MMM-Regras de Derivação

Cálculo
Diferencial
e
Integral
Regras de Derivação
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala
MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Sejam f, g e h funções deriváveis, e a, c e α constantes reais. Então:
Funções Elementares
f ( x)
1)
f ( x) = c
f '( x)
Derivada de Constantes
f '( x) = 0
2)
f ( x) = x
Derivada da função identidade
f '( x) = 1
3)
f ( x) = g ( x) + h( x)
Derivada da Soma
f '( x) = g '( x) + h '( x)
4)
f ( x) = g ( x).h( x)
Derivada do Produto
f '( x) = g '( x).h( x) + g ( x).h '( x)
5)
f ( x) = cg ( x)
Constante Inalterada no Produto
f '( x) = c.g '( x)
6)
7)
g ( x)
h( x)
Derivada do Quociente
f ( x) = ax n , (n ≠ 0)
Derivada do Monômio
f ( x) =
f '( x) =
g '( x).h( x) − g ( x).h '( x)
g ( x)2
f '( x) = n.a.x n −1
8)
f ( x) = a x , (a > 0, a ≠ 1)
Derivada da Exponencial
f '( x) = a x .Ln(a )
9)
f ( x) = e x
Derivada da Exponencial na Base e
f '( x) = e x
10) f ( x) = Log a ( x)
Derivada do Logaritmo
1
f '( x) = .Log a e
x
11) f ( x) = Ln ( x) = Log e ( x)
Derivada do Logaritmo Natural
f '( x) =
1
x
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MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
Funções Trigonométricas
f ( x)
f '( x)
12) f ( x) = Sen( x)
Derivada do Seno
f '( x) = Cos ( x)
13) f ( x) = Cos ( x)
Derivada do Cosseno
f '( x) = − Sen( x)
14) f ( x) = Tg ( x) =
Sen( x)
Cos ( x)
15) f ( x) = Cotg ( x) =
16) f ( x) = Sec( x) =
Cos ( x)
Sen( x)
1
Cos ( x)
17) f ( x) = Cosec( x) =
1
Sen( x)
18) f ( x) = Arc Sen( x)
Derivada da Tangente
f '( x) = Sec 2 ( x)
Derivada da Cotangente
f '( x) = −Cosec 2 ( x)
Derivada da Secante
f '( x) = Tg ( x).Sec( x)
Derivada da Cossecante
f '( x) = −Cotg ( x).Cosec( x)
Derivada da Inversa do Seno
1
f '( x) =
19) f ( x) = Arc Cos ( x)
1 − x2
Derivada da Inversa do Cosseno
−1
f '( x) =
20) f ( x) = ArcTg ( x)
1 − x2
Derivada da Inversa da Tangente
21) f ( x) = Arc Cotg ( x)
1
1 + x2
Derivada da Inversa da Cotangente
22) f ( x) = Arc Sec( x),| x |≥ 1
1
1 + x2
Derivada da Inversa da Secante
f '( x) =
f '( x) = −
f '( x) =
23) f ( x) = Arc Cosec( x),| x |≥ 1
1
| x | . 1 − x2
,| x |> 1
Derivada da Inversa da Cossecante
f '( x) = −
1
| x | . 1 − x2
,| x |> 1
3/9
MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
Funções Hiperbólicas
f ( x)
24) f ( x) = Senh( x)
f '( x)
Derivada do Seno Hiperbólico
f '( x) = Cosh( x)
25) f ( x) = Cosh( x)
Derivada do Cosseno Hiperbólico
f '( x) = Cosh( x)
26) f ( x) = Tgh(u )
Derivada da Tangente Hiperbólica
f '( x) = Sech 2 ( x)
27) f ( x) = Cotgh(u )
Derivada da Cotangente Hiperbólica
f '( x) = −Cosech 2 ( x)
28) f ( x) = Sech( x)
Derivada da Secante Hiperbólica
f '( x) = − Sech( x).Tgh( x)
29) f ( x) = Cosech(u )
Derivada da Cossecante Hiperbólica
f '( x) = −Cosech( x).Cotgh( x)
30) f ( x) = Arg Senh( x)
31) f ( x) = Arg Cosh(u )
Derivada da Inversa do Seno Hiperbólico
f '( x) =
1
f '( x) =
1
x2 + 1
Derivada da Inversa do Cosseno Hiperbólico
32) f ( x) = Arg Tgh( x)
, x >1
x2 − 1
Derivada da Inversa da Tangente Hiperbólica
33) f ( x) = Arg Cotgh( x)
1
,| x |< 1
1 − x2
Derivada da Inversa da Cotangente Hiperbólica
34) f ( x) = Arg Sech(u )
1
,| x |> 1
1 − x2
Derivada da Inversa da Secante Hiperbólica
f '( x) =
f '( x) =
f '( x) = −
35) f ( x) = Arg Cosech( x)
1
,0 < x <1
x. 1 − x 2
Derivada da Inversa da Cossecante Hiperbólica
f '( x) = −
1
| x | . 1 + x2
,x ≠ 0
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MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
REGRAS DE DERIVAÇÃO PARA FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA
Sejam f e g funções deriváveis, e sejam a, c e α constantes reais. Então:
f ( x) = ( g h)( x) = g (h( x)) ⇒ f ( x) ' = g '(h( x)).h '( x)
Funções Elementares
f ( x)
f '( x)
1)
f ( x) = g ( x) n , (n ≠ 0)
f '( x) = n.g ( x) n−1.g '( x)
2)
3)
f ( x) = a g ( x ) , (a > 0, a ≠ 1)
f ( x) = Log a g ( x)
f '( x) = g '( x).a g ( x ) .Ln(a )
g '( x)
.Log a e
f '( x) =
g ( x)
4)
5)
f ( x) = e g ( x )
f ( x) = Ln( g ( x))
f '( x) = g '( x).e f ( x )
g '( x)
f '( x) =
g ( x)
Funções Trigonométricas
f ( x)
f '( x)
6)
f ( x) = Sen( g ( x))
f '( x) = g '( x).Cos ( g ( x))
7)
f ( x) = Cos ( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Sen( g ( x))
8)
f ( x) = Tg ( g ( x))
f '( x) = g '( x).Sec 2 ( g ( x))
9)
f ( x) = Cotg ( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Cosec 2 ( g ( x))
10) f ( x) = Sec( g ( x))
f '( x) = g '( x).Sec( g ( x)).Tg ( g ( x))
11) f ( x) = Cosec( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Cosec( g ( x)).Cotg ( g ( x))
12) f ( x) = Arc Sen( g ( x))
13) f ( x) = Arc Cos ( g ( x))
14) f ( x) = ArcTg ( g ( x))
15) f ( x) = Arc Cotg ( g ( x))
g '( x)
f '( x) =
1 − g 2 ( x)
f '( x) = −
g '( x)
1 − g 2 ( x)
g '( x)
1 + g 2 ( x)
g '( x)
f '( x) = −
1 + g 2 ( x)
f '( x) =
16) f ( x) = Arc Sec( g ( x))
com g ( x) |≥ 1
f '( x) =
17) f ( x) = Arc Cosec( g ( x))
com | g ( x) |≥ 1
f '( x) = −
f '( x)
| g ( x) | . 1 − g ( x )
2
,| g ( x) |> 1
g '( x)
| g ( x) | . 1 − g 2 ( x)
,| g ( x) |> 1
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MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
Funções Hiperbólicas
f ( x)
f '( x)
18) f ( x) = Senh( g ( x))
f '( x) = g '( x).Cosh( g ( x))
19) f ( x) = Cosh( g ( x))
f '( x) = g '( x).Senh( g ( x))
20) f ( x) = Tgh( g ( x))
f '( x) = g '( x).Sech 2 ( g ( x))
21) f ( x) = Cotgh( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Cosech 2 ( g ( x))
22) f ( x) = Sech( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Sech( g ( x)).Tgh( g ( x))
23) f ( x) = Cosech( g ( x))
f '( x) = − g '( x).Cosech( g ( x)).Cotgh( g ( x))
24) f ( x) = Arg Senh( g ( x))
25) f ( x) = Arg Cosh( g ( x))
26) f ( x) = Arg Tgh( g ( x))
27) f ( x) = Arg Cotgh( g ( x))
28) f ( x) = Arg Sech( g ( x))
29) f ( x) = Arg Cosech( g ( x))
f '( x)
f '( x) =
g 2 ( x) + 1
g '( x)
f '( x) =
g 2 ( x) − 1
, g ( x) > 1
f '( x) =
g '( x)
,| g ( x) |< 1
1 − g 2 ( x)
f '( x) =
g '( x)
,| g ( x) |> 1
1 − g 2 ( x)
f '( x) = −
f '( x) = −
g '( x)
g ( x). 1 − g ( x)
2
, 0 < g ( x) < 1
g '( x)
| g ( x) | . 1 + g 2 ( x)
, g ( x) ≠ 0
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MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES
Derivada da Exponencial
f ( x) = a x , (a > 0, a ≠ 1)
f '( x) = a x .Loge a = a x .Ln(a)
Derivada da Exponencial na Base e
f ( x) = e x
f '( x) = e x .Loge (e) = e x .1 = e x
Derivada do Logaritmo
f ( x) = Log a g ( x)
f '( x) =
g '( x)
.Log a e
g ( x)
Derivada do Logaritmo Natural
f ( x) = Ln ( x) = Log e ( x)
f '( x) =
x'
1
1
.Log e (e) = .1 =
x
x
x
Derivada da Tangente
f ( x) = Tg ( x) =
f '( x) =
=
=
Sen( x)
Cos ( x)
Sen( x) '.Cos ( x) − Sen( x).Cos ( x) '
( Cos( x) )
2
=
Cos ( x).Cos ( x) − Sen( x).(− Sen( x))
( Cos( x) )
2
Cos 2 ( x) + Sen 2 ( x)
1
=
=
2
Cos ( x)
Cos 2 ( x)
2
 1 
2
2
=
 = ( Sec ( x) ) = Sec ( x)
Cos
(
x
)


=
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MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
Derivada da Cotangente
f ( x) = Cotg ( x) =
Cos ( x)
Sen( x)
Cos ( x) '.Sen( x) − Cos ( x).Sen( x) '
f '( x) =
( Sen( x) )
=
=
2
− Sen( x).Sen( x) − Cos ( x).Cos ( x)
( Sen( x) )
2
=
=
− Sen 2 ( x) − Cos 2 ( x)
Sen 2 ( x) + Cos 2 ( x)
=
−
Sen 2 ( x)
Sen 2 ( x)
2
 1 
1
=−
=
−

 =
Sen 2 ( x)
 Sen( x) 
= − ( Cosec ( x) ) = −Cosec 2 ( x)
2
Derivada da Secante
f ( x) = Sec( x) =
f '( x) =
1
Cos ( x)
1'.Cos ( x) − 1.Cos ( x) '
( Cos( x) )2
=
=
0 − (− Sen( x))
( Cos( x) )
2
=
=
Sen( x)
=
Cos 2 ( x)
Sen( x)
1
.
= Tg ( x).Sec( x)
Cos ( x) Cos ( x)
Derivada da Cossecante
f ( x) = Cosec( x) =
f '( x) =
1
Sen( x)
1'.Sen( x) − 1.Sen( x) '
=
( Sen( x) )2
0 − Cos ( x)
( Sen( x) )2
=−
=−
=
Cos ( x)
=
Sen 2 ( x)
Cos ( x)
1
.
= −Cotg ( x).Cosec( x)
Sen( x) Sen( x)
8/9
MMM
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – REGRAS DE DERIVAÇÃO
Derivada da Inversa da Tangente
f ( x) = ArcTg ( x)
f ( x) = y = ArcTg ( x) ⇒ x = Tg ( f ( x)) ⇒ x 2 = Tg 2 ( f ( x))*
1
=
Tg '( f ( x))
1
1
=
=
=
2
2
Sec ( f ( x)) 

1


 Cos ( f ( x)) 
f '( x) = ArcTg '( x) =
=
1
1
=
=
2
1
Cos ( f ( x)) + Sen 2 ( f ( x))
Cos 2 ( f ( x))
Cos 2 ( f ( x))
1
1
=
=
2
2
Sen ( f ( x))
 Sen( f ( x)) 
1+
1+ 

Cos 2 ( f ( x))
 Cos ( f ( x)) 
*
1
1
=
=
2
1 + Tg ( f ( x)) 1 + x 2
=
9/9