Ficha Nº 13

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança"
Ano Lectivo
2011/2012
FICHA DE TRABALHO
NOME: ____________________________________ ; Nº_____
1.Mostra que o complexo z 
Matemática
12º
1 i 1 i

é um imaginário puro.
1 i 1 i
2. Seja w  3  i . Determina, na forma algébrica o complexo z   w  3  1  4i 
13
2
3. Considera o número complexo z  1  2i
3.1. Sabe-se que z é uma das raízes cúbicas de um certo número complexo w . Sem recorrer à calculadora,
determina w na forma algébrica.
3.2. Designando por  um argumento de z determina, na forma trigonométrica, o número complexo i  z 2 ,
apresentando o argumento em função de  .
4. Seja z  1  i . Sem recorrer à calculadora, determina o complexo
z  i 23  4
2i
5. Sabe-se que o complexo  2a  i  é um imaginário puro. Calcula os valores de a .
2
6. Resolve, em
, as equações:
6.1.  3  4i  z  2  i
6.2. x3  3x 2  19 x  17  0 , sabendo que -1 é raiz
6.3. 1  i   z  3  2i
6.4. x3  11x  20  0 , sabendo que 2  i é raiz
2
7. Mostra que o afixo do complexo
2  i 44
 i pertence à bissectriz dos quadrantes pares.
1  2i
8. Considera o complexo z  12 16i . Um certo ponto P é a imagem, no plano de Argand, de uma das raízes
quadradas de z . Sabendo que P tem ordenada 2, determina a sua abcissa.
1
3
 5 
i calcula:
 e w 
2 2
 4 
9. Sendo z  3cis 
9.1.
z
w2
9.2.
3
i 3
1 i
2 2

i , representa na forma trigonométrica:
3
3
z
10.2. w
10.3. zw
10.4.
w
10. Sendo z  2  2i e w  
10.1. z
10.5. w3
11. Seja z1  2cis
4
1
11.1. z
10.6.
5
3
1
w
10.8. z 4  w3
10.7. z 2 w
e z2  2 3  2i . Calcula e apresenta na forma algébrica os seguintes números complexos:
z 
11.2.  1 
 z2 
7
11.3.  z1     z2 
4
3
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12. Resolve em
as equações:
12.2. z 3  z  0
12.1. z 6  64  0
13. Em
, considera os complexos z1  cis
13.1. Calcula a e b

3
, de modo que 2a  bi 
12.3. z 
,
z2  2cis
2i
0
z
2
3
e
12.4. z 4  z  32i
z3  1  i
z12
z2
13.2. Determina na forma trigonométrica z23  z3
13.3. Resolve em
a equação z 3  z2
14. Considera em
os seguintes números complexos z1  1  i 3
14.1. Mostra que
1
3
z2   
i
2 2
z3  3cis
5
6
z3
é um imaginário puro
z2
14.2. Determina na forma trigonométrica z36  z1
14.3. Seja z4  cis ,   0, 2  . Determina  de modo que z3  z4 seja um número real positivo.
15. Seja
, conjunto dos números complexos, i designa a unidade imaginária.
15.1. Considera w 
2i
 i . Sem recorrer à calculadora, escreve w na forma trigonométrica
1 i


   . Mostra que a imagem geométrica, no plano complexo,
2

15.2. Considera z1  cis   e z2  cis 
de z1  z2 pertence à bissectriz dos quadrantes impares
16. Seja
o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
 
4  2i  cis 
6

16.1. Sem recorrer à calculadora, determina
3i
6
apresentando o resultado final na forma
trigonométrica.
16.2. Considera que, para qualquer número complexo z não nulo, arg  z  designa o argumento de z que
pertence ao intervalo  0, 2  . Representa a região do plano complexo definida pela condição, em
1
 z 1
2

3
5
 arg  z  
4
4
,
e determina a sua área.
17. Considera, no plano complexo, o quadrado [ABCD].
Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B e D pertencem ao eixo real. Estes quato
pontos encontram-se à distância de uma unidade da origem do referencial.
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17.1. Sejam w  1  i e z  2cis
3
. Sem recorrer à calculadora, mostra que as raízes quartas do complexo
2
w2
têm por imagens geométricas os pontos A, B, C e D.
z
17.2. Define, por uma condição em
, a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].
18. Seja z1  4i
18.1. No plano complexo, a imagem de z1 é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na
origem do referencial. Determina os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do
losango.


18.2. Resolve a equação, apresentando o resultado na forma algébrica  2cis   z  2  z1
4

2
19. Sabe-se que w  1  3i é uma das raízes índice 5 de um complexo z . Determina:
19.1. as outras raízes índice 5 de z
19.2. z
19.3. Indica, a que quadrante, no plano complexo, pertence o afixo de u , sendo:
1

 w
19.3.1. u  w  i
2
19.3.2. u  
20. Representa, no plano complexo, as imagens geométricas, dos números complexos z que satisfazem a
condição:
20.1. z 1  2i  2  Re  z   0
20.4. z  1  i  2i  z
20.2. 2i  z  1  4
Im  z   2
20.5. z  2 
20.7. 1  z  1  i  4  0  arg  z  1  i  


20.3. Re z  iz  Im  2 z 
20.6. z  4 

2
 Arg  z  
3
4

4
21. No plano complexo, o lugar geométrico das imagens dos números complexos z que satisfazem a condição
iz  z  0 é:
(A) uma recta horizontal
(B) uma circunferência
(C) uma recta vertical
(D) a bissectriz dos quadrantes ímpares
 
 
  i cos   , então o argumento positivo mínimo de z é:
5
5
22. Se z   sen 
(A)
7
10
23. Considera em
(A) i
(B)

5
(C) 

(D)
5
3
10
a equação 1  z   1 . Uma solução da equação dada é:
9
(B)  i
 

3
(C) 2cis 
 

3
(D) 1  cis 
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24. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, a bissectriz dos quadrantes pares?
3
4
(B) arg  z  
(A) iz  z
(D) Im  z   Re  iz 
(C) z  iz
25. As imagens geométricas, no plano complexo, das soluções da equação z 5  i correspondem aos
vértices de um pentágono regular centrado na origem do referencial.
Qual dos seguintes pares de números complexos corresponde a dois vértices consecutivos do pentágono?
(A) cis

2
e cis
9
10
(B) cis

e cis
10
9
10
(C) cis

e cis
2
13
10
(D) cis
9
10
e cis
17
10
 
 3 
 e z2  2cis   são duas raízes consecutivas de índice n de um
 5
 10 
complexo z . Então o valor de n é:
26. Os complexos z1  2cis  
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 9
27. O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de –1 é:
(A)
(B)
(C)
Z1
Z2
(D)
Z1
Z1
Z2
Z2
Z1
Z2
Z3
Z3
Z3
Z3
 6 
 . No plano complexo, a imagem geométrica de z 1 é um
 5 
28. Considere o número complexo z 1  2cis
dos vértices do hexágono regular centrado na origem do referencial
representado na figura.
A condição que define em C, a região sombreada é:
(A) z  2 
6
23 
 argz  
5
15
(B) z  2  
2
6
 argz  
15
5
(C) z  2 
6
28 
 argz  
5
15
(D) z  2 
6
23 
 argz  
5
15
 
2
29. Seja z  acis  com a  IR+ um número complexo.
Im z
Qual dos quatro pontos representados na figura

A, B, C ou D pode ser imagem de z
(A) A
(B) B
15
A
?
(C) C
D
(D) D
Re z
B
C
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30. Considere no plano de Argand a região sombreada representada na figura. A condição que define essa região é:
3
(A) z  2i  3  0  arg z  2i  
4
(B) z  2i  3  0  arg z  2i  
3
4
(C) z  2i  3  0  arg z  2i  
3
4
(D) z  2i  3  0  arg z  2i  
3
4
Im z
1
-2
Re z
-2
31. Qual das seguintes figuras pode ser representação geométrica, no plano de Argand, do conjunto
 

 z  C : z  1  arg z   
2

(A)
(B)
(C)
(D)
32. O ponto P é a imagem geométrica de i 5 z . Qual pode ser a imagem de z ?
(A) Q
(B) P
(C) S
(D) R
33. Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo rectângulo isósceles.
Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos reais. Um dos vértices do triângulo
coincide com a origem do referencial.
Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a
fronteira?
(A) Re  z   0  Im  z   0 
z 1
(B) Re  z   0  Im  z   0 
z 1
(C) Re  z   1  Im  z   0 
(D) Re  z   1  Im  z   0 
z  i  z 1
z  i  z 1
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