FICHA DE TRABALHO N.º 11

FICHA DE TRABALHO N.º 11
NÚMEROS COMPLEXOS – GUIA DE ESTUDO
TURMA:12.ºA
2016/2017
(ABRIL/MAIO)
Números Complexos
O que é o i ?
Resposta: A raiz imaginária da unidade negativa. (Leibniz)
A famosa igualdade de Euler
ei  1  0
_____________________________________________________________________
Definição de i
É o número, cujo seu quadrado é -1. Isto é, i2 = -1 ou
1   i
Definição de número imaginário
É todo o número da forma bi, com b  IR e i2 = -1.
Definição de número complexo
Chama-se número complexo a todo o número da forma a + bi com a, b  IR e i 2  1 .
IR  {números imaginários} = C, onde C é o conjunto dos números complexos.
Se z = a + bi, com a, b  IR, diz-se que o número z está representado na forma
algébrica.
a é a parte real de z, escreve-se Re(z) = a
bi é a parte imaginária de z
b é o coeficiente da parte imaginária de z, escreve-se Im(z) = b.
Igualdade de números complexos
a + bi = c + di se e só se a = c  b = d
Imaginários puros
z = a + bi é um imaginário puro se e só se a = 0
Números reais
z = a + bi é um número real se e só se b = 0
Números complexos conjugados
Se z = a + bi, o conjugado de z, representa-se por z , sendo z = a – bi
Números complexos simétricos
Se z = a + bi, o simétrico de z, representa-se por -z, sendo -z = -a – bi
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Exercícios:
1. Resolve, em C, as seguintes equações:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
x2  9  0
x3  8 x
x2  2 x  2  0
x 2  6 x  11
 x3  x 2  2 x  2  0 , sabendo que 1 é uma raíz.
z 4  z 2  12
2( x  2)2  8  0
Representação geométrica de um número complexo
Para representar um número complexo, utilizamos o plano Oxy, onde no eixo dos xx
representa-se a parte real e no eixo dos yy representa-se a parte imaginária.
Este novo referencial, chama-se Plano de Argand ou Plano
Complexo.
A um certo número complexo z = a + bi podemos associar um
ponto A (a, b). Este ponto chama-se imagem geométrica ou
afixo.
O vetor OA = (a, b) é a imagem vetorial do número complexo
z.
Módulo de um número complexo
Chama-se módulo de z, à distância do ponto A,
imagem geométrica de z, à origem do referencial.
Assim: |z| =
a 2  b2
Operações na forma algébrica
Adição
(2 + i) + (3 – 4i) = 5 – 3i
Subtracção
(2 + i) – (3 – 4i) = -1 + 5i
Multiplicação
(2 + i)  (3 – 4i) = 2  3 - 2  4i + 3  i - i  4i = 6 – 8i + 3i – 4i2 = 6 – 5i + 4 = 10 – 5i
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Divisão
2i
(2  i)(3  4i) 6  8i  3i  4i 2 2  11i 2 11




 i
3  4i (3  4i)(3  4i)
9  16i 2
9  16 25 25
Potenciação
(1 + 2i)3 = (1 + 2i)(1 + 2i)(1 + 2i) = (1 + 2i + 2i + 4i2)(1 + 2i) = (-3 + 4i)(1+2i)
= (-3 – 6i + 4i + 8i2) = -11 – 2i
Radiciação
Embora seja possível, é um processo complicado e moroso. Veremos um exemplo num
exercício.
Potenciação de base i e expoente inteiro
n 4
r q
i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = -1; i3 = -i ; (…)
in = i r
Exercícios:
1. Considera os números complexos z1 = 2 – 3i e z2 = -1 + 2i
Escreve na forma algébrica:
1.1. z1  z2  i  z2
1.3.
z2
z1  i
1.2. z12  z2  z2
1.4.
iz1  2i 29
i 38  z2
2. Em C, conjunto dos números complexos, considera os números z1 e z2 tais que:
z1 = 1 – i e z2 = -x + 6i , x  IR
Determina x de modo que:
2.1. z1  z2 seja um número real;
2.2.
z1
seja um imaginário puro.
z2
3. Determina a e b reais, sabendo que 1 – 2i é solução da equação z2 + az + b = 0.
4. Em C, conjunto dos números complexos, considera os números z1 = 5 + 12i e
z2 = 2 – i.
4.1. Determina
z1  7i 31
na forma a + bi, com a e b pertencente a IR.
z2
4.2. Sabe-se que u é uma das raízes quadradas de z1 e que Re(u) = 3. Determine u.
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5. Em C, conjunto dos números complexos, considera o número w = 2 – 2i
5.1. Escreve na forma algébrica o número complexo
 w  1
2i
2
1
5.2. Resolve, em C, a equação zw = i w .
6. Mostra que:
z
6.1. iz   2i Re( z ), z  C
i
6.2. z  z se e só se z é real
6.3. z1  z 2  z1  z 2 , z1 , z 2  C
6.4. z1  z 2  z1  z 2 , z1 , z 2  C
Sugestão: Considera o número complexo na forma genérica, z = x + yi.
Operações na forma geométrica
1. Se multiplicarmos um número complexo por i, a sua imagem geométrica (afixo) roda
90º no sentido positivo.
2. Se multiplicarmos um número complexo por –i, a sua imagem geométrica (afixo)
roda 90º no sentido negativo.
3. Se multiplicarmos um número complexo por -1, a sua imagem geométrica (afixo)
roda 180º.
4. Se multiplicarmos um número complexo por um número real maior que 1, aumenta o
seu módulo (distância do afixo à origem).
5. Se multiplicarmos um número complexo por um número real entre 0 e 1, diminui o
seu módulo (distância do afixo à origem).
6. Dado um certo número complexo z, para obter geometricamente, o seu:
6.1. conjugado ( z ), efectua-se uma simetria em relação ao eixo real;
6.2. simétrico (-z), efectua-se uma simetria à origem;
6.3. simétrico do conjugado (- z ), efectua-se uma simetria ao eixo imaginário.
Exercícios:
1. Um certo número complexo w tem a sua imagem geométrica no 3.º quadrante, indica
o quadrante, a que pertence a imagem geométrica de:
1.1. w
1.2. –w
1.3. i2w
1.4.
3w
i
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2. Considera o número complexo z = a + bi (a, b  IR \ 0)
No plano complexo considera o quadrilátero cujos vértices são as imagens geométricas
dos números z, z , -z e - z .
Que relação deve existir entre a e b para que esse quadrilátero seja:
2.1. um quadrado
2.2. um rectângulo de área k ( k IR  )
2.3. um rectângulo de perímetro p (p IR  )
3. Considera os números complexos z1 =  2  2i e z2 = iz1
Sejam, no plano complexo, os pontos A, B e O tais que:
. A é a imagem geométrica de z1
. B é a imagem geométrica de z2
. O é a origem do referencial
Determina a área do triângulo [AOB].
4. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica no plano complexo pertence à
z2
bissetriz dos quadrantes ímpares. Mostra que
é um número real.
i
Forma trigonométrica
Seja z = a + bi um número complexo, no plano complexo,
podemos fazer-lhe corresponder uma imagem geométrica, o
ponto P (a, b) ou uma imagem vetorial, o vetor OP (a, b).
Chama-se módulo de um número complexo z = a + bi e
representa-se por  ou |z| à distância do ponto P à origem ou então à norma do vetor
OP .
Chama-se argumento do número complexo z = a + bi e representa-se por argz ou  , a
qualquer amplitude, em radianos, do ângulo formado pelo semieixo real positivo e pela
semirreta OP .
O argumento de z que pertence ao intervalo ]0, 2  ] chama-se argumento positivo
mínimo.
O argumento de z que pertence ao intervalo ]-  ,  ] chama-se argumento principal.
O número complexo nulo (z = 0) tem módulo nulo e argumento indeterminado.
Cálculo do módulo
 =
a 2  b2
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Cálculo do argumento
z = a + bi
1.º Identificar o quadrante
a > 0 e b > 0 , 1.º Q ; a < 0 e b > 0 , 2.º Q; a < 0 e b < 0 , 3.º Q; a > 0 e b < 0 , 4.º Q
b
  ?
a
2.º tg 

1.ºQ
tg 



6
3
3
4
3
1

2.ºQ
 

3.ºQ
     

4.ºQ
2   
3
Argumentos especiais:
1. Se z é um número complexo real positivo, então argz = 0.
2. Se z é um número complexo real negativo, então argz =  .
3. Se z é um número complexo imaginário puro positivo, então argz =

2
.
4. Se z é um número complexo imaginário puro negativo, então argz =
argz = 

2
3
ou
2
.
Representar um número complexo na forma trigonométrica
Observando a imagem ao lado, podemos deduzir que:
cos  
sen 
a

b

 a   cos
 b   sen
z  a  bi  z   cos    sen i  z   (cos   isen )  z  cis
Exercícios:
1. Representa na forma trigonométrica:
1.1. z1= 2 + 2i
1.2. z2 = -3 + 3 3 i
1.4. z4 = -2
1.5. z5 = -3 -
3i
1.3. z3 = 3i
1.6. z6 = 5 – 5i
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2. Escreve na forma algébrica:
2.1. z1 = 3cis0
 3 
2.2. z2 = 2cis  
 2 
2.3. z3 =
 3 
2cis  
 4 
 11 
2.4. z4 = 4cis 

 6 
Igualdade de números complexos na forma trigonométrica
1cis1   2 cis 2  1   2  1   2  2k , k  IR
Conjugado de um número complexo na forma trigonométrica
Se z =  cis , então z   cis( )
Simétrico de um número complexo na forma trigonométrica
Se z =  cis , então  z   cis(   )
Inverso de um número complexo na forma trigonométrica
Se z =  cis , então
1
1
 z 1  cis(  )
z

Operações na forma trigonométrica
Multiplicação
Se z1 = 1cis1 e z2 = 2cis2 , então z1  z2  12cis(1  2 )
Divisão
Se z1 = 1cis1 e z2 = 2cis2 , então
z1 1
 cis (1   2 )
z2  2
Potenciação
Se z =  cis , então z n   n cis(n )
Radiciação
  2 k
, k  0,1,..., n  1
n
Nota 1: Todo o número complexo, não nulo, tem n raízes de índice n.
Se z =  cis , então
n
z  n  cis
Nota 2: As imagens geométricas das n raízes de índice n, se n > 2, de um número
complexo não nulo, de módulo  , estão sobre uma circunferência de centro na origem
e raio
n
 e dividem a circunferência em n partes iguais. Quando se une as n imagens
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geométricas, que representam as n raízes de índice n, obtém-se um polígono regular de
n lados.
2
rad .
Entre duas raízes índice n consecutivas, existe
n
Por exemplo, se calcularmos:

 2  2 k
  3
3
3
i  1cis    1cis 
3
2



Se k = 0, z0  1cis
6
5
Se k = 1, z1  1cis
6
3
Se k = 2, z2  1cis
2


 , k  0,1, 2


A representação das raízes cúbicas de i, no plano complexo, coincide com os três
vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de centro na origem e
raio 1.
Exercícios
 
1. Considera os números complexos z1 =  3  i e z2 = 8cis    . Determina e
 3
apresenta o resultado na forma algébrica:
1.1. z1  ( z2 )
1.2.
z15
z2
2. Determina o menor número natural n para o qual o número complexo
 5 51 
u =  cis
 i  é um número real.
6


n
3. Considera os números complexos z1  1  3i e z2  1  i . Calcula e apresenta o
resultado na forma trigonométrica.
3
3.2. z1  z2 4
3.1. z15
5
i z1
3.3.
(1  i ) z2
3.4.
z13  8i 25
z2
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4. Determina, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número z = 8 2  8 2i .
5. Considera o número complexo: z1 = i 
2
3 i
5.1. Representa z1 na forma trigonométrica.
5.2. Mostra que z16 é um número real.
5.3. Resolve, em C, a equação z18  z14   z 2
6. Sendo o número complexo z1  27cis

3
, resolve em C, a equação: z 3  z1  0 .
7. Em C, conjunto dos números complexos, considera z1  cis

6
, z2   cis , com
  IR ,  IR e z3  8i .
7.1. Sabendo que z1 e z2 são as raízes quartas do mesmo número complexo e que a
imagem geométrica de z2 pertence ao 2.ºQ, determina z2 na forma algébrica.
2
 2i  i ( z1 ) 3 
1 .
7.2. Sem recorrer à calculadora, determina:
i
Apresenta o resultado na forma trigonométrica.
7.3. Resolve, em C, a equação z 3  z3  0
7.4. Determina a área do polígono cujos vértices são as imagens geométricas, no plano
complexo, das raízes cúbicas de z3.
3  2i  5i 2
8. Considera o número complexo w 
1 i
8.1. Verifica que w = 2cis
8.2. Determina w.(1 + i)4 e apresenta o resultado na forma trigonométrica.
8.3. Resolve, em C, a equação z4 = -8w e apresenta as soluções na forma algébrica.
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Domínios planos e condições na variável complexa
Nota 1: Dados dois números complexos z1 e z2 , a distância entre os afixos de z1 e z2 é
dada por |z2 – z1|.
Nota 2: O complexo z = x + yi , representa um complexo genérico.
Rez = x
Imz = y
1. Circunferência de centro z1 e raio r
(conjunto de pontos cuja distância ao afixo de z1 é r)
| z – z1 | = r
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – (2+2i) | = 2
2. | z – 3 + 4i | = 1
3. | z | = 5
2. Interior da circunferência de centro z1 e raio r
(conjunto de pontos cuja distância ao afixo de z1 é inferior a r)
| z – z1 | < r
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – 2 – 3i | < 2
2. | z | < 5  | z | > 2
3. Exterior da circunferência de centro z1 e raio r
(conjunto de pontos cuja distância ao afixo de z1 é superior a r)
| z – z1 | > r
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – 1 – 2i | > 1
2. | z |  3  | z | > 6
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4. Reta vertical
(conjunto de pontos cuja a parte real é a)
Rez = a
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. Rez > 3
2. Re ( z – 2 + 5i) < 2
3. Re z  4  Re z  7
5. Reta horizontal
(conjunto de pontos cuja a parte imaginária é b)
Imz = b
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. Imz < -2
2. Im ( z – 1 + 5i)  2
3. Im z  1  Re z  3
6. Mediatriz do segmento de reta [z1z2]
(conjunto de pontos equidistantes de z1 e z2)
| z – z1 | = | z – z2 |
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – i | = | z + 2 + 2i |
2. | z – 2 | = | z – 2i |  Rez > 2
7. Semiplano definido pela mediatriz de [z1z2] e por z2
| z – z1 | > | z – z2 |
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – 2 – 3i |  | z + 2 + 2i |
2. |z| > | z – 2i |  Rez  -3
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8. Semiplano definido pela mediatriz de [z1z2] e por z1
| z – z1 | < | z – z2 |
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. | z – 2 | < | z + 2i |
2. |z|  | z – 2i |  Imz > 4
9. Semirreta com origem na origem do referencial
arg(z) = 
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. arg(z) =

4
2. 0  arg z 
3. 

4

3
 arg z 

2
 z 2
10. Semirreta com origem no afixo de z1
arg(z – z1) = 
Exemplos:
Representa, no plano complexo as seguintes condições:
1. arg(z – 2 + 2i) =
2. 0  arg( z  3i) 

4

3
Exercícios
1. Considera o número complexo w =
i 9  3i 40
1  2i
 
2cis   
 4
1.2. Representa no plano complexo o domínio plano definido por:
2
z  w  arg z  arg w
1.1. Mostra que w =
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2. Escreve uma condição, em C, que defina o conjunto assinalado a sombreado na
figura.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
3. Considera, no plano complexo, o triângulo [ABC],
representado na figura.
Tem-se que:
. B é a imagem geométrica do complexo 4 + 4i
. A pertence ao eixo real
. C pertence ao eixo imaginário
. Os pontos O, A, B e C são vértices de um quadrado
. O segmento [AC] é uma diagonal do quadrado [OABC]
Define, por meio de uma condição em C, a zona sombreada, incluindo a fronteira.
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4. Na figura está representado, no plano complexo, o
sector circular OAB.
Tem-se que:
. O é a origem do referencial;
. A é a imagem geométrica do número complexo
 5 
cis 

 6 
. AB é um arco de circunferência com centro na origem do referencial
. O ponto B pertence ao eixo real
Define, por meio de uma condição em C, a zona sombreada, incluindo a fronteira.
5. Relativamente a dois números complexos, z1 e z2, sabe-se que:
.

4
é um argumento de z1
. | z2 | = 2
. z1 e z2 são raízes índice 6 do mesmo número complexo
5.1. Escreve z2 na forma algébrica sabendo que, no plano complexo, a sua imagem
geométrica pertence ao 3.º Q.
5.2. No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um
dos vértices do hexágono regular representado na figura
seguinte.
Este hexágono está inscrito numa circunferência centrada
na origem do referencial.
Define por meio de uma condição em C, a região
sombreada (incluindo a fronteira).
FIM
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