COMPLEXOS: OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 64
COMPLEXOS:
OPERAÇÕES NA FORMA
TRIGONOMÉTRICA
Como pode cair no enem
(UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio
forem representadas pelos números complexos z e w a seguir:
π
π
z = α cos –– + i sen –– , w = z2
2
2
Sendo α um número real fixo, 0 < α < 1.
eixo imaginário
eixo real
Determine a hora do jantar.
a) 19h
d) 22h
b) 20h
e) 23h
c) 21h
Fixação
1) (CESGRANRIO)
Se z1 e z2 são números complexos representados pelos seus afixos no Plano ao lado, então
z3 = z1 . z2 escrito na forma trigonométrica é:
y
a) √2 (cis 225°)
d) 2 √2 (cis 135°)
Z1
2
b) √2 (cis 315°)
e) 2 √2 (cis 225°)
c) 2 √2 (cis 45°)
Z2
1
-2
0
x
Fixação
2) (FUVEST) Dado o número complexo z = √3 + i qual é o menor valor do inteiro n ≥ 1 para o
qual zn é o número real?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Fixação
3) (UERJ) Um matemático, observando um vitral com o desenho de um polígono inscrito em um
círculo, verificou que os vértices desse polígono poderiam ser representados pelas raízes cúbicas
complexas do número 8. A área do polígono observado pelo matemático equivale a:
a) √3
b) 2√3
c) 3√3
d) 4√3
Proposto
1) (CESGRANRIO) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem e raio 1
e as imagens de cinco números complexos:
O complexo 1/z é igual a:
r
w
•
•
a) z
c) r
e) t
•
z
b) w
d) s
•
s
•
t
Proposto
2) Determine o módulo de Z = (1 - i)20
Proposto
3) (UFF) Os números complexos z1, z2 e z3 estão representados geometricamente.
A figura que pode re-presentar geometricamente o complexo Z = Z1.Z2.Z3 é:
a)
b)
c)
Im
e)
Im
Im
z
0
0
Re
z
d)
Im
Re
Im
z
Re
Re
z
z
0
0
0
Re
Proposto
4) Qual o menor inteiro positivo n para qual Z . Z² . Z³...
x √3
Zn seja real positivo, em que Z =
+
i?
2
2
Proposto
5) (UFF) Considere o número complexo z escrito na forma z = r cos θ + i r sen θ sendo r um
número real positivo e θ medido em radiano.
Determine os possíveis valores do ângulo θ de modo
1
que z² = 1 + i .
Proposto
6) (PUC) Resolva, no conjunto dos números complexos, a equação z³ = - 8.
Proposto
7) Resolva x³ + i = 0