Preparatórios e Cursos Eduardo Chaves

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3 ANÁLISE COMBINATÓRIA
3.1 Princípio Fundamental da Contagem
Suponhamos que vamos a um restaurante e temos, no cardápio, 8 opções de prato principal, 10
opções de bebida e 6 opões de sobremesa. De quantos modos podemos escolher 1 prato principal, 1 bebida e
1 sobremesa?
É só multiplicarmos: 8 x 10 x 6 = 480 modos diferentes de escolhermos 1 prato principal, 1 bebida e 1
sobremesa.
Exercício: Uma bandeira deve ser pintada com cinco cores diferentes dentre 10 cores diferentes disponíveis. De
quantos modos diferentes pode realizar esta tarefa se amarelo e vermelho não podem ficar ocupar
simultaneamente a primeira
e a quinta faixas ?
Dica para resolução de problemas Em toda situação que sentirmos que é e devemos multiplicar e quando for ou
devemos somar. Volte no primeiro exemplo: como vamos escolher um prato principal e uma sobremesa e uma
bebida, multiplicamos os valores para achar o total de possibilidades. Se tivéssemos que escolher um prato
principal ou uma bebida ou uma sobremesa, teríamos que somar as possibilidades de cada um para achar a
resposta.
3.2 Tipos de Agrupamentos
3.2.1 Arranjo Simples
Características:
a) A ordem é importante.
b) Os elementos são distintos
c) n maior que p, sendo: n = número de elementos
disponíveis e p = número de vagas.
Fórmula
A n,p = n! : ( n – p)!
ou o princípio multiplicativo
Obs.: Na resolução de um problema,que é arranjo,você pode usar a fórmula ou usar o PFC (princípio
fundamental da contagem).De acordo com minha experiência em concursos e vestibulares,recomento aos
alunos saberem resolver pelos dois processos.
Exemplo:
Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar?
Utilizando a fórmula:
Exemplo:
Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar, contendo
sempre o 2?
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2
O 2 pode aparecer na posição das centenas, dezenas ou unidade.
3.2.2 Arranjo com Repetição
Características:
a) A ordem pode ser importante.
b) Os elementos se repetem
c) n > p
Fórmula:
AR = np ou o princípio multiplicativo
Exemplo:
a) Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar?
5 x 5 x 5 = 125 números
Pela fórmula: AR 5,3 = 5 3
Exemplo 1: Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar?
5 x 5 x 5 = 125 números
Exemplo 2 :Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar, sabendo que
em todos eles, pelo menos 1 algarismo se repete?
AR 5,3 – A 5,3 = 125 – 60 = 65 números
3.2.3 Permutação Simples
Características:
1. A ordem é importante.
2. Os elementos são distintos.
3. n = p
4.
Fórmula: Pn = n! ou o princípio multiplicativo
Exemplo 1:
Quantos anagramas podemos formar com M O E D A ?
Usando o princípio: 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas ou pela fórmula P5 = 5! = 120
Exemplo 2:Com as letras da palavra M O R E N A quantos anagramas podemos formar começando com
consoante e terminando com vogal?
A palavra possui 3 consoantes e 3 vogais, logo:
3.2.4 Permutação com repetição
Características:
a) A ordem é importante.
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3
b) Os elementos se repetem.
c) n = p
Fórmula:
Pn = n! : ( a!.b!.c!) ou o princípio multiplicativo corrigido
sendo n: número total de letras incluindo as que repetem
repete na palavra
a,b,c : número de vezes que determinada letra se
Exemplo 1:
Calcule o nº de anagramas da palavra
3.2.5 Combinação Simples
Características:
a ordem não é importante
Os elementos são distintos
o número de opções pode ser maior ou igual ao número de vagas
Fórmula:
Cn,p = n ! / p !( n – p ) ! ou o princípio multiplicativo corrigido
Importante : O segredo é percebermos quando, no exercício, existe a conotação de ordem. Podemos
perceber ,que, em situações como permuta de algarismos, permuta de posições em filas, em bancos,
classificação em provas esportivas, em concursos,fotos, a ordem é importante. Portanto, nestes casos,
nunca será combinação.
3.3 Exercícios
01) Duas meninas A e B e três meninos C, D e E ocupam o banco traseiro de um ônibus. De quantos modos
diferentes podem se organizar se nas janelas devem estar um menino e uma menina?
a) 20
b) 72
c) 80
d) 55
02) Um professor dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma prova de 4 questões.
Quantas provas diferentes poderá montar usando no mínimo 2 questões de álgebra?
a) 180
b) 198
c) 185
d) 150
03) Usando se os algarismos do conjunto a = {1, 3, 5, 7, 9}, são formados x números de 4 algarismos, de modo
que, pelo menos, 2 algarismos sejam iguais. Calcule x.
a) 500
b) 450
c) 235
d) 505
04) De quantos modos podem ser dispostos 4 meninos e 4 meninas, numa fila de forma que não fiquem juntos
dois meninos e duas meninas?
a) 1152
b) 565
c) 345
d) 735
05) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Quantos não são
divisíveis por 5?
a) 320
b) 300
c) 450
d) 600
06) Calcular m sabendo que Am,4 : Am,2 = 2
a) 6
b) 2
c) 4
d) 8
07) Provar a identidade de (n-1)![( n+1)! – n!] = (n!)2
08) No sistema de numeração decimal, determinar os números de 3 algarismos sem repetição.
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4
a) 658
b) 456
c) 458
d) 648
09) Com uma letra m, uma letra b e um certo número de letras a podemos formar 20 permutações. Calcular o
número de letra a
a) 8
b)3
c) 4
d) 10
10) Quantos são os números de 4 algarismos no sistema de numeração decimal?
a) 9000
b) 8000
c) 6000
d) 5000
11) São dados 10 pontos num plano dos quais 8 sobre uma mesma reta r, e os outros dois não alinhados com
qualquer um dos 8 que pertencem a r. Quantos triângulos podem ser formados usando os pontos como
vértices?
a) 38
b) 64
c) 82
d) 55
12) De quantos modos 5 livros idênticos podem ser escolhidos por 8 estudantes,de modo cinco peguem um e
três ficam sem livros?
a) 24
b) 35
c) 45
d) 56
13) Resolver a equação: (n+2)! + (n+1)! = (n+3)!
a) -5
b) -3
c) -10
d) 10
14) Um grupo de 9 professores, 5 lecionam Matemática. Quantas comissões de 3 componentes podem ser
formados, de modo que em cada comissão compareça pelo menos um professor de matemática?
a) 60
b) 70
c) 80
d) 100
15) Quantos são os números compreendidos entre 1000 e 2000 formados por algarismos escolhidos entre 1, 3,
5, 7 e 9, sem repetição?
a) 24
b) 30
c) 28
d) 40
16)Determinar o número de diagonais de um polígono convexo com n lados, usando a análise combinatória.
17) Quantas permutações podemos obter com as letras da palavra "arranhar"?
a) 1200
b) 1345
c) 1120
d) 1500
18) Quantos números de 10 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, de
modo que cada número comece e termine por um dos 3 primeiros algarismos?
a) 10080
b) 12560
c) 23450
d) 67210
19) Escolhidos entre 8 rapazes e 4 moças, quantos grupos de 5 pessoas podemos formar, de modo que
figurem, pelo menos, duas moças ?
a) 478
b) 456
c) 542
d) 670
20) Quantos números inteiros positivos de 3 algarismos apresentam algarismos repetidos?
a)300
b) 378
c) 252
d) 500
21) Quantos números distintos de 5 algarismos podemos formar com 1, 2, 3, 4, 5 (sem repetição), de modo que
os números pares não fiquem juntos?
a) 86
b) 70
c) 72
d) 84
22) Quantos anagramas podemos formar com a palavra problema se P, R e B ficarem juntas nesta ordem?
a) 400
b) 890
c) 356
d) 720
23) Mamãe tem 4 filhos; titia A tem 3 filhos; titia B 5 filhos. A relação "x é primo de y" tem quantos elementos?
a) 35
b) 47
c) 56
d) 80
24) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletós de cores diferentes. Qual é o número mínimo
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5
de peças necessárias para se apresentar 24 vezes com conjuntos diferentes?
a) 14
b) 12
c) 10
d) 15
25) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam de pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam
a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, de quantos modos diferentes podem
posar para foto?
a) 128
b) 144
c) 156
d) 178
26) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras
o grupo poderá ser selecionado se, dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?
a) 100
b) 45
c) 98
d) 152
27) Em uma circunferência tomam-se 12 pontos. Se unirmos cada um destes pontos aos restantes, quantas
retas serão formadas?
a) 66
b) 65
c) 68
d) 69
28) (FAFIMG)Um indivíduo possui cinco discos dos Beatles, oito dos Rolling Stones e quatro do Dire Straits. Ele
foi convidado par ir a uma festa e, ao sair, levou dois discos dos Beatles, dois dos Rolling Stones e três do Dire
Straits. O número de modos distintos de escolher os discos é:
a) 280
b) 42
c) 160
d) 1120
e) 1200
29) (Unificado RJ) As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro
algarismos,como, por exemplo, GYK 0447. O número de placas diferentes que podem ser construídas é, em
milhões de placas, aproximadamente igual a:
a) 1
b) 25
c) 75
d) 100
e) 175
30) (ANPAD) As atuais placas de automóveis possuem três letras e quatro algarismos. O número de placas que
não repetem nem letras nem algarismos é( considere o alfabeto com 26 letras):
a)menor que 1.000.000
b)maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000
c)maior que 10.000.000 e menor que 50.000.000
d)maior que 50.000.000 e menor que 100.000.000
e)maior que 100.000.000.
31) (ANPAD) Com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre
eles, quantos são divisíveis por 5:
a) 60
b) 30
c) 20
d) 120
e) 50
32) (PUC MG) Uma prova de Matemática contém 30 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão
cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas forem respondidas ao acaso, o número de maneiras
de preencher a folha de respostas é:
a) 530
b) 305
c) 230
d) 150
e) 60
33) (UNIFORCE) O segredo de um cofre é constituído de duas letras distintas (escolhidas entre as 23 do
alfabeto) e três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabendo-se que a letra da esquerda é um vogal e
que o algarismo da direita é divisível por 5, qual é o número máximo de tentativas que podem ser feitas para se
abrir esse cofre?
a) 15.840
b) 18.840
c) 31.680
d) 37.680
e) 63.360
34) (FUVEST SP) Quantos são os números inteiros positivos de cinco algarismo que não têm algarismos
adjacentes iguais?
a) 59080
b) 9843
c) 8940
d) 8500
e) 59049.
35) (UNAMAPA) Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salda é composta de cinco
frutas diferentes, então o número de saladas diferente que se pode preparar é:
a) 8
b) 10
c) 56
d) 120
e) 6.720
36) (UFRN) Um casal e seus quatro filhos, ao posar para uma fotografia, ficam em pé, um ao lado do outro. O
número de modos que eles poderão se dispor, se os pais devem ficar sempre juntos, é:
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6
a) 60
b) 36
c) 240
d) 720
e) 120
37) (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando
os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75.391 ocupa, nessa disposição, o lugar:
a) 21º
b) 64º
c) 88º
d) 92º
e) 120º
38) (UFMG) Duas das 50 cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras
distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das 50 cadeiras, para ocupá-las, é:
a) 1.225
b) 2.450
c) 250
d) 49!
e) 50!
39) (FUVEST-SP) Num programa transmitido diariamente,uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10
músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas, serão
necessários aproximadamente:
a) 100 dias
b) 10 anos
c) 1 século
d) 10 séculos
e) 100 séculos
40) (FE Edson Queiroz CE) Seja A o conjunto dos números naturais de 1 a 15. O número de possibilidades de
escolher três elementos de A, de modo que a soma dos elementos escolhidos seja ímpar, é:
a) 56
b) 77
c) 224
d) 378
e) 672
41) (UFMG-1998) Observe o diagrama.
O número de ligações distintas entre X e Z é:
A) 39
B) 41
C) 35
D) 45
42) (UFMG-1999) Um teste é composto por 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de
respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se
obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é
A) 455
B) 576
C) 560
D) 620
43) (UFMG-2000) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete
filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes,
que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras
diferentes de se fazer a programação dessa semana é
A) 144
B) 576
C) 720
D) 1040
44) (UFMG-2001) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na
escola;
e) rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizálas em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco
atividades, em ordem diferente, é
A) 24
B) 60
C) 72
D) 120
45) (UFMG-2002) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o
amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas
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cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma
casquinha é
A) 71
B) 86
C) 131
D) 61
46) (UFMG-2004) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem
camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que
as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a sequencia de cores dada
pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila?
a) 3.5!3
b) 5!3
c) 3!.5!3
d) (15!) : (3!.5!)
47) (FUVEST 2008) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve
transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso:
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a:
a) 928
b) 1152
c) 1828
d) 2412
e) 3456
48) (ESPCEX 2002) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de Colégios Militares (CM) e 20,
de Colégios Civis (CC). Pretende-se formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM e
dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos dessa forma é
a)200
b)900
c)1260
d)1900
e)4060
49) (ESPCEX 2003) Um conjunto contém 5 números inteiros positivos e 6 números inteiros negativos. Os
valores absolutos destes 11 números são primos distintos. A quantidade de números positivos distintos que
podem ser formados pelo produto de 3 destes números é
A) 25.
B) 70.
C) 85.
D) 120.
E) 210.
50) (FUVEST 2007) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando
com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que
cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
51) (FUVEST 2006) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um
aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se
cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos,
tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas
almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes
eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
52) (FUVEST 2005) Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada.
Na 1ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada
chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2ª fase. Na 2ª fase, os jogos são eliminatórios;
depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até
que se apure o campeão do torneio é
a) 39
b) 41
c) 43
d) 45
e) 47
53) (FUVEST 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um
condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De
quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
54) (FUVEST 2003) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a
população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de
alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e
pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos?
a) 360
b) 420
c) 540
d) 600
e) 640
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55) (FUVEST 2001) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com
alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h1, h2, ..., h10 (h1 <
h2 < ... < h9 < h10). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na
qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas
alturas. Dos
grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h7 , ocupará a posição central durante
a demonstração?
a) 7
b) 10
c) 21
d) 45
e) 60
56) (UFMG2010) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta com 10
músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB , 3 de Rock e 3 de Pop .Sem tempo para
fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma
aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em
que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por:
a) 4! x 3! x 3! x 3!
b) 10! : 7!
c) 4! x 3! x 3!
d) 10! : ( 7! x 3!)
1-b
2-c
3-d
4-a
Gabarito
5-b
6-c
11-b
12-d
13-b
14-c
15-a
21-c
22-d
23-b
24-a
31-a
32-a
33-a
41-b
42-b
51- b
52- e
7-
8-d
9-b
10-a
16-
17-c
18-a
19-b
20-c
25-b
26-c
27-a
28-d
29-e
30-d
34-e
35-c
36-c
37-c
38-a
39-e
40-c
43-c
44-b
45-d
46-c
47-e
48-d
49-c
50-a
53-c
54-c
55-d
56-a