Matemática para Engenharia I Lista Derivadas 1. Usando - PET-EE

Matemática para Engenharia I
Lista Derivadas
(
1. Usando que
a) ( )
d) ( )
(
(
,
)
( )
encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto p(x0,y0).
)
b) ( )
,
(
( ))
e) ( )
, (
c) ( )
)
)
, (
f) ( )
)
, (
2. Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição:
a) ( )
d) ( )
;
b) ( )
) ( )
e) cos(x);
f) ( )
3. calcule a derivada da função abaixo definição, considerando c
R , n,m
Neb
c) ( )
√
] 0, +∞ [- {1} .
a) ( )
b) ( )
e) ( )
e) ( )
i) ( )
j) ( )
k) ( )
√
l) ( )
m) ( )
n) ( )
o) ( )
√
p) ( )
q) ( )
r) ( )
( )
d) ( )
g) ( )
( )
h) ( )
√
4. Usando as regras de derivação calcule a derivada das funções abaixo:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
g) ( )
h) ( ) =
+
i) ( ) =
k) ( )
( )
l) ( )
j) ( )
m) ( ) =
p) ( ) =
( )
( )
( )
n) ( ) =
( )
( )
o) ( )
q) ( )
r) ( )
s) ( )
t) ( )
u) ( )
v) ( )
w) ( )
x) f(x) =
y) ( )
z) f(x) =
( )
( )
( ))
2
5. Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no
ponto indicado.
(a) f (x) = tg x , x =
5π
4
(b) f (x) = (x2 − x) · ex , P (2, 2e2 )
(c) f (x) =
x+1
x−1
, P (−1, 0)
6. Nas funções f abaixo, calcule f 0 e f 00 , se existirem.
(a) f (x) = x2 + 2x + 3
(b) f (x) = x37 + x
(d) f (x) = (2x + 7)(x2 − 2)
(e) f (x) =
(g) f (x) =
3x2 + 2x − 1
√
x+2
√
3
(c) f (x) =
x+1
(h) f (x) = 27−73 +
(f ) f (x) =
ex
x2
cos (x2 )
x
√
x
p
5
x2 (x + 1)
(i) f (x) = x2 ex
−2
2
(l) f (x) = ex sen(x + 1)
(j) f (x) = sen(x2 + 1)
(k) f (x) =
(m) f (x) = ln(x2 + 1)
(n) f (x) = ln(ex x)
(o) f (x) = cos (ln(x))
(q) f (x) = tg x − cotg x
(r) f (x) = x · arcsen x
(p) f (x) =
2
sen x + cos x
sen x − cos x
Derivada como taxa de variação
7. O potencial eletrostático gerado por uma carga positiva de valor q é dada pela equação
V =
q
,
4π(r − r0 )
onde (r − r0 ) é a distância entre a carga q em r0 e um ponto qualquer do espaço r (exceto
em r = r0 ). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor e colocada
em r sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto r, i.e.,
F = −e
dV
.
dr
a) Calcule a força que a carga q exerce sobre e em função de r.
e−m(r−r0 )
(potencial de Yukawa), calcule a força
4π(r − r0 )
que a carga q exerceria sobre e em função de r.
b) Se o potencial fosse dado por V = −q
8. Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão
√
r(t) = 3 3 t + 8 para 0 ≤ t ≤ 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das
seguintes grandezas em t = 8:
a) raio do balão r(t)
3
b) área da superfície do balão A(t)
c) volume do balão V (t),
4
onde a área da superfície do balão é dada por A = 4πr2 , e o volume do balão é V = πr3 .
3
9. A Lei de Boyle para os gases afirma que P V = c, onde P é a pressão, V o volume e c
uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão
P (t) = (20 + 2t)g/cm3 para 0 ≤ t ≤ 10. Se o volume em t = 0 é 45cm3 , determine:
a) a constante c,
b) a taxa de variação do volume em função do tempo,
c) a taxa de variação do volume em t = 5.
10. Carregando um capacitor num circuito RC.
Um circuito RC (figura acima) é caracterizado pela associação em série de uma fonte de
tensão (bateria) , um resistor R e um capacitor C. A carga q no capacitor é dado em função
do tempo por
q(t) = C 1 − e−t/RC .
Uma vez que a corrente no circuito é definida como i(t) =
dq(t)
, calcule a corrente elétrica
dt
em
a) t = 0,
b) t = 1
e c) t = 10
se = 12V , C = 1F e R = 2Ω.
d) A corrente no circuito aumenta ou diminui com o tempo? Qual a corrente no limite
t → ∞?
Obs. Os símbolos V , F e Ω são usados para designar as unidades de potencial eletrostático
volt, capacitância Faraday e resistência elétrica ohm.
4
Derivação implícita
11. Supondo que cada equação abaixo defina uma função implícita tal que y = f (x), determine
y0.
(a) 8x2 + y 2 = 10
(b) 4x3 − 2y 3 = x
(c) (y 2 − 9)4 = (4x2 + 3x − 1)2
12. Em cada exercício abaixo ache a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no
ponto indicado:
(a) xy + 16 = 0 ; P (−2, 8)
(b) y 2 − 4x2 = 5 ; P (−1, 3)
Taxas relacionadas
13. Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da
escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 3m/s, com que velocidade o topo da
escada desliza parede abaixo quando está a 3m do chão?
14. Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada
1
1
1
=
+
. Se R1 e R2 aumentam à taxa de 0, 01 Ω/s e 0, 02 Ω/s, respectivamente,
por
R
R1 R2
determine:
a) a taxa de variação de R em função do tempo,
b) a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 Ω e R2 = 90 Ω.
Linearização e diferenciais
15. Por meio de diferenciais, calcule a área de um anel de espessura t, i.e., um anel de raio interno
r e raio externo r + dr = r + t. Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproximada
no lugar da exata?
5
16. (a) Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola
oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio externo r + dr = r + t. (b) Qual o erro
decorrente do emprego da fórmula aproximada no lugar da exata? (c) Suponha r = 20cm e
t = 1cm e calcule o volume aproximado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego
4
de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio R é V = πR3 ).
3
17. Use diferenciais para aproximar
√
3
65. (Sugestão: faça y = f (x) =
√
3
x com x = 64 e ∆x = 1.
Considere f (x + ∆x) ≈ f (x) + ∆y).
18. Segundo a Teoria da Relatividade Especial, a energia de uma partícula que se move com
velocidade v é dada por
mc2
E(v 2 ) = p
,
1 − v 2 /c2
onde c é a velocidade da luz e m sua massa. Se a velocidade v da partícula é muito pequena
se comparada a c, i.e., v 2 c2 , podemos linearizar a expressão da energia e identificar que as
primeira contribuições a E(v 2 ) são a energia de repouso E0 e a energia cinética newtoniana
Ecin (v 2 ). Usando esse fato, determine E(v 2 ) para v 2 c2 . (Sugestão: faça x = v 2 /c2 e
1
através da expressão f (x) ≈ f (0) + f 0 (0)∆x substituindo
linearize a função f (x) = √
1−x
∆x = x = v 2 /c2 ).
Respostas
(a) y = 2x + 1
1.
(d) y =
(b) y = x
x
−2
3
2. (a) 0 (b) 1 (c) −
(e)y =
7x − 15
4
(c) y = x
(f ) y = −
1
25
1
1
(d)
(e) − (f )
9
3
2
6
21
105
x+
16
32
6
(a) 0
(b) 1
(d) 3x2
1
(g) − sen x (h)
x
1
1
(k) √
(l) − 2
x
2 x
2 −1/3
m m/n−1
(o) x
(p) x
3
n
(c) 2x
(e) nxn−1 (f ) cos x
1
1
3. (i) x ln 10 (j) x ln b
2
n
(m) − 3 (n) − n+1
x
x h
b −1 x
x
(q) e
(r) lim
b
h→0
h
(a) 0
(b) 1
(c) 2x
(d) − 3x−4
(e) nxn−1
(g) 9x2 + 4x − 5
(h) − πx−5 −
(j) cos x
(k) − sen x
(f ) cxc−1
2
35
(i) − 2 + 6
x
x
(l) sec2 x
4. (m) sec x.tg x
(p) 2sec2 x − 5sec x.tg x
1
(s)
x ln b
(v) ex (x + 1)
ln x
1
(y) − x 1 −
e
x ln x
5. (a) y = 2x +
6π
x4
(n) − cot x.cossec x
1
(q)
x
(t) ex
ex
1
(w)
1−
ln x
x ln x
x
e
sen x (z)
cos x + sen x −
ln x
x ln x
(o) cos x + sen x
1
(r)
x ln 10
1
(u) + ex
x
(x) − sen2 x + cos2 x
2 − 5π
1
(b) y = (5x − 8)e2 (c) y = − (x + 1)
2
2
6. (a) f 0 (x) = 2x + 2 , f 00 (x) = 2
(b) f 0 (x) = 37x36 + 1 , f 00 (x) = 1332x35
1
1
(c) f 0 (x) = √ , f 00 (x) = − 3/2
2 x
4x
(d) f 0 (x) = 6x2 + 14x − 4 , f 00 (x) = 12x + 14
(e) f 0 (x) =
2
(x + 1)−2/3
, f 00 (x) = −
3
9(x + 1)5/3
(f ) f 0 (x) =
2
2
x(3x + 2)
00 (x) = − 2x (3x + 4x + 3)
,
f
5[x2 (x + 1)]4/5
25[x2 (x + 1)]9/5
(g) f 0 (x) =
2
9x2 + 26x + 9
00 (x) = − 9x + 46x + 77
,
f
2(x + 2)3/2
4(x + 2)5/2
2
x−2 x
00 (x) = (x − 4x + 6) ex
e
,
f
x3
x4
2
2(x − 1) x−2
2(x4 − x2 + 2) x−2
(i) f 0 (x) =
e
, f 00 (x) =
e
x
x4
(h) f 0 (x) =
(j) f 0 (x) = 2x cos(x2 + 1) , f 00 (x) = 2[cos(x2 + 1) − 2x2 sen(x2 + 1)]
7
(k) f 0 (x) = −
cos x2
2
− 2senx2 , f 00 (x) = 3 [(1 − 2x4 ) cos x2 + x2 senx2 ]
x2
x
2
2
(l) f 0 (x) = ex [cos(x + 1) + 2xsen(x + 1)] , f 00 (x) = ex [4x cos(x + 1) + (4x2 + 1)sen(x + 1)]
2
2x
00 (x) = − 2(x − 1)
,
f
x2 + 1
(x2 + 1)2
1
1
(n) f 0 (x) = + 2x , f 00 (x) = 2 − 2
x
x
sen(ln
x)
1
(o) f 0 (x) = −
, f 00 (x) = 2 [sen(ln x) − cos(ln x)]
x
x
4(cos x + sen x)
2
, f 00 (x) = −
(p) f 0 (x) =
sen2x − 1
(cos x − sen x)3
(m) f 0 (x) =
(q) f 0 (x) = 4csc2 2x , f 00 (x) = −8csc4 (2x) · sen(4x)
(r) f 0 (x) = √
7. (a)F =
8. (a)
x
2 − x2
arcsen x , f 00 (x) =
(1 − x2 )3/2
1 − x2
e−m(r−r0 )
qe
,
(b)F
=
−qe
[1 + m(r − r0 )] .
4π(r − r0 )2
4π(r − r0 )2
1
√
3
6π
(b) √
3
4
4 4
9. (a) 900 g.cm
10. (a) 6A
(b)
(c) 36π
dV (t)
= −450(10 + t)−2
dt
(c) −2 cm3 /s
(b) ≈ 3, 6A
(c) ≈ 4, 2 × 10−2 A
(d) 0.
x
y
12x2 − 1
6y 2
(8x + 3)(4x3 + 3x − 1)
4y(y 2 − 9)3
11. (a) y 0 = −8
12. (a) y = 4x + 16
(b) y 0 =
(c) y 0 = −
4
5
(b) y = − x +
3
3
13. −4m/s
R12 R20 + R22 R10
0, 01 R22 + 0.02 R12
=
Ω/s
(R1 + R2 )2
(R1 + R2 )2
dR
.
onde R0 =
dt
14. (a)R0 =
15. A ≈ 2πrt , erro= πt2
4π 3
16. (a) V ≈ 4πr2 t , (b) erro= 4πrt2 +
t ,
3
4
(c) V ≈ 1600πcm3 , erro= 80 +
π ≈ 81πcm3
3
√
17. 3 65 ≈ 4, 02
18. E(v 2 ) ≈ E0 + Ecin = mc2 +
mv 2
2
(b) ≈
1
Ω/s ≈ 6, 9 × 10−3 Ω/s
144