Capítulo 2 Cálculo Integral em R

1
Capítulo 2
Cálculo Integral em R
Capítulo 2 - Cálculo Integral
2
SUMÁRIO
Primitivas imediatas ou quase-imediatas
Primitivação por partes e por substituição
Primitivação de funções racionais
Integrais (fórmula de Barrow)
Propriedades do integral definido
Integrais paramétricos
Integrais de limites infinitos
Capítulo 2 - Cálculo Integral
3
• Definição de Primitiva:
Seja f uma função real de variável real definida em D ⊂ R.
Diz-se que f é primitivável se e só se existe uma função F :
D→R tal que F ’ = f .
Qualquer função F que verifique esta condição é
considerada uma primitiva de f.
Capítulo 2 - Cálculo Integral
4
Exemplo:
f ( x) = x
Qual a primitiva desta função? Será única?
2
x
F1 ( x) =
2
x2
F2 ( x) =
+5
2
Conjunto de todas as
primitivas da função:
x2
F3 ( x) =
+ 100
2
x2
P( x) =
+ C, C ∈ R
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
5
Mais exemplos:
f ( x) = x
4
f ( x) = 7
5
x
P x4 = + C
5
( )
P(7 ) = 7 x + C
2
f ( x) = 3x
3x
P(3 x ) =
+C
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
6
1
f ( x) =
x
x>0
ln x
ln x = 
ln(− x) x < 0
1
P  = ln x + C
 x
1
x>0
x

(ln x )' = 
 −1 = 1 x < 0
 − x x
Capítulo 2 - Cálculo Integral
7
( )
f ( x) = e x
P ex = ex + C
1
−2
f ( x) = 2 = x
x
P x −2 = − x −1 + C
f ( x) = x
( )
P
( )
3
2
x
x =
+C
3
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
8
f ( x) = 6
f ( x) = 2
x
5x
f ( x) = sin(3 x)
x
6
P6 =
+C
ln 6
( )
x
( )
P2
5x
5x
2
=
+C
5 ln 2
− cos(3 x)
P(sin(3 x) ) =
+C
3
Capítulo 2 - Cálculo Integral
9
Genericamente:
P(a ) = ax + C
2
mx
P(mx + b) =
+ bx + C
2
3
kx
+C
P(kx ) =
3
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
10
x
x
P (e ) = e + C
α
P( x ) =
P(1 / x) = ln x + C
x
α +1
α +1
+C
x
sin( ax)
P (cos(ax)) =
+C
a
cos(ax)
P (sin( ax)) = −
+C
a
a
P(a ) =
+C
ln a
x
αx
αx
P(ke ) =
ke
α
+C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
11
Como primitivar a função
3
sin
( x)
2
P sin ( x) =
+C
3
[
]
f ( x) = sin 2 ( x)
?
Erradíssimo!!
Não é nada simples primitivar esta função! Estudaremos
mais à frente…
Capítulo 2 - Cálculo Integral
12
Como primitivar a função
2
f ( x) = cos( x). sin ( x) ?
É muito mais simples do que a anterior…
3
sin
( x)
2
P cos( x). sin ( x) =
+C
3
[
]
Correcto!!
Capítulo 2 - Cálculo Integral
13
f ( x) = − sin( x).e
Como primitivar a função
[
]
P − sin( x).e cos( x ) = e cos( x ) + C
Como primitivar a função
[
P (2 x ).4
x2
]
x2
f ( x) = (2 x ).4
4
=
+C
ln 4
x2
?
cos( x )
?
Capítulo 2 - Cálculo Integral
14
Mais algumas regras:
P(k . f ( x) ) = k . P( f ( x)) + C
f (x )
P ( f ' ( x) . f ( x) ) =
+C
α +1
α +1
α
'
P( f ( x) . e
f ( x)
)=e
f ( x)
+C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
15
(
P f ' ( x) . a
f ( x)
)
a f ( x)
=
+C
ln a
 f ' ( x) 
 = ln f ( x) + C
P
 f ( x) 
P ( f ' ( x ). cos f ( x )) = sin f ( x ) + C
P ( f ' ( x ). sin f ( x )) = − cos f ( x ) + C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
16
[arcsin x] =
'
[arccos x] =
'
1
1− x
2
−1
[arccos f ( x)] =
'
1− x
1
[arctan x] =
2
1+ x
'
[arcsin f ( x)] =
'
2
f ' ( x)
1 − ( f ( x) )
2
− f ' ( x)
1 − ( f ( x) )
2
f ' ( x)
[arctan f ( x)] =
2
1 + ( f ( x) )
'
Capítulo 2 - Cálculo Integral
17
Fora do caso de primitivação imediata, recorre-se geralmente
aos denominados métodos tradicionais de primitivação:
- Por Decomposição
- Por Partes
- Por Substituição
Capítulo 2 - Cálculo Integral
18
• Primitivação por Decomposição:
P( f ( x) + g ( x)) = P( f ( x)) + P( g ( x))
Exemplo 1:
(
)
P x 2 − 5 x + e 2 x = P ( x 2 ) − 5 P ( x ) + P (e 2 x ) =
5x 2
x3
e2 x
x3 5x 2 e2 x
= + C1 −
+ C2 +
+ C3 = −
+
+C
3
2
2
3
2
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
19
Exemplo 2:

2x
P 3 x +
4
1
−
x



2x

 = P (3 x ) + P


2

 1− x
( )
2

=


2
3x 2
3
x
2
2
=
+ C1 + arcsin x + C2 =
+ arcsin x + C
2
2
[
]
[
]
Capítulo 2 - Cálculo Integral
20
Exercícios:
a)


P x x x  = ?


b)
12 x 
1
P + 2
=?
 x 6x + e 
c)
x

e 
=?
P 5 −
2x 
 1+ e 
Capítulo 2 - Cálculo Integral
21
Exercícios:
(
d)
P − sin( x ).e
e)
 −1
P
2
 1− 4x
f)
(
cos x
)= ?

=?


( )) = ?
P 8 x . sen x
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
22
• Primitivação por Partes:
P( g ' ( x). f ( x)) = g ( x) f ( x) − P( g ( x) f ' ( x))
P(u '.v) = u.v − P(u.v' )
x
x
x
x
x
P( x.e ) = e x − P(e .1) = e x − e + C =
v
u' u
v
= e ( x − 1) + C
x
u v'
Capítulo 2 - Cálculo Integral
23
P(u '.v) = u.v − P(u.v' )
 1
P(ln x) = P(1. ln x) = x ln x − P x.  =
 x
u'
v
= x ln x − x + C =
= x(ln x − 1) + C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
24
P(u '.v) = u.v − P(u.v' )
P(sin 2 x) = P(sin x. sin x) = − cos x sin x − P(− cos x cos x ) =
(
)
(
)
= − cos x sin x + P cos 2 x = − cos x sin x + P 1 − sin 2 x =
(
)
= − cos x sin x + x − P sin 2 x ⇔
(
)
(
)
⇔ P sin 2 x = − cos x sin x + x − P sin 2 x ⇔
− cos x sin x + x
⇔ P sin x =
+C
2
(
2
)
Capítulo 2 - Cálculo Integral
25
• Primitivação por Substituição:
P( f ( x)) = P[ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )]
x = ϕ (t )
( ( ) ) ( )
P (ln x ) → P ln e . e = P t. e = e . t − P (e ) =
t
t
x=e
t
x '= e
t = ln x
t
t
t
t
= e . t − e + C = e (t − 1) + C
t
→e
t
ln x
t
(ln x − 1) + C = x(ln x − 1) + C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
26
P( f ( x)) = P[ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )]
x = ϕ (t )
2
3


t +1
2t
 x +1
2
P
.2t  = P 2t + 2 =
+ 2t + C
 → P
3
 x 
 t

(
2
x=t
x ' = 2t
t= x
)
2 x3
→
+2 x +C
3
Capítulo 2 - Cálculo Integral
27
Encontre as primitivas das seguintes funções, usando os
métodos de primitivação por partes ou substituição:
(
)
P x x+2 =?
 ln x 
P
=?
 x 
(
)
P sen x = ?
P(x. cos( x) ) = ?
Nesta primitiva
aplique os dois
métodos!
Capítulo 2 - Cálculo Integral
28
P (e x sen( x) ) = ?
 (e x + 1) 2 
 = ?
P
x
 e

 x2 + 3
P
2
−
x
9

P(arctan( x) ) = ?

=?


P(ln (3x + 2)) = ?
P(arcsen( x) ) = ?
Capítulo 2 - Cálculo Integral
29
Primitivação de Funções Racionais:
 2 
P
 = 2 ln x + 4 + C
 x+4
Nada de novo!
−4
x
1
P 5  = P x −5 = −
+C
4
x 
( )
 8  8  1 
P
= P
= 2 arctan( x) + C
2 
2 
 4 + 4x  4  1+ x 
Capítulo 2 - Cálculo Integral
30
Primitivação de Funções Racionais:
 x2 +1
 = ?
P
 x 
Novidade!
O primeiro passo é verificar se a fracção racional é própria, ou seja, se o grau
do numerador é inferior ao grau do denominador. Caso isso não
aconteça procede-se à divisão dos polinómios que resulta necessariamente
numa fracção própria e num polinómio.
Capítulo 2 - Cálculo Integral
31
2
 x2 +1
 x2 1 
1
x






= P +  = P x +  =
P
+ ln x + C

x 2

 x 
 x x
2
 x2 
16
x


 = P x − 4 +
P
− 4 x + 16 ln x + 4 + C
=
x+4 2

 x+4
x+4
x2
2
− x − 4x
x−4
− 4x
4 x + 16
16
D/d = Q+R/d
Capítulo 2 - Cálculo Integral
32
1
 x −1  1  2x − 2  1  2x −1

P 2
− 2
 = P 2
 = P 2
=
 x − x +1 2  x − x +1 2  x − x +1 x − x +1
1
1 
1

2
= ln x − x + 1 − P 2

2
2  x − x +1










1
1
1




= P
P 2
 = ...
 = P
2

2
4 

 x − x +1
1
3



3
1

x−  + 
  x −  + 1 



2 4 
2

 
 4  3 
Capítulo 2 - Cálculo Integral
33










 4 
1
1
=
... = P
 = P
2
2
  3   2

 3 4 
1
2 
x−
 + 1 
 
 4  3  x − 2  + 1 


3
2
3


 


  








2
 2 3
4 3 
1 
 2
3


P
=
arctan
x−
=
 + C = ...
2
3 2   2
3

3
 3
1 
x−
 + 1 
 

3
3








Capítulo 2 - Cálculo Integral
34
2 3
2 3
1 
2 3
3
 2
+C
... =
arctan
x−
arctan
x−
+C =

3
3
3
3
3
 3


Assim…
1 
1
 x −1  1

2
P 2
=
ln
x
−
x
+
1
−
P

 2
=
2  x − x +1
 x − x +1 2
2 3
1
1  2 3
3  
2
 +C =
= ln x − x + 1 −
arctan
x−

2
2  3
3
3


2 3
1
3
3
2
+C
= ln x − x + 1 −
arctan
x−

2
3
3
3


Capítulo 2 - Cálculo Integral
35
9
 x − 4  1  2x − 8  1  2x +1

P 2
− 2
 = P 2
 = P 2
=
 x + x−2 2  x + x−2 2  x + x−2 x + x−2
1
1 
9

2
= ln x + x − 2 − P 2

2
2  x + x−2




9
9




P 2
 = P
2

 x + x−2
1
9
  x +  − 


2
4



O sinal negativo
impede que a
primitiva seja arco
tangente!!
Capítulo 2 - Cálculo Integral
36
Comecemos novamente, aplicando o Método dos Coeficientes
Indeterminados…
x−4
x−4
A
B
=
=
+
2
x + x − 2 ( x − 1)( x + 2) ( x − 1) ( x + 2)
 A
B 
 x−4 

P 2
+
 = P
 x + x−2
 ( x − 1) ( x + 2) 
Capítulo 2 - Cálculo Integral
37
x−4
A
B
x−4
A( x + 2) + B( x − 1)
=
+
⇔ 2
=
⇔
2
x + x − 2 ( x − 1) ( x + 2)
x + x−2
( x − 1)( x + 2)
x−4
Ax + Bx + 2 A − B
⇔ 2
=
x + x−2
x2 + x − 2
1 = A + B
 A = −1
⇔

− 4 = 2 A − B
 B = 2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
38
 A
 −1
2 
B 
 x−4 
 = P
 =
+
+
P 2
 = P
 x + x−2
 ( x − 1) ( x + 2) 
 ( x − 1) ( x + 2) 
= − ln x − 1 + 2 ln x + 2 + C = ln
x+2
2
x −1
(
x + 2)
+ C = ln
2
x −1
+C
Capítulo 2 - Cálculo Integral
39
Aplique o Método dos Coeficientes Indeterminados para calcular a
seguinte primitiva:
 4x2 + x +1

P
3
 x −x 
Dica…
4x2 + x +1
4x2 + x +1
A
B
C
=
= +
+
3
x −x
x( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1
A = −1 , B = 3 , C = 2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
40
Solução:
 ( x − 1) 3

 4x2 + x +1 
2
 = ln 
P
( x + 1)  + C
3
 x −x 
 x

Capítulo 2 - Cálculo Integral
41
• Integral:
Para que serve o cálculo integral? Serve sobretudo para
calcular áreas!! Mas há outras aplicações…
y
f (x)
b
A = ∫ f ( x)dx
a
b
x
a
Capítulo 2 - Cálculo Integral
42
y
f (x)
a
b
x
b
A = ∫ f ( x)dx = [F ( x)] = F (b) − F (a)
b
a
a
Fórmula de Barrow
Capítulo 2 - Cálculo Integral
43
Exemplos:
1. Encontre a área delimitada pela função f ( x) = 3x 2 e o eixo
dos XX entre 1 e 3.
y
f ( x)
3
( )
A = ∫ 3x dx =
2
1
1
3
x
[ ]
= x
3 3
1
= 27 − 1 = 26
Capítulo 2 - Cálculo Integral
44
2. Encontre a área delimitada pela função f ( x) = ln x e o eixo
dos XX entre 2 e e .
y
f (x)
2
e
e x
A = ∫ (1. ln x ) dx =[x(ln x − 1)] = −2(ln 2 − 1) = 2 − ln 4
e
2
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
45
3. Encontre a área delimitada pela função f ( x) = 5 x e o eixo
dos XX entre -2 e -1.
y
f ( x)
− 2 −1
x
−1
 − 5x 
5
A = ∫ (0 − 5 x ) dx = 
 = − + 10
2
 2  −2
−2
−1
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
45
4. Encontre a área delimitada pela função f ( x) = − sin x e o
eixo dos XX entre 0 e π .
y
f ( x)
x
π
π
A = ∫ [0 − (− sin x)]dx = ∫ (sin x ) dx =[− cos x ] 0 = 1 − (−1) = 2
π
0
0
Capítulo 2 - Cálculo Integral
47
5. Encontre a área delimitada pela função f ( x) = cos x e o
π
eixo dos XX entre − 3π e
.
2
2
y
−π
A=
f (x)
3π
−
2
−
π
2
2
π
2
x
2
∫π [0 − cos x]dx + π∫ [cos x]dx
−3
π
π
2
−
2
−π
2
π
= −[sin x]−3π + [sin x]−π2 = 4
2
2
2
Capítulo 2 - Cálculo Integral
48
6. Encontre a área delimitada pelas funções:
g ( x) = x 2
f ( x) = x + 2
x + 2 = x 2 ⇔ x = −1 ∨ x = 2
y
g (x )
2
f (x)
A = ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx =
−1
2
−1
2
x
=∫
−1
2
x
x 
x + 2 − x dx =  + 2 x −  = 4,5
3  −1
2
(
2
)
2
3
Capítulo 2 - Cálculo Integral
49
7. Encontre a área delimitada pelas funções:
g ( x) = x 3
f ( x) = x
y
g (x)
x = x 3 ⇔ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1
0
(
)
(
)
A = ∫ x 3 − x dx + ∫ x − x 3 dx =
f (x)
−1
−1
1
1
x
0
0
1
x
x
1
x 
x 
= −  + −  =
 4 2  −1  2 4  0 2
4
2
2
4
Capítulo 2 - Cálculo Integral
50
• Propriedades dos Integrais Definidos:
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
b
a
a
b
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
a
∫ f ( x)dx = 0
a
Capítulo 2 - Cálculo Integral
51
• Propriedades dos Integrais Definidos:
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
∫ [α f ( x) + β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx
Capítulo 2 - Cálculo Integral
52
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
t
∫
f ( x)dx = [F ( x)] = F (t ) − F (a) ⇒
t
a
a
t
'
'
⇒  ∫ f ( x)dx  t = [F (t ) − F (a )] t = f (t )
a

Capítulo 2 - Cálculo Integral
53
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
b
∫ f ( x)dx = [F ( x)]
b
t
= F (b) − F (t ) ⇒
t

'
'
⇒  ∫ f ( x)dx  t = [F (b) − F (t )] t = − f (t )
t

b
Capítulo 2 - Cálculo Integral
54
• Propriedades dos Integrais Indefinidos:
'


 ∫ f ( x)dx  = F (b(t )) − F (a (t )) ⇒
a (t )
 t
b (t )
b ( t )
'
⇒  ∫ f ( x)dx  t = f (b(t ) )b' (t ) − f (a(t ) )a ' (t )
a ( t )

Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
55
• Teorema da Média:
[ ]
1. Seja f (x) uma função contínua no intervalo a, b ; existe
h ∈ [a, b] tal que:
y
f (x)
b
∫
f ( x)dx = (b − a) f (h)
f (h)
a
a
h b
x
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
56
2. Sendo m e M o menor e o maior valor de f em [a, b] tem-se:
y
b
M
a
m
m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a )
f (x)
a
b
x
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
57
• Integrais Paramétricos:
Para além da variável, a função a integrar pode ter parâmetros.
2
 βx
 3β
∫1 (βx + 1)dx =  2 + x = 2 + 1
1
2
2
4
∫ ( yδ ) dx = [yδ x]
4
0
0
e
=4 yδ
e
 1 1
y

e
1 e −1
∫1  β + y  dy =  β + ln y  = β + 1 − β = β + 1
1
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
58
• Integrais com Limites Infinitos:
+∞
[
−x
−x
e
dx
=
lim
−
e
∫
b → +∞
0
]
b
0
[
( )]
= lim − e −b − − e 0 = −e −∞ + 1 = 1
b → +∞
Integral
convergente!
y
f (x)
Área 1
x
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
59
• Integrais com Limites Infinitos:
−1
−1
1
[
ln x ]b = lim (ln 1 − ln b ) = 0 − (+ ∞ ) = −∞
∫−∞ x dx = blim
→ −∞
b → −∞
y
Integral
divergente!
−1
x
f (x)
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
60
• Integrais de funções descontínuas:
0
1
∫−1 x dx = lim
ε →0
0 −ε
1
0 −ε
[
]
dx
=
x
lim
ln


−1 =
∫−1  x  ε →0
= lim(ln − ε − ln − 1 ) = −∞
y
ε →0
−1
x
f (x)
A função a integrar não está
definida em x=0.
Integral divergente!
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
61
• Integrais de funções descontínuas:
4
 1 
∫0  x − 2 dx = lim
ε →0
2 −ε
∫
0
4
 1 
 1 
dx =

dx + lim


∫
ε →0
x−2
 x−2
2 +ε 
= lim[ln x − 2 ]
y
ε →0
f (x)
2 −ε
0
+ lim[ln x − 2 ]
ε →0
= lim(ln ε − ln 2 + ln 2 − ln ε ) = 0
ε →0
2
4
4
2 +ε
x
Integral convergente!
=
Capítulo 2 - Cálculo Integral
;
62
• Integrais de funções descontínuas:
5 −ε
10
10
g ( x)dx + lim ∫ g ( x)dx = ...
∫ g ( x)dx = lim
∫
ε
ε
ε
→0
0
0
y
g (x)
5
10
x
→0
5+
A função a integrar não está
definida em x=5, mas não é
por isso que o integral não é
convergente.