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Exercícios Complementares de Matemática – 3ª série do EM
4º Bimestre / 2015
01. O número complexo z 
3i
tem a parte imaginária nula. Determine o valor de m.
mi
02. Determine o conjugado
do número complexo z =
3  i 2  2i 2
3i
03. Na figura abaixo estão representados os pontos M, afixo de
.
e N, afixo de
. Determine:
Im
N
2
–2
3
M
a) z1  z 2
a)
–3
 
__________
_
___
04. Seja
Re
b) z1  z 2
= 2 – i,
= 1 – 2i e
c) z1  z2
= 5i, determine:
z2
 z3
z1
b) o conjugado de
z3  z1 .  z 2 
05. Determine z , conjugado de z, sendo z = (2 + i)  (1 + i)  i.
06. Sejam
e
Gauss abaixo.
‚ números complexos representados pelos seus afixos no plano de Argand-
Obtenha o módulo do produto de
pelo conjugado de
.
07. Identifique o módulo, o argumento principal e escreva na forma trigonométrica o número
complexo z = 
1
3

i.
2 2
z z2
z1
z
entre dois números complexos, com
 0, é dado por 1 = 1
.
z2
z2
z2  z 2
1 i
Se y = 2x, sendo x =
e i 2 = 1, determine o valor de (x + y)2.
1 i
08. O quociente
09. Dados os complexos t = 3 – i, v = 2 + 2i e z = 2i, determine o módulo de z  t  v .
10. Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120°. Determine o
conjugado de z.
11. Dado o número complexo: z = 1 + 3 i.
a) Escreva na forma algébrica o complexo z 1.
b) Escreva o complexo z na forma trigonométrica.
12. Escreva o número complexo z  2  2 3i na forma trigonométrica com o argumento
medido em radianos.
13. Dados os complexos z = 2 + i e w = 4 + 2i, determine o módulo de z  w .
 3
1
 +   i, onde i2 =  1. Encontre o número
14. Considere o número complexo u = 
2
 2 
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento principal é o triplo do argumento principal
de u.
15. Considere o hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 5, sabendo que os
vértices D e E são respectivamente os afixos dos números complexos z1 e z 2 . Determine:
a) A forma polar de
z ez
1
b) A forma algébrica de
2
.
z z
1
2
16. Considere um número complexo z, tal que seu módulo é igual a 13 e a soma dele com seu
conjugado  24. Determine z, sabendo que o afixo de z pertence ao 3º quadrante.
17. De acordo com sua definição, o maior expoente de x, com coeficiente não-nulo, define o
grau de um polinômio, com base nesta informação, determine (se existir) m  IR para que o
polinômio p(x) = (m – 4)x³ + (m  16)x² + (m + 4)x + 4 seja um polinômio de 2º grau.
18. Dado o polinômio p(x) = (m – 5)x4 + (m²  25)x³ + 2x²  x – 3, qual deve ser o valor de m
para que p(x) seja um polinômio de terceiro grau?
19. Determine o polinômio de 1º grau, com coeficientes reais, tal que p(i) – 2p(1) =  7  2i.
20. Determine o valor de K de modo que o número complexo 2i seja raiz do polinômio
p(x) = x3 + 3x2 + Kx + 12 e calcule o valor de P(0) + P(–2).
21. Considere os polinômios f(x) = x3 – 1, g(x) = 2x2 + 3x e h(x) = x2 – x + 1, determine:
a) f(x) – g(x) + h(x)
b) g(x)  h(x) – f(x)
22. Determine m de modo que o polinômio 2x4 – 5x3 + mx – 5x + 2 seja divisível por x2 – 2x + 1.
23. Dividindo p(x) = x³  4x² + 7x – 3, por certo polinômio g(x), obtemos o quociente q(x) = x – 1
e o resto R(x) = 2x – 1. Determine o polinômio g(x).
24. Qual é o polinômio B(x) que subtraído de A(x) = 2x 3 – x2 – 4x + 5 tem como resultado o
polinômio C(x) = x2 + 3x – 1?
25. Dividindo-se um polinômio A(x) por B(x) = x2 – 3x + 1, obteve-se como quociente
Q(x) = x + 1 e resto R(x) = 2x + 1. Determine o polinômio A(x).
26. Calcule os valores de a, b, c e d para que o polinômio p1(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja
idêntico a p2(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.
27. Um polinômio p(x), dividido por x – 2, dá resto –1 e, dividido por x + 1, dá resto 2.
Determine qual é o resto da divisão de p(x) por (x –2)  (x + 1).
28. Verifique, em cada caso, se o polinômio f(x) é divisível por g(x), exibindo o quociente e o
resto da divisão:
a) f(x) = 6x4  13x³ + 11x²  5x + 1e g(x) = 3x²  2x + 1
b) f(x) =  x³  2ix² + (3i – 1)x  (6 + 2i) e g(x) = x + 2i
29. Determine o valor de m para que o polinômio p(x) =  3x4  4x³  4x² + 8x + 4m seja
divisível por x² + 2.
30. Sabendo que o polinômio p(x) = x² + mx + n é divisível por x – 1 e que, quando dividido por
x + 3, deixa resto igual a 24. Determine os valores de m e n.
Gabarito
01. m = 3 02.
05. 3  i
=
03. a) –5 – i
i

11. a) z =
14. v = 2i
16. z =  12 + 5i
15. a)

m
17.


3
04. a)
08.  9
i b) z = 2
12.

18. m =  5
21. a) x³  x²  4x
23. g(x) = x²  3x + 2 24. 2x – x + 4
29. m = 5
+ i  sen

z1  5 cos 3  i.sen 3  e z2  5 cos
20. K = 4 e P(0) + P(–2) = 20
27. R(x) =  x + 1
b) 1 + i c) 12  5i
07. z = cos
06.
10.
13. 10

09.
i b) –10 + 10i.
2 17
2 
 2
z  4 cos  isen 
3
3 

2
2 
 i.sen

3
3 
b)
5 3i
19. p(x) =  2x + 3
b) 2x4 – x²  3x + 1
22. m = 6
2
26. a = 1, b = 3, c = 2 e d = 2
28. a) q(x) = 2x²  3x + 1 e R(x) = 0
b) q(x) =  x² + 3i – 1 e R(x) = 0
30. m =  4 e n = 3.
3

25. A(x) = x – 2x + 2