Números Complexos - AFA 1 3 e calcule z n . No conjunto formado pelos −i 2 2 n quatro menores valores naturais de n para os quais z é um número real: 1. (AFA 2006) Considere o número complexo z = (A) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4 (B) há elementos cuja soma é igual a 30 (C) existe um único número ímpar (D) existe apenas um elemento que é número primo Solução: Repare que z = Ou seja: − nπ ( ) ( ) ( ) 1 3 −i = cis − π ⇒ z n = cis − nπ . Para z n ser real, devemos ter sen − nπ = 0 . 3 3 3 2 2 = kπ ( k ∈ ) . Assim, os quatro menores valores naturais de n são: {0,3, 6,9} . Neste 3 conjunto, há apenas um número primo. Opção (D) 2. (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos z = 3 + i ⎛⎜ 1 ⎞⎟ e 2 ⎝2⎠ w = 1− i . (01) z w10 é um número imaginário puro. (02) O afixo de w −1 é o ponto ⎛1 1⎞. ⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠ ( (04) A forma trigonométrica de z é cos 11π 6 ) + isen (11π 6 ) . (08) As raízes quartas de w são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e raio r = 4 2 . Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total t, tal que: (A) (B) (C) (D) t ∈ [1, 4 ] t ∈[ 5 , 8 ] t ∈ [ 9 , 12 ] t ∈ [ 13 , 15 ] Solução: (01) Repare que w2 = (1 − i ) = 1 − 2i + i 2 = −2i ⇒ w10 = ( −2i ) = −32i . Assim: 2 imaginário puro. Correta assertiva! 5 z w10 = 1⋅ 32i = 32i , um (02) Ora w−1 = (04) z = 1 1+ i 1 ⎛ 1 ⎞ = = + i ⎜ ⎟ . Correta assertiva! 1− i 2 2 ⎝2⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ⎛1⎞ + i ⎜ ⎟ = cis π ⇒ z = cis − π = cis 2π − π = cis 11π . Correta assertiva! 6 6 6 6 2 ⎝2⎠ (08) Seja z uma raiz quarta de w . Temos z = 4 w ⇒ z 4 = w = 1 − i ⇒ z = 1 − i = 2 ⇒ z = 8 2 . 4 Incorreta assertiva! Logo t = 1 + 2 + 4 = 7 . Opção (B) 3. (AFA 2007) Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária ( i 2 = −1 ), z ≠ i. O conjunto de todos os valores de z para os quais z+i 1 + iz é um número real, representa um(a): (A) elipse (B) hipérbole (C) circunferência (D) círculo Solução: Seja z = a + ib ( a, b ∈ ) . Teremos o seguinte desenvolvimento: 2 2 a + i (1 + b ) ⎣⎡ a + i (1 + b ) ⎦⎤ ⎣⎡(1 − b ) − ia ⎦⎤ 2a + i (1 − a − b ) z+i a + ib + i . = = = = 2 2 1 + iz 1 + i ( a + ib ) (1 − b ) + ia (1 − b ) + a 2 (1 − b ) + a 2 A fim de obedecer o enunciado, devemos ter 1 − a 2 − b 2 = 0 , ou seja, uma circunferência de centro ( 0, 0 ) e raio unitário. Opção (C) 4. (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 = − x − 2i , z 2 = −2i , z 3 = −2 + 3i e z4 = x + yi , onde x e y são números reais quaisquer e i 2 = −1 . Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições: ( ) ( ) I) Re z1.z2 ≤ Im z1.z2 . II) z3 + z 4 ≤ 2 . É correto afirmar que: (A) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área (B) possui vários elementos que são números imaginários puros (C) possui vários elementos que são números reais (D) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta (r) 3 x + 2 y = 0 Solução: ( ( ) ) ⎧Re z1 ⋅ z2 = −4 ⎪ z1 ⋅ z2 = ( − x + 2i )( 2i ) = −2 xi − 4 ⇒ ⎨ ⎪⎩Im z1 ⋅ z2 = −2 x ( ) ( ) I) Re z1.z2 ≤ Im z1.z2 ⇔ −4 ≤ −2 x ⇔ x ≤ 2. II) z3 + z4 = ( x − 2 ) + ( y + 3) i ⇒ z3 + z4 = ( x − 2 ) + ( y + 3) 2 ≤ 2 ⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3) ≤ 4. 2 2 Reparemos que z4 pertence a uma semi-circunferência de centro ( 2, −3) 2 e raio 2 . O complexo de menor módulo seria aquele cujo afixo está alinhado ao centro dessa circunferência. Portanto a equação de reta desse afixo é dada por: y − 0 = tg (π − α ) ⋅ ( x − 0 ) , onde α é tal que tgα = 3 . Logo a reta tem a 2 seguinte equação paramétrica: y = − 3 ⋅ x ⇒ 3 x + 2 y = 0 . 2 Opção (D) 20 ⎛1 3⎞ 6 5 4 3 5. (AFA 2008) Sabendo que x0 = −i, x1 = 3 e x2 = ⎜ + i ⎟⎟ são raízes de P ( x ) = x − 3 x + x − 4 x + ⎜2 2 ⎠ ⎝ +3x 2 − ax + 3 , onde i é a unidade imaginária e a é número real, marque a alternativa FALSA. (A) O número a também é raiz de P(x) (B) A soma das raízes reais de P(x) é um número par (C) O produto das raízes imaginárias de P(x) é diferente de a (D) P(x) é divisível por x 2 − x + 1 Solução: 20 ⎛1 1 3 3⎞ 1 3 . = cis π ⇒ x2 = ⎜⎜ + i Temos + i ⎟⎟ = cis 20π 3 = cis 3 ⋅ 2π + 2π 3 = cis 2π 3 = − + i 3 2 2 2 ⎠ 2 2 ⎝2 ( ) ⎪⎧ ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 ⎪⎫ +i ,− −i ,α ⎬ . 2 2 2 2 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 1 3⎞ Repare que S6 = zi1 zi2 ...zi6 = ( −i ) ⋅ ( i ) ⋅ ⎜⎜ − + i ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − − i ⎟ ⋅ ( 3) ⋅ (α ) = 3α = 3 ⇒ α = 1. ∑ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎟⎠ 1≤ i1 <i2 <...< i6 ≤ 6 ⎝ 2 Portanto as raízes de P ( x ) são: ⎨−i, +i,3, − Letra a) ⎡ ⎛ 1 3 ⎞⎤ ⎡ ⎛ 1 3 ⎞⎤ 2 2 2 P ( x ) = ( x − i )( x + i ) ⎢ x − ⎜⎜ − + i ⎟⎟ ⎥ ⎢ x − ⎜⎜ − − i ⎟⎟ ⎥ ( x − 3)( x − 1) = ( x + 1) ⋅ ( x + x + 1) ⋅ ( x − 4 x + 3) = 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2 = x 6 − 3x 5 + x 4 − 4 x3 + 3x 2 − x + 3 . Logo a = 1 e realmente é raiz. Correta assertiva! Letra b) As raízes reais de P ( x ) são 1 e 3, cuja soma é par. Correta assertiva! Letra c) Como as raízes imaginárias têm módulo unitário e P ( x ) tem coeficientes reais, seu produtório é sempre igual a 1. Incorreta assertiva! Opção (C) 6. (AFA 2009) Considere todos os números complexos z = x + iy ( x ∈ , y ∈ e i = −1 ), tais que z − −1 ≤ 2 . Sobre esses números complexos, é correto afirmar que: 1+ i (A) nenhum deles é imaginário puro (B) existe algum número real positivo (C) apenas um é número real (D) são todos imaginários Solução: 2 2 = = 1 ⇔ z pertence a uma circunferência de centro ( 0,1) e raio unitário. Logo o 1+ i 12 + 12 único valor real de z que satisfaz a condição imposta pelo enunciado é o 0. z − −1 ≤ Opção (C)