Exercícios de revisão

Projeto UERJ
Específicas - 2013
Exercícios de revisão
Professor: Chiquinho
Aluno(a):
06/11/2012
1ª Questão :
(B) −1
(A) 1
(D) −i
(C) i
(E) 0
Determine todos os valores reais de x, de modo que o
número z = ( x − 2 ) + ( x + 3) i seja:
5ª Questão : (UFF)
a) real;
b) imaginário puro.
4x − i
, x∈\
4 − xi
seja um número real, é necessário que x seja igual a:
Sendo i a unidade imaginária, para que z =
2ª Questão : (UFF)
Sendo i a unidade imaginária e sabendo-se que i 2 = − 1 ,
considere a seguinte “demonstração”:
1= 1 =
( −1) ⋅ ( −1) =
(A) ±
−1 ⋅ − 1 = i ⋅ i = i 2
1
4
(B) ±1
(C) ± 2
(D) ±4
(E) ±3 2
6ª Questão : (UFF – 2009)
Comparando-se o primeiro e o último termo, chega-se à
falsa conclusão de que i 2 = 1 . O fato que leva a esta falsa
conclusão é :
2
(A) se 1 = ±1 então −1 = 1 , e a conclusão seria −1 = i .
(B) se i é a unidade imaginária, pode ter qualquer valor, em
particular o que nos interessa.
(C) a utilização da propriedade M ⋅ N = M ⋅ N .
(D) a existência da relação de igualdade em ^ .
(E) a utilização da propriedade i ⋅ i = i 2 .
Dentre as alternativas a seguir , assinale aquela que indica
uma afirmação incorreta.
(A) o conjugado de (1 + i ) é (1 − i )
(B) 1 + i = 2
(C) (1 + i ) é raiz da equação z 2 − 2z + 2 = 0
(D) (1 + i ) = (1 − i )
−1
(E) (1 + i ) = 2i
2
7ª Questão : (UFF)
3ª Questão : (UNIRIO)
2+i
= a + bi , onde i = −1 , então o valor de a + b é:
Se
1+ i
(A) 1
1
(B)
2
(C) 2
(D) −1
3
(E)
2
Sendo z um número complexo da forma a + bi , a , b ∈ \ ,
considere as afirmativas:
(I) z = z
(II) i10 = 1
(III) z ⋅ z = z
4ª Questão : (PUC – RIO)
2
⎛ 2
⎞
(1 + i ) ⎟⎟ =
⎜⎜
⎝ 2
⎠
Assinale a opção que contém a(s) afirmativa(s) correta(s)
:
(A) Apenas II e III
(B) Apenas I e II
(C) I, II e III
⎡ ⎛π⎞
⎛ π ⎞⎤
z = α ⎢ cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟ ⎥ , w = z 2
2
⎝ 2 ⎠⎦
⎣ ⎝ ⎠
(D) Apenas II
(E) Apenas I
sendo α um número real fixo, 0 < α < 1 .
8ª Questão : (FATEC - SP)
Determine a forma algébrica do número complexo
i3+ 4n
, onde n é natural e i a unidade imaginária.
z=
1− i
Determine a hora do jantar.
14ª Questão : (PUC - SP)
Seja o número complexo z =
9ª Questão : (PUC - MG)
de z é:
O número complexo z tal que 5z + z = 12 + 16i é igual a:
(A) −2 + 2i
(B) 2 − 3i
(C) 1 + 2i
(D) 2 + 4i
(E) 3 + i
10ª Questão : (PUC - RIO)
π
π⎞
⎛
(A) 2 2 ⎜ cos + i sen ⎟
4
4⎠
⎝
7π
7π ⎞
⎛
(B) 2 2 ⎜ cos
+ i sen ⎟
4
4 ⎠
⎝
π
π⎞
⎛
(C) 4 ⎜ cos + i sen ⎟
4
4⎠
⎝
(A) i
−i
(B) 1
As
(D) i
20301
3π
3π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sen ⎟
4
4 ⎠
⎝
7π
7π ⎞
⎛
2 ⎜ cos
+ i sen ⎟
4
4 ⎠
⎝
(D)
(E)
15ª Questão : (NIRIO)
Se i = −1 então a soma i 0 + i1 + i 2 + ... + i 200 é igual a :
1 − i 200
(C)
1− i
4i
. A forma trigonométrica
1+ i
(E)
11ª Questão : (UFRJ)
As raízes da equação x 2 − 4x + 8 = 0
são números
complexos que, representados no plano, têm afixos A e B.
a) Mostre que 2 + 2i é uma das raízes dessa equação.
ˆ , onde O
b) Determine a medida do menor ângulo AOB
representa a origem.
12ª Questão : (VUNESP - SP)
Considere os números complexos z = 2 + i e w = x + 2i ,
onde i é a unidade imaginária e x é um número real.
Determine:
a) o número complexo z.w ‚ em função de x;
b) os valores de x tais que Re ( z ⋅ w ) ≤ Im ( z ⋅ w ) , onde Re
denota a parte real e Im denota a parte imaginária do
número complexo.
imagens
dos
z = x + yi
complexos
tais
que
z − ( 2 + 3i ) = 4 formam, no plano complexo, uma ...
(A) reta
(B) parábola
(C) circunferência com centro no 10 quadrante e raio 2.
(D) circunferência com centro no 10 quadrante e raio 4.
(E) circunferência com centro no 40 quadrante e raio 2.
16ª Questão : (CESGRANRIO)
Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento
Sendo z o conjugado de z, a forma algébrica do complexo
z é:
(A) 1 − i 3
(B)
3 −i
(C)
3+i
(D) 1 + i 3
(E) 2
(
3 −i
)
17ª Questão : (UFSCAR)
Sejam x, y ∈ \ e z = x + y i um número complexo.
13ª Questão : (UFRJ)
Um jantar secreto é marcado
para a hora em que as
extremidades dos ponteiros do
relógio forem representadas
pelos números complexos z e
w a seguir:
π
.
3
a) Calcule o produto ( x + y i ) ⋅ (1 + i ) .
b) Determine x e y, para que se tenha ( x + y i ) ⋅ (1 + i ) = 2
18ª Questão : (UFRJ)
25ª Questão : (ITA)
Determine o menor inteiro n ≥ 1 para o qual
(
3+i
)
n
é
um número real positivo.
19ª Questão : (UERJ)
Os afixos de três números complexos são eqüidistantes de
(0,0) e vértice de um triângulo eqüilátero. Um desses
números é 1 + i 3 . Calcule os outros números na forma a +
bi.
93
⎛ 2⎞
O valor da potência ⎜⎜
⎟⎟ é:
⎝1+ i ⎠
−1 + i
(A)
(D)
2
1+ i
(B)
(E)
2
−1 − i
(C)
2
( 2)
( 2)
93
93
i
+i
26ª Questão : (PUC - RIO)
20ª Questão : (FUVEST)
O valor de (1 − i ) , onde i é a unidade imaginária, é de :
12
Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária
2+i
do número complexo
é zero, então α é:
α + 2i
(B) −2
(C) 1
(D) 2
(E) 4
(A) −4
(A) 2
−64i
21ª Questão : (UNIRIO)
a) represente graficamente a região correspondente a
z − 4 − 3i ≤ 5
22ª Questão : (UFF)
(D) 3
Se z = 2 − 5i e w = − 1 + 3i , sendo i = −1 , então o valor
de z ⋅ w é :
270
(B)
290
(C)
310
(D)
28ª Questão : (UNIRIO)
(E) 4
23ª Questão : (AFA)
(A)
330
24ª Questão : (UFF)
O lugar geométrico dos complexo z que satisfazem à
João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde
enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de
coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de
uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oesteleste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse
sistema, é a representação de um número complexo z = x +
iy ,
x ∈ \ , y ∈ \ e i 2 = −1 . Para indicar a posição
( x1 , y1 )
e a distância d do cofre à origem, João escreveu a
9
seguinte observação no canto do mapa: x1 + iy1 = (1 + i ) .
Calcule:
(B) o valor de d.
(D) um quadrado
(E) uma parábola
(D) −2 + 2i
(E) −2 − 2i
29ª Questão : (UERJ – 2005)
(A) as coordenadas ( x1 , y1 ) ;
2
equação z ⋅ z + z = 2 é :
(A) uma reta
(B) uma elipse
(C) uma circunferência
(E)
Uma das raízes cúbicas de um número é o complexo
z = −1 + 3i . Determine as outras.
(A) 2 − 2i
(B) 2 + 2i
(C) i
1+ i 1− i
é um complexo de módulo igual a:
−
1− i 1+ i
(C) 2
(D) 64i
Considere u = 2 + 2i e v = 2 − 2i . Então, u 28 ⋅ v −27 é igual
a:
b) represente z = 5 − 5 3i na forma trigonométrica.
(B) 1
(C) −64
27ª Questão : (UFF)
Sendo z = x + yi um número complexo:
(A) 0
(B) 64
30ª Questão : (UFF)
Um
aluno
p(x) = ax 2 + bx + c ,
( x − 2)
(A) 1
dividiu
o
sucessivamente
,
polinômio
por ( x − 1) ,
e ( x − 3) e encontrou, respectivamente , restos 0, 0
e 1. Determine o polinômio
p(x)
(B) 3
(C) –3
(D) P(3)
(E) P(–3)
37ª Questão : (UFF)
Considere o esboço do gráfico da função polinomial
p(x) representado abaixo.
y
31ª Questão : (UFRJ - 06)
Determine a e b de forma que, para todo x real e tal que
x ≠ 1 , se tenha
3
a
b
2x
.
+
= 2
x −1 x +1 x −1
x
1
2
5
8
32ª Questão : (PUC - RIO)
O
polinômio
divisível
por
P
é
( x + 1)
que P(x) = x 3 + px + q
tal
é
e deixa resto 4 na divisão por
( x − 1) . Determine p e q.
33ª Questão : (FUVEST)
Seja p(x) um polinômio divisível por ( x − 3) . Dividindo
Sobre p(x) pode-se afirmar que:
(A) não tem raízes complexas
(B) é divisível por ( x − 1)
(C) quatro de suas raízes são reais e distintas
(D) p(0) = 0
(E) seu termo independente é igual a 80
p(x) por ( x − 1) obtemos quociente q(x) e resto r = 10 .
O resto da divisão de q(x ) por
(A) – 5
(B) – 3
( x − 3)
(C) 0
é:
(D) 3
(E) 5
38ª Questão : (UFF)
Na decomposição de um polinômio P(x) , um aluno
atilizou o algoritmo conhecido como
de Briot-Ruffini,
conforme indicado abaixo:
1
-2
34ª Questão : (UFF)
Sabendo-se que para todo x ≠ −2 , x ≠ −1 e x ≠ 1 temse:
x2 +1
A
B
C
,
=
+
+
x
1
x
2
x
1
x
1
x
2
x
−
+
+
−
+
+1
( )(
)( )
determine os valores de A, B e C.
1
1
1
1
2
0
-4
-2
-2
-2
-4
0
Com base nos dados acima, determine
P(x) e todas as suas raízes.
4
0
o polinômio
39ª Questão : (UFF)
Dado o polinômio P(x) = x 3 − x 2 + bx + c , sabendo que o
número complexo i é uma de suas raízes, determine os
valores de b e c.
35ª Questão : (UFF)
Para que o polinômio p(x) = x 4 − 4x 3 + 3x 2 + mx + n
tenha 1 e –1 como raízes, os valores de m e n devem
ser, respectivamente:
(A) 0 e –1
(B) –4 e –4
(C) 4 e 4
(D) 4 e –4
(E) 1 e 0
40ª Questão : (UFRJ)
Considere o polinômio P(x) = x 3 − 2 x 2 − 3x + 6 .
A) Calcule o resto da divisão de P(x) por x – 2.
B) Ache as raízes de P(x) = 0.
41ª Questão : (UFF)
36ª Questão : (UNIRIO)
O resto da divisão
3 é ....
de um polinômio P(x) por x –
Sobre os polinômios P(x) e Q(x) temos as seguintes
informações:
I.
P(x)
18x + 6
= x 3 − x 2 + 4x + 2 +
Q(x)
Q(x)
46ª Questão : (UFRJ)
Encontre as raízes de x 3 + 15x 2 + 66x + 80 = 0 sabendo que
são reais e estão em progressão aritmética.
II . P(0) = P(1) = Q(3) = 0 , Q(0) ≠ 0 e Q(1) ≠ 0
III . Q(x) é do 20 grau .
Determine:
47ª Questão : (FUVEST)
A) P(x)
B) Q(x)
As três raízes de x 3 − 31x − 10 = 0 são
valor de p 2 + q 2 é :
42ª Questão : (UFF)
(A)
O resto da divisão do polinômio p(x) por
( x − 1)3
é o
polinômio r(x). Sabendo-se que o resto da divisão de r(x)
por x − 1 é igual a 5, encontre o valor de p(1).
5
9
(B)
10
9
(C)
20
9
(D)
p, q e 2. O
26
9
(E)
31
9
48ª Questão : (UFRJ)
Determine todas as raízes de x 3 + 2x 2 − 1 = 0 .
43ª Questão : (UFF)
Os gráficos da função polinomial p e da reta r estão
representados na figura abaixo.
y
1
As equações acima, em que x ∈ ^ , têm uma raiz comum.
Determine todas as raízes não-comuns.
x
4
0
x 3 + x + 10 = 0
x 3 − 19x − 30 = 0
r
4
2
49ª Questão : (UERJ)
50ª Questão : (UNIRIO)
3
Considere a equação x 3 + 4x 2 − 5x + k = 0 .
p
A) Qual é o valor de k para que se tenha x = 2 como
raiz desta equação ?
A) Calcule o resto da divisão de p(x) por
(x – 3).
B) Escreva a equação de r.
C) Determine a expressão que define p, sabendo que
as três únicas raízes de p são reais.
A
soma
e o produto das raízes da equação
2x 3 − 7 x 2 + 3x − 4 = 0 são, respectivamente:
7
e2
2
7
e2
2
7
(E) e – 2
2
(D)
(B) 7 e – 2
(C) 7 e 4
45ª Questão : (UEBA)
Se – 2 é raiz da equação 4x 3 + 4x 2 − 11x − 6 = 0 ,
a soma das outras raízes vale:
(A) 5
(B) 3
(C) 2
51ª Questão : (UERJ – 2012)
Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação
do terceiro grau:
44ª Questão : (UCS – BA)
(A) −
B) Com o valor de k encontrado no item anterior,
ache todas as raízes da equação.
(D) 4
(E) 1
( x + 2 )4 = x 4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.