do quadrado é o número complexo
a) 2 + i.
b) 2 - i.
c) 1 - 2i.
d) -1 + 2i.
e) - 2 - i.
3
6
12
30. (Unesp 2008) Considere o número complexo z = cos (π/6) + i sen (π/6). O valor de z + z + z é:
a) - i.
b)
1
3
+
i
2 2
c) i - 2.
d) i.
e) 2 i.
8
31. (Uft 2008) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1) é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
32. (Pucrs 2008) O número complexo a + bi, diferente de zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo real. É correto
afirmar que seu conjugado está situado
a) sobre o eixo real.
b) sobre o eixo imaginário.
c) no primeiro quadrante.
d) no segundo quadrante.
e) no terceiro quadrante.
33. (Ufc 2007) Ao dividir 1 - i 3 por -1 + i, obtém-se um complexo de argumento igual a:
π
4
5π
b)
12
a)
7π
12
3π
d)
4
11π
e)
12
c)
34. (Ufrs 2007) O argumento do número complexo z é
π
, e o seu módulo é 2.
6
Então, a forma algébrica de z é
a) - i.
b) i.
c) 3 i.
d)
3 - i.
e)
3 + i.
35. (Ufrrj 2007) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + 2( 3 ) i.
36. (Ufsm 2007) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos
minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo
a) - 2 3 + 2i
b) 2 3 - 2i
c) - 2 3 - 2i
d) - 2 + 2 3 i
e) 2 - 2 3 i
37. (G1 - utfpr 2007) Sejam z1 e z2 dois números complexos, sendo z1 = (x1 + x2) + (3 x2 - x3)i e z2 = (2 x1 + 4) + (1 - x3)i. Se z1 = z2, podese afirmar que:
a) x2 = - 3.
b) x1 = 11/3.
c) x1 = 13/3.
d) x2 = 1.
e) x2 = 1/3.
38. (Unesp 2006) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1.
Indique por Re(z), Im(z) e | z | a parte real, a parte imaginária e o módulo de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde
i indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que
representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é
a) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≥ 0 e | z | 1.
b) Re(z) ≥ 0, Im(z) ≤ 0 e | z | 1.
c) Re(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.
d) Im(z) ≥ 0 e | z | ≥ 1.
e) Re(z) ≥ 0 e | z | ≤ 1.
39. (Ufla 2006) Determine os valores de x de modo que o número complexo z = 2 + (x - 4i) (2 + xi) seja real.
a) ± 2 2
b) ± 1/3
c) ± 2
d) ± 2
e) ± 3
40. (Ufrj 2005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas
pelos números complexos z e w a seguir: z = α

π
 π 
2
cos  2   isen  2   , w = z , sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.
 
 

Determine a hora do jantar.
41. (Ufrrj 2005) João deseja encontrar o argumento do complexo z = 3 + i. O valor correto encontrado por João é
a)
b)
c)
d)
e)
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
42. (Fgv 2005) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como
indica a figura:
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55 sua ponta estará sobre o número complexo
a) -1 + ( 3 )i
b) 1 + ( 3 )i
c) 1 - ( 3 )i
d) ( 3 ) - i
e) ( 3 ) + i
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Ao chegar a uma das livrarias do "shopping", um professor selecionou alguns livros de Matemática para o Ensino Médio, cujo
conteúdo permitiu que ele elaborasse as três questões a seguir.
Resolva essas questões, assinalando a resposta correta.
43. (Ufsm 2005) Sabendo que x é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i) / (x + 2i) é zero, então x é
a) - 1
b) 1
c) 2
d) - 2
e) 4
15
44. (Ufrs 2004) (1 + i) é igual a
a) 64 (1 + i).
b) 128 (1 - i).
c) 128 (-1 -i).
d) 256 (-1 + i).
e) 256 (1 + i).
45. (G1 - cftmg 2004) O valor de [(1/2) + (1/2)i]
-50
a) (-1/2)
-50
b) (1/2)
c) - 2-50
-50
d) 2
100
é
6
46. (G1 - cftmg 2004) Sendo o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π/6) i], calculando z obtemos
a) - 32 i
b) - 32
c) - 64 i
d) - 64
47. (Pucrs 2004) Dados os números complexos z = a + bi e seu conjugado Z, é correto afirmar que z + Z é um número
a) natural.
b) inteiro.
c) racional.
d) real.
e) imaginário puro.
48. (Unifesp 2004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z 1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i.
A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 é:
a) 8.
b) 6.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
49. (Ufg 2004) O número complexo z = x + yi pode ser representado no plano, como a seguir:
Considere r =
x
2

 y2 , o módulo de z
O número complexo z pode ser escrito como:
a) z = r (cos α + isen α)
b) z = r (cos α - isen α)
c) z = r (sen θ + icos θ)
d) z = r (sen α - icos α)
e) z = r (cos θ + isen θ)
50. (Unesp 2003) Se z = (2 + i) . (1 + i) . i, então o conjugado de z, será dado por
a) - 3 - i.
b) 1 - 3i.
c) 3 - i.
d) - 3 + i.
e) 3 + i.
51. (Pucrs 2003) Se n é um número natural par e i = 1 , então i vale
6n
a) i
b) - 1
c) - i
d) 1
e) 0
52. (Ufsm 2002) Dados dois números complexos na forma
z = r(cos α + i senα)
w = s(cos β + i sen β),
pode-se afirmar que z.w é igual a
a) rs [cos (αβ) - sen (αβ)]
b) rs [cos (α +β) + i sen (α +β)]
c) rs [cos (α - β) - i sen (α - β)]
d) (r + s) (cos α . cos β - i sen α . sen β)
e) (r + s) [cos (α + β) + i sen (α + β)]
53. (Ita 2002) Seja a equação em C
4
2
z - z + 1 = 0.
Qual dentre as alternativas a seguir é igual à soma de duas das raízes dessa equação?
d) - i
e) i/2
54. (Ufal 2000) Uma equação, com coeficientes reais, de menor grau possível, que admite a raiz real 1, com multiplicidade 2, e a raiz
complexa i é
4
a) x + 1 = 0
4
b) x - 1 = 0
3
c) x - x2 - x + 1 = 0
4
3
2
d) x - x + x - x + 1 = 0
4
3
2
e) x - 2x + 2x - 2x + 1 = 0
55. (Ufal 1999) Sejam os números complexos z1 = 3 + 9i e z2 = -5 - 7i. O argumento principal do número complexo z1 + z2 é
°
a) 90
°
b) 120
°
c) 135
°
d) 145
°
e) 180
56. (Ufc 1999) Considere o número complexo z = (1 + i).( 3 - i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que
n
z seja um número real positivo.
a) 6.
b) 12.
c) 18.
d) 24.
e) 30.
57. (Unirio 1998)
Sejam z1 e z2 números complexos representados pelos seus afixos na figura anterior. Então, o produto de z 1 pelo conjugado de z2 é:
a) 19 + 10i
b) 11 + 17i
c) 10
d) -19 + 17i
e) -19 + 7i
58. (Uel 1998) O argumento principal do número complexo z= -1 + i 3 é
a)
11
6
5
3
7
c)
6
5
d)
6
2
e)
6
b)
2
59. (Fatec 1998) Seja a equação x + 4 = 0 no conjunto Universo U=C, onde C é o conjunto dos números complexos .
Sobre as sentenças
I. A soma das raízes dessa equação é zero.
II. O produto das raízes dessa equação é 4.
III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2}
é verdade que
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.
60. (Ufrs 1997) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A representação trigonométrica de z1 somada ao conjugado de z2 é
π
π
) + i sen ( )
4
4
π
π
b) ( 2 ) [cos ( ) + i sen ( )]
4
4
3π
3π
c) cos (
) + i sen (
)
4
4
7π
7π
d) ( 2 ) [cos (
) + i sen (
)]
4
4
7π
7π
e) cos (
) + i sen (
)
4
4
a) cos (
61. (Ufrs 1996) A forma a + bi de z = (1 + 2i ) / (1 - i ) é
a) 1/2 + 3/2i
b) -1/2 + 3/2i
c) -1/2 + 2/3i
d) -1/2 - 2/3i
e) 1/2 - 3/2i
2
62. (Uel 1996) Se z ={ 2 [cos(π/4) + i sen(π/4) ] }, então o conjugado de z é igual a
d) 4
e) - 4i
-1 -1
63. (Fatec 1995) O conjugado do número complexo z = (1 - i ) é igual a
a) 1 + i
b) 1 - i
c) (1/2) (1 - i)
d) (1/2) (1 + i)
e) i
64. (Fuvest 1995) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(α + 2i) é zero, então α é:
a) - 4.
b) - 2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
13
15
65. (Unitau 1995) A expressão i +i é igual a:
a) 0
b) i.
c) - i.
d) - 2i.
e) 3i.
66. (Fei 1994) Escrevendo o nϊmero complexo z = 1/(1 - i) + 1/(1 + i) na forma algιbrica obtemos:
a) 1 - i
b) i - 1
c) 1 + i
d) i
e) 1
67. (Uel 1994) A forma algébrica do número complexo z = (1 + 3i)/(2 - i) é
a) 1/2 - 3i
b) 5/3 + (7i/3)
c) -1/5 + (7i/5)
d) -1/5 + 7i
e) 3/5 + (4i/5)
Polinômios:
1. (G1 - ifsc 2011) Dada a função polinominal f  x   x3  x2  x  1, o valor de f  3   f  0   f  f  1  é:
a) - 20.
b) -18.
c) - 16.
d) 20.
e) 16.
2. (G1 - ifal 2011) Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio (x  2)(x  4)(x  5) obtém-se resto x  3. Se os restos das divisões
de p(x) por x  2, x  4 e x  5 são, respectivamente, os números A, B e C, então ABC vale
a) 100.
b) 180.
c) 200.
d) 280.
e) 360.
3. (Ufjf 2011) Dados dois polinômios A(x) e B(x) , sabe-se que S(x)  A(x)  B(x) é um polinômio de grau 8 e que
D(x)  A(x)  B(x) é um polinômio de grau 5 . É correto afirmar:
a) O polinômio W(x)  B(x)  A(x) tem grau 8 .
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.
c) O polinômio C(x)  A(x)  B(x) tem grau 13.
d) O polinômio A(x) tem grau 5.
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7.
4. (Uel 2011) Para que o polinômio f  x   x  6x  mx  n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f  x    x  b  , os
3
3
2
valores de m e n devem ser, respectivamente:
a) 3 e −1
b) −6 e 8
c) −4 e 27
d) 12 e −8
e) 10 e −27
5. (Uel 2011) O polinômio p  x   x  x  3ax  4a é divisível pelo polinômio q  x   x  x  4 . Qual o valor de a?
3
2
2
a) a = −2
b) a = −1
c) a = 0
d) a = 1
e) a = 2
6. (Upe 2011) Para que o polinômio 6x3  4x2  2mx  (m  1) seja divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do módulo de m
deve ser igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
4
3
7. (Uftm 2011) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x – 2x + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor
de m é igual a
a) –2.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
8. (G1 - cftmg 2011) O valor numérico da expressão 2x3  x2 
10  3
2
4 3
b)
2
x
 1 para x  3 é
2
a)
c) 4
d)


3 1
13 3  8
2
9. (Ita 2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x + x + ax + b = 0, com a, b 
a) – 64.
b) – 36.
c) – 28.
d) 18.
e) 27.
4
2
2
3
, então a – b é igual a
10. (G1 - utfpr 2011) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio
p  x   x3  5x2  6 pelo polinômio d  x   x2 – 3 ?
a) q(x) = – (x + 5)
b) q(x) = x + 5
c) q(x) = x – 5
d) q(x) = – (x + 5) e
e) q(x) = x + 5
e
r(x) = 3x + 21.
e
r(x) = – (3x + 21).
e
r(x) = – 3x + 21.
r(x) = 3x – 21.
e
r(x) = 3x + 21.
11. (G1 - col.naval 2011) Sejam p (x) = 2x
por q(x), o valor de r(2) será
a) -8
b) -6
c) -4
d) -3
e) -2
2010
2
2
- 5x - 13x + 7 e q (x) = x + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x)
12. (Fgv 2010) Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado a seguir:
Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são (–1, 0), (1, 0) e (3,0) .
O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0,2). Portanto o valor de P(5) é:
a) 24
b) 26
c) 28
d) 30
e) 32
13. (G1 - cftmg 2010) Para um polinômio P, sabe-se que P(k) = 0 se, e somente se, P(x) for divisível por (x – k). Sendo a, b e –3 as
3
2
raízes do polinômio de Q(x) = x + 5x + 4x – 6, então, a + b vale
a) – 5
b) – 4
c) – 3
d) – 2
4
14. (Unemat 2010) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x -1 pelo polinômio D(x) = x -1, é correto afirmar.
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c) Q(1) = 0
d) Q(-1) = 0
e) Q(1) = 2
3
2
15. (Ibmecrj 2010) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x + ax + b pelo polinômio Q(x) = x + x + 2 é igual a 4, então podemos
afirmar que a + b vale:
a) 2
b) -2
c) 3
d) -3
e) 4
3
2
16. (Fuvest 2009) O polinômio p(x) = x + ax + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x - 2 e x - 1,
respectivamente. Assim, o valor de a é:
a) - 6
b) - 7
c) - 8
d) - 9
e) - 10
4
3
2
2
17. (Uel 2009) Na divisão do polinômio x + x - 7x + x + 9 por x + 2x + 1 pode-se afirmar que:
2
a) o quociente é -x + x + 6
2
b) o quociente é x - x + 6
c) o resto da divisão é 15
d) o resto da divisão é 14x + 15
e) a divisão é exata, isto é, o resto é 0
3
2
18. (Unifesp 2009) Considere o polinômio p(x) = x + ax + bx + c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o
número complexo 1 + 2i são raízes de p, isto é, que p(1) = p(1 + 2i) = 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) =
(1 - x). q(x). Uma possível configuração para o gráfico de y = q(x) é:
a)
b)
c)
d)
e)
19. (Uece 2008) Se os polinômios
3
2
e Q(x) = x - 4 x + x + 4 são idênticos, então o valor de m/n é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
20. (Pucrs 2008) Os polinômios p(x) e q(x) têm coeficientes em IR, e seu produto é um polinômio de grau 2, igual ao de p(x). O grau
de q(x) é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
21. (Ufsm 2008) Para embalar pastéis folheados, são utilizadas folhas retangulares de papel celofane cujas dimensões são as raízes
3
2
reais positivas do polinômio P(x) = x - 12x + 20x + 96. Sabendo que uma das raízes é - 2, o produto de duas raízes poderá ser
a) 12
b) 16
c) 96
d) - 48
e) - 16
2
4
3
3
22. (Fgv 2008) O quociente da divisão do polinômio P(x) = (x + 1) . (x + 1) por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau
a) 5.
b) 10.
c) 13.
d) 15.
e) 18.
4
3
2
2
23. (Ufpr 2007) Sabendo que o polinômio p(x) = x - 3x + ax + bx - a é divisível pelo polinômio q(x) = x + 1, é correto afirmar:
a) 2a + b = - 2
b) a + 2b = 1/2
c) a - 2b = 0
d) 2a - b = 3/4
e) a - b = - 1
24. (Ufg 2007) Considere o polinômio:
2
3
4
5
6
p(x) = (x - 1)(x - 3) (x - 5) (x - 7) (x - 9) (x - 11) .
O grau de p(x) é igual a
a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1080
3
2
25. (Pucrs 2007) Se p (x) = x + a2 x + a1 x + a0 é um polinômio em C e p (0) = p (- i) = 0, então p (1) é
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
2
2
26. (Ufu 2007) Se a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x) = (x - 1)(x + bx + c) + x, em que b e c são números reais, então, a
soma das raízes de p(x) é igual a
a) -1/4
b) -1/2
c) 1/2
d) 1/4
3
2
3
2
27. (G1 - cftmg 2006) Se os polinômios p(x) = 2x + 9x + 3bx - (b - 9) e q(x) = x - bx + 7x + 3b, quando divididos por x + 1 fornecem
restos iguais, então, o valor de b é
a) - 4
b) 0
c) 1
d) 4
3
3
28. (G1 - cftmg 2006) Para que os polinômios P(x) = (a - 2)x + (1 - b)x + c - 3 e Q(x) = 2x + (3 + b)x - 1 sejam idênticos, os valores de
a, b e c devem ser, respectivamente:
a) - 4, - 1 e - 2
b) - 4, 1 e - 2
c) 4, - 1 e 2
d) 4, 1 e 2
3
2
29. (Unesp 2006) Considere o polinômio p(x) = x + bx + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por
2
definição, o polinômio p'(x) = 3x + 2bx + c. Se p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é:
3
2
a) x - x + x + 1.
3
2
b) x - x - x + 3.
3
2
c) x - x - x - 3.
3
2
d) x - x - 2x + 4.
3
2
e) x - x - x + 2.
30. (Ufjf 2006) O polinômio p(x) é divisível por x + 3, por x - 1 e por x + 5. Podemos dizer que o seu grau g é:
a) g > 3.
b) g < 3.
c) g ≥ 3.
d) g = 3.
e) g ≤ 3.
31. (Uel 2005) Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que:
- sua raiz é igual a 2
- p( - 2 ) é igual ao dobro de sua raiz
Nestas condições, é correto afirmar:
a) p(x) = -x + 2
b) p(x) = 2x - 4
c) p(x) = x - 2
2
d) p(x) = x - x - 2
2
e) p(x) = - x + x + 2
32. (Ita 1998) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x - 2 obtém-se um quociente q(x) e
2
resto igual a 26. Na divisão de p(x) por x + x - 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x - 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então,
h(2) + h(3) é igual a:
a) 16
b) zero
c) - 47
d) - 28
e) 1
4
3
4
33. (Ufrs 1998) Os polinômios de p(x) = x - 5x e q(x) = x - 5
a) têm exatamente as mesmas raízes.
b) têm três raízes em comum.
c) têm duas raízes em comum.
d) têm uma raiz em comum.
e) não têm raízes em comum.
3
2
34. (Pucmg 1997) No polinômio P (x) = x - x + 4x - 4 uma das raízes é 2i. Então, a raiz real de P (x) é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
3
2
35. (Mackenzie 1997) P(x) = x + (m + 2) x + (2m + 1) x + 2
Se -2 é a única raiz real do polinômio anterior, então o número de valores inteiros que m pode assumir é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4
3
36. (Uel 1996) Se o resto da divisão do polinômio p = x - 4x - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é
a) - 5
b) - 4
c) 5
d) 6
e) 8
2
2
37. (Uece 1996) Se Q1(x) é o quociente da divisão de x + 2 por x + 1 e Q2(x) é o quociente da divisão de x + 2 por x - 1, então Q1(3) +
Q2(4) é igual:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
38. (Fuvest 1996) Seja p(x) um polinômio divisível por x-3. Dividindo p(x) por x-1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da
divisão de q(x) por x-3 é:
a) - 5
b) - 3
c) 0
d) 3
e) 5
39. (Fatec 1995) Os restos da divisão de um polinômio p por (x-1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e -23. O resto da divisão de p
por (x-1)(x+2) é
a) - 23
b) - 22x
c) x - 2
d) 3x + 1
e) 8x - 7
3
2
40. (Uel 1994) A equação 2x - 5x + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1. As outras duas são tais que
a) ambas são números inteiros.
b) ambas são números negativos.
c) estão compreendidas entre -1 e 1.
d) uma é o oposto do inverso da outra.
e) uma é a terça parte da outra.
41. (Cesgranrio 1992) O valor real de a para o qual i é raiz do polinômio
5
4
P(x) = x + x + ax - 1 é:
a) -1
b) 1
c) -2
d) 2
e) 3
9
8
3
42. (Cesgranrio 1990) O resto da divisão de 4x + 7x + 4x + 3 por x + 1 vale:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.