Alguma propriedades importantes dos Autovalores de uma matriz

Autovalores e Autovetores :
Considere um sistema linear do tipo:
y Ab,
(1)
em A é uma matriz arbitrária N x N, e transforma o vetor b de dimensão N no vetor
y também de dimensão N. Vamos considerar que o nosso objetivo seja resolver
este sistema linear sendo que o vetor
y
é o vetor contendo os dados conhecidos e o
nosso problema consiste em achar o vetor b . No entanto, nesta seção nós não iremos
nos preocupar com nenhum método para a solução deste sistema, ao contrário iremos
nos concentrar no estudo das propriedades básicas deste sistema.
x um vetor em Rn, então
geralmente não há uma relação geométrica comum entre o vetor x e o vetor Ax
(Figura 1a). No entanto, há geralmente certos vetores x tal que x e Ax são
Considerando que A é uma matriz arbitrária N x N e
múltiplos escalares de um no outro (Figura 1b).
Ax
Ax
x
(a)
x
(b)
Figura 1
DEFINIÇÃO: se A é uma matriz arbitrária N x N, então um vetor não nulo x em Rn é
chamado autovetor (eigenvector) de A se o vetor
x , ou seja,
Ax   x
Ax
é um escalar múltiplo do vetor
(2)
O escalar é chamado de autovalor (eigenvalue) de A , e x
A correspondente (associado) ao autovalor 
para algum escalar
é o autovetor de
1
Autovalores e autovetores têm uma interpretação geométrica em R2. Se o escalar
autovalor de A correspondente ao autovetor
x,
é o
então dependendo do valor do
autovalor a multiplicação por A levará há uma dilatação, contração ou mudança
de direção de x (Figura 2).
x=Ax
x
x
x=Ax
x
x=Ax
(a) Dilatação
(b) Contração
(c) Mudança de Direção
(
(0 < 
( 
Figura 2
Para acharmos os autovalores da matriz A (N x N) temos que escrever a equação
Ax   x como :
Ax   I x
(3)
ou seja:
 I
Para

- A x0
(4)
ser um autovalor deve existir uma solução não nula para esta equação, ou seja,
deve existir uma solução não trivial x  0 que satisfaça esta equação homogênea.
Uma solução não trivial para esta equação homogênea ocorre se e somente se


DET  I - A  0
(5)
Esta equação acima é chamada de equação característica de A ; os escalares que
satisfazem a esta equação são os autovalores de A . Os autovalores de A devem
satisfazer ao polinômio de ordem N chamado de polinômio característico em que o
coeficiente de  é 1 e tem a seguinte forma:


DET  I - A  N  c1 N-1  ...  cN  0
(6)
2
Interpretação Geométrica de autovalor e autovetor:
Considere a matriz simétrica
4 8 
A

8 4
Esta matriz simétrica pode ser interpretada como uma matriz de dados em estatística,
em que as colunas representam variáveis e as linhas representam observações. Assim
o conteúdo de informação desta matriz pode ser visualizado geometricamente em R2 (e
também em R3 matriz 3 x 3), representando-se as observações num espaço definido por
eixos de variáveis (ou vice-versa):
Variável 2
Observação A (4,8)
Observação B (8,4)
Variável 1
Assim os pontos A (vermelho) e B (azul) representam as duas observações (linhas da
matriz) num espaço de duas variáveis (colunas da matriz)
Os autovalores da matriz A são dados resolvendo-se a equação característica. Assim
temos que
4 - 
DET
8
8 
 4 -  2  64  0

4 - 
Portanto a equação característica de A é:
2  8  48  0
A solução desta equação são
e ; estes são os autovalores da matriz
A.
3
Por definição temos que
são:
 I

- A x  0 portanto
os autovetores respectivos
8  x11  0
4 - 1
8
 x1   0
4

1  2   

Tomando-se  assim temos o vetor normalizado
1
x1   
1
e
8  x21  0
4 - 2
8
 x2   0
4

2  2  

Tomando-se  assim temos o vetor normalizado
 1
x2   
 1
.
Introduzindo-se os autovetores e autovalores no gráfico acima temos:
Vemos que os autovetores tomados com módulos iguais ao valores absolutos dos
respectivos autovalores caracterizam uma elipse com centro na origem e que passa
pelos pontos A e B. A forma elíptica indica a existência de um autovalor próximo a zero.
Mas o que significa um autovalor próximo de zero ? Ou ainda. O que significa um
4
autovalor igual a zero ? Veremos, a seguir, que na direção do autovetor associado a
este autovalor próximo a zero há um mal-condicionamento do sistema, ou seja, há uma
dependência linear.
Vamos considerar agora dois casos extremos:
CASO (a) - Neste primeiro caso temos
4 0 
A

0 4
Neste primeiro caso os autovalores são
A

e ; e
os autovetores da matriz

associada a estes autovalores são indeterminados: quaisquer dos vetores
satisfazem a equação  I - A x  0 .
Graficamente podemos constatar que este caso representa uma situação ideal em que
as observações A e B são o mais diferentes possível (são informações não
redundantes) e os autovalores são idênticos.
A forma circular indica uma independência linear do sistema.
CASO (b) - O segundo caso extremo temos:
5
4 4 
A

4 4
Neste segundo caso os autovalores são
A associada a estes autovalores são
e ; e
1
x1   
1
e
os autovetores da matriz
 1
x2    .
 1
Graficamente podemos constatar que as observações são idênticas (redundantes), ou
seja a observação A é idêntica a observação B = (4,4).
Concluímos que o caso (a) representa uma situação ideal: as observações A e B são o
mais diferente possível e os autovalores são valores idênticos. Note que neste o
número de condição (razão entre o maior e menor valor singular) é igual a 1.No caso
(b), ao contrário, as observações A e B são idênticas (redundantes), neste caso o
numero de condição tende para o infinito (razão extrema)
Os três casos que estudados podem ser sintetizados de acordo com o número de
condição:
COND = | | / |  | , | | > | 
Observações completamente
independentes
COND = 4 / 4 = 1
Observações parcialmente independentes
COND = 12 / 4 = 3
6
COND = 8 / 0  
Observações redundantes
Note que a presença de um autovalor NULO ou muito próximo a zero aumenta a
razão (em valor absoluto) entre os módulos dos autovalores extremos e indica
observações redundantes.
Podemos constatar que um autovalor nulo ou muito próximo de zero é um
medidor da não unicidade e da instabilidade, respectivamente, já que a redundância de
observações leva a problema subdeterminado, contendo mais incógnitas do que
observações (equações), e caracterizando portanto uma demanda de informação maior
que aquela contida nos dados observados problema mal-posto.
Então, para caracterizarmos se um problema é mal-posto, basta então
analisarmos os autovalores da matriz associada com o sistema linear
correspondente.
Infelizmente, a análise acima não pode ser aplicada diretamente porque em
geral o número de observações difere do número de parâmetros (incógnitas), de modo
que os autovalores e os autovetores de matriz não quadrada não são definidos.
Veremos abaixo como este problema é contornado.
Sistema linear Arbitrário:
Agora iremos investigar um sistema linear arbitrário n X M
y  Ap,
(7)
p de dimensão M e o vetor y
A transforma o vetor p de dimensão M no vetor y
em A é uma matriz arbitrária N x M, o vetor
de
dimensão N. Portanto a matriz
de
dimensão N. É evidente que a matriz A está associada com dois espaços em que um é
de N dimensão e o outro de M dimensão. Se o vetor p do espaço M-dimensional é
dado, o operador A opera e o transplanta dentro do espaço N-dimensional. Por outro
lado, se o nosso objetivo é resolver este sistema linear, em que foi nos dado o vetor
y do espaço N-dimensional (vetor contendo os dados geofísicos), então o nosso
problema consiste em achar o vetor
p do
espaço M-dimensional que o produza por
meio do operador A . No entanto, nesta seção nós também não iremos nos preocupar
com nenhum método para a solução deste sistema, ao contrário iremos nos concentrar
no estudo das propriedades básicas deste sistema
A idéia central que será a base para toda as nossas discussões do
comportamento do operados linear é a seguinte. Nós não consideraremos o sistema
linear
y Ap
AT qx
isoladamente mas expandido pelo sistema adjunto (M x N)
(8)
7
A matriz
AT
x estão
em uma relação de reciprocidade (intercâmbio) com os vetores
tem M linhas e N colunas (M x N) e adequadamente os vetores
y
Concretamente,
enquanto
pe x
e
q são
pe
q e
y.
vetores que pertencem ao espaço N-dimensional,
são vetores que pertencem ao espaço M-dimensional.
Tomaremos o sistema adjunto
A T q  x como um sistema auxiliar
formarmos um sistema aumentado. Assim combinaremos o sistema
para
A T q  x com o sistema
Apy
dentro do esquema aumentado:
Tza
(9)
em que introduzimos uma nova matriz quadrada T de dimensões ( N+M X N+M ) e
definida como segue:
A
N 0
T


M AT 0 


N
M
z
N
M
(10)
q 
p 
 
(11)
e
a
N
M
y 
x 
 
(12)
O sistema linear pode ser então definido como
0

 A T
A  q   y 
  
0  p  x 
Vale ressaltar que o sistema adjunto
efeito no sistema linear principal
A T q  x não exerce nenhum
Apy.
Assim os vetores
q
e
x são
8
completamente independente dos vetores p e y , e vice-versa. Porém a adição do
sistema adjunto ao sistema linear principal amplia o nosso conhecimento sobre as
propriedades do sistema linear arbitrário N x M.
Como a matriz T é quadrada podemos definir agora seus autovalores e
autovetores. Para tanto vamos tomar a equação fundamental dos autovalores
Twsw
(13)
T  s I  w  0
ou seja,
(14)
Em vista das características da nossa matriz T de dimensões ( N+M X N+M ) o vetor
w é um vetor de dimensão N+M. Vamos considerar então que o vetor w seja
particionado nos vetores u e v de dimensões N e M, respectivamente
w 
u
N 
M 

v
Então o sistema





Twsw
pode ser desdobrado na seguinte forma:
 A v  su

 T

A u  s v
(15)
Este par de equações chamaremos de “problema de autovalor deslocado” uma vez que
os vetores do lado direito u e v estão deslocados quando comparando com o
problema de autovalor já estudado em que temos
Ax   x .
Vamos então pré multiplicar a primeira equação do sistema acima por
segunda equação por
A
AT e
a
. Temos então o seguinte sistema
T
 T
A A v  s A u

T

A
A
usAv

Da primeira equação do sistema (15) temos que
segunda equação do sistema (16) temos que
(16)
A v  su .
Substituindo na
9
T
A A u  s2
u
(17)
T
Da segunda equação do sistema (15) temos que
primeira equação do sistema (16) temos que
A u  sv .
Substituindo na
T
A A v  s2 v
(18)
As equações (17) e (18) definem dois problemas de autovalores-autovetores. O
primeiro problema é associado a matriz simétrica N x N
AA
T
e o segundo problema
T
A A , ambos problemas com os mesmos
autovalores não nulos s 2. Os vetores u e v são, respectivamente, os autovetores de
está associado a matriz M x M
AA
T
T
e A A , portanto são vetores ortogonais que geram, respectivamente
espaços de N e M dimensões.
Existirão, no máximo, min (M,N) autovalores diferentes de zero, todos os outros
autovalores serão nulos. Assim se N > M a equação (18) comportará M autovalores que
poderão ser diferentes de zero. Por outro lado, a equação (17) comportará os mesmos
M autovalores que poderão ser diferentes de zero e também comportará N - M
autovalores nulos. As mesmas observações se aplicam, mutatis mutandis, para o caso
M > N.
Presumindo, sem perda da generalidade, que N > M a primeira equação do
sistema (15) aplicado a cada par de autovalor-autovetor leva ao sistema:
A v  s u
1
1 1

A v  s u
2
2 2






A v  s u
M
M M

(19)
Em notação matricial podemos escrever o sistema acima como:
10
A
v1
v 2 ... vM
  s1u1
s2 u 2 ... sM uM

(20)
ou ainda

u
 11
  u21


u N 1
A V
u12
u22

uN 2
... u1M
... u2 M
... 
u1, M 1
u2, M 1

... u NM
u N , M 1





... u1N   s1

... u2 N  

... 
 0
... u NN  









0 




sM 



s2...
...
0
Finalmente podemos escrever:
A (N  M)V (M  M) U(N  N) S(N  M)
as matrizes
UeV
v1
V
(21)
são definidas como
v 2 ... vM

e

U  u1
u 2 ... uN

T
T
Isto é U e V são matrizes cujas colunas são os autovalores de A A e A A ,
respectivamente. Como os autovetores são ortogonais, concluímos que os conjuntos
u1
 v1

v 2 ... vM formam bases ortogonais
e
que geram os espaços de observações e parâmetros, respectivamente. Assim as
matrizes
u 2 ... uN
U e V tendo colunas que são vetores ortogonais, são matrizes ortogonais.
As matrizes
U e V são normalizadas de modo que U e V sejam ortonormais, isto é:
T
T
 I ( M M ) e
T
T
 I (NN )
V VVV
U UUU
11
T
Pós multiplicando a equação (21) por
V
:
A V V T US V T
portanto;
A  U S VT
(22)
A equação 22 representa a DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES da matriz
A , assim chamada porque os valores S i que compõe a diagonal da matriz S
raiz quadrada positiva dos autovalores das matrizes
denominados de valores singulares de
T
A A ou
AA
, são a
T
e são
A.
A importância da decomposição de uma matriz em valores singulares está na obtenção
dos valores singulares, cuja análise, como já vimos, permite detectar se um problema é
mal-posto quando pelo menos um valor singular for NULO ou PRÓXIMO DE ZERO.
Veremos a seguir uma análise detalhada da relação entre a não unicidade e da
instabilidade com os valores singulares nulo ou próximo do valor zero.
12
Exemplo numérico da decomposição em valores singulares de uma
matriz A (3 x 2) em que o posto é igual a 1, portanto r < M < N. Neste
exemplo algumas propriedades das matrizes ortogonais U e V são
abordadas.
2

A  4
8

4 

8 
16 

 20.4939
 0.2182 0.9759 0.0000 



0
U   0.4364 - 0.0976 - 0.8944 S  

 0.8729 - 0.1952 0.4472 
0



0 

0  V 


0 
0.4472 - 0.8944

0.8944 0.4472 
1.0000 0.0000 0.0000 


U U   0.0000 1.0000 0.0000   I ( N  N )
 0.0000 0.0000 1.0000 


 1.0000 0.0000 0.0000 
T


U U   0.0000 1.0000 0.0000   I ( N  N )
 0.0000 0.0000 1.0000 


T
T
Então conclui-se que: U U  U U
1 0 
  I
V V  
 0 1
T
I
(N N )
1 0 
  I ( M  M )
VV  
0
1


T
T
(M M )
T
Então conclui-se que: V
VVV
T
I
(M M )
 0.9759 0.0000 
 0.2182




UN- r   - 0.0976 - 0.8944
U r   0.4364
 - 0.1952 0.4472 
 0.8729

( N  N  r )

( N r )

V r  

0.4472
 - 0.8944
 ( M  r ) VM-r  
 ( M  r )
0.8944
0.4472


 1 0 
T

U
U

N

r
N r 
U r U r  1(r  r )
0
1

 ( N r N r )
T
13
Então conclui-se que: U r
T
V
 1 (r r )
rVr
T
U r  I (r r ) e U N  r T U N  r  I ( N  r  N  r )
T
V
M r V M r
 1 (M  r M  r )
Então conclui-se que:
T
V r Vr  I ( r  r ) e V
T
Ur Ur





T
U N r U N r
T
M r V M r
 I (M  r M  r )
0.0476
0.0952
0.0952
0.1905
0.1905
0.3810
0.1905
0.3810
0.7619
0.0000
- 0.8944




( N  N )
 0.9759

  - 0.0976
 - 0.1952

0.4472




( N  N )
Veja que:
U r U r  U N r U N r
 1 0 0


  0 1 0
 I (N N )
 0 0 1

( N  N )
T

V r Vr  


0.2
0.4
T
T
T

V M r VM-r  


0.4
0.8
0.8
- 0.4



( M M )
- 0.4
0.2



( M M )
14
Veja que
T
V r Vr
T
 V M r VM-r

 

1 0 

 I ( M M )
0 1 ( M M )
 0.2182 


T
A  U r S r V r   0.4364 20.4959
 0.8729 


2

A  4
8

 0.4472
0.8944
4 

8 
16 

Das Equações acima poderíamos escrever:
T
V r Vr
T
V r Vr
T
 V M  r V M-r
 I ( M M )
T
Ur Ur
T
Ur Ur
 I ( M M )
T
 V M  r V M-r
e
T
 U N r U N r  I
I
( N N )
T
( N N )
- U N r U N r
Alguma propriedades importantes das matrizes ortonormais

V  V  

T
-1
U T  U 1





0.8944

- 0.8944 0.4472 
0.4472
0.2182 0.4364 0.8729 

0.9759 - 0.0976 - 0.1952
0.0000 - 0.8944 0.4472 
15
Alguma propriedades importantes dos Autovalores de uma matriz
quadrada A ( N X N). Considere que i , i  1,, N são os
autovalores de A .
1) A transposta de
2) A matriz
3) Se
A
kA
A
tem os mesmos autovalores da matriz
tem os autovalores
for Não- Singular, então
A
ki
A 1
tem autovalores
1
i
i  k
4) A matriz
A  kI
5) A matriz
p
A p em que p é um inteiro positivo, tem os autovalores i
6) Se a matriz
A
tem os autovalores
é uma matriz diagonal os autovalores
i  aii
16