Funções Trigonométricas •Derivadas de Ordens - IME-USP

•Funções Trigonométricas
•Derivadas de Ordens Superiores
•Máximo e mínimo de uma função
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
REVISÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
EM UMA
CIRCUNFERÊNCIA
DE RAIO 1
COS (59,655º)= 0,505
SEN (59,655º)=0,863
b
a =1
Seno é a projeção no
eixo Y
c
Cosseno é a projeção no
Eixo
cos α = c/a →
c= cos α
sen α = b/a →
b=sen α
Ângulo α
REVISÃO DE TRIGONOMETRIA
a = 10 m
b= 8,629
α = 59,655º
cos α = c/a
sen α = b/a
c= 5,052 m
cos α = c/a = 5,062/10 = 0,505
sen α = b/a = 8,629/10 = 0,863
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ALGUNS VALORES TRIGONOMÉTRICAS
0,5
0,87
0,71
0,87
0,71
0,5
0,57
1,73
EXERCÍCIO 01
PREENCHA
COM OS
VALORES
QUE
FALTAM
0,5
0,87
0,71
0,87
0,71
0,5
0,57
cotg
sec
cossec
1,73
EXERCÍCIO 02
• Calcule:
– sen(30).cos(45) + sen(45).cos(30)
– 0,5x0,71 + 0,71x0,87 = 0,355+0,617=0,9727
– sen(90).cos(45) + sen(45).cos(90)
– tg(45).sen(90) - tg(30).cossec(30)
– cotg(30).sen(45)
EXERCÍCIO 03
• Se α=30º , quais são os valores de b e c ?
• sen 30 = b/10
0,5=b/10
0,5X10=b
• Se α=45º , quais são os valores de b e c ?
5=b
b=5
EXERCÍCIO 04
• Se c = 5, qual o valor de α e b ?
• cos α = c/a
cos α = 5/10
cos α = 0,5
• Se b= 5 qual o valor de α e c ?
α= 60º (é só ver a tabela)
Derivadas de ordens
superiores
notações
y’(x)=f’(x)=dy
y’(x)=f’(x)=
dy
dx
y’’(x)=f’’(x)=d
y’’(x)=f’’(x)=
d2y
dx2
• Exemplo
–
–
–
–
–
–
y=f(x)= 10x8+5x4+4x3+2x2+19x+52
Y’ = f’(x) = 80x7+20x3+12x2+4x+19 (1ª derivada)
Y’’ = f’’(x) = 560x6+60x2+24x+4
(2ª derivada)
Y’’’ = f’’’(x) = 3360x5+120x2+24
(3ª derivada)
Y’’’’ = f’’’’(x) = 16800x4+240x
(4ª derivada)
Y’’’’= f’’’’(x) = 67200x3+240
(5ª derivada)
EXERCÍCIO 05
• Quais são as 1ª e 2ª derivadas de
– y=f(x)= 4x5+3x3+4x2
- y=f(x) = 50x8+7x7
- y=f(x) = 20x5+2x4
Máximo e mínimo de
uma função
Máximo e mínimo de uma
função
• O valor de x que corresponde ao máximo e mínimo de
uma função y=f(x) ocorre quando y’(x)=f’(x)=0, ou seja, x
corresponde ao ponto onde a derivada é zero
Reta tangente a função y= f(x): a derivada é zero
x
Exemplo
• Seja a função y=f(x) = x2-5x, qual o valor de x que corresponde ao
mínimo (a concavidade é para cima) da função ?
•
A derivada da função y=f(x)= x2-5x é y’=2x-5
• Igualando a 0 temos
2x-5=0
x = 5/2
• Qual o valor y=f(x) máximo ou mínimo?
• y=f(5/2)= (5/2)2 -5.(5/2) = 25/4 – 25/2 = (25 -50)/4 = -25/4
• Note que foi o mesmo que encontrar os vértices da função xv=-b/2a
e yv=-∆/4a)
• Na equação a=1, b=-5 e c=0
• ∆= b2-4ac= 25 -4.1.0 =25
• Xv = -5/2
e yv=-25/4
EXERCÍCIO 06
• Seja a função y=f(x) = 2x2-20x, qual o valor de x que corresponde
ao máximo ou mínimo da função ?
• Qual o valor y=f(x) máximo ou mínimo?
• Seja a função y=f(x) = x2-4x, qual o valor de x que corresponde ao
mínimo da função ?
• Qual o valor y=f(x) mínimo?