escola secundária de alberto sampaio

ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
Matemática
12º ANO
EXERCÍCIOS DE PROVAS DE EXAME NACIONAIS 2000-2003 COMPLEXOS
Parte 1 –Escolha múltipla
1. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à
bissectriz dos quadrantes ímpares.
A imagem geométrica de w4 pertence a uma das seguintes rectas. A qual delas?
A Bissectriz dos quadrantes pares
B Bissectriz dos quadrantes impares
C Eixo real
D Eixo imaginário
1C 1F 2003
2. Considere em C a condição
z ≤ 3 ∧ 0 ≤ arg z ≤
π
∧ Re z ≥1
4
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo,
o conjunto de pontos definido por esta condição?
A b
C 1
B
ba
D
a
2C 1F 2003
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3. Na figura estão representadas, no plano
complexo, as imagens geométricas de cinco
números complexos:
w, z1 , z 2 , z3 e z 4
Qual é o número complexo que pode ser
igual a 1 − w ?
A
z3
B
z1
D
C
z2
z4
2F 2003
4. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?
A
B
z + z =0
z =0
C
D
Im(z ) = 1
z − z =0
1F 1C 2002
5. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do
conjunto { z ∈C : z + 1 = z − i ∧ 2 ≤ Im( z ) ≤ 4} ?
A1
.b
B1
.
C b
D1
.
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6. Na figura está representado um rectângulo, de
comprimento 4 e largura 2, centrado na origem do plano
complexo.
Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem
geométrica está situada no interior do rectângulo.
Qual dos seguintes números complexos tem também,
necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do rectângulo?
A
z −1
B
z
C
z2
D
2z
2F 2002
7. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja imagem
geométrica, no plano complexo, está no primeiro quadrante
e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.
Seja w o conjugado de w.
Na figura estão representadas, no plano complexo, as
imagens geométricas de quatro números complexos:
z1 , z 2 , z3 e z 4 .
w
?
Qual deles pode ser igual a
w
A
z1
B
z2
C
z3
D
z4
1C 1F 2001
8. Na figura está representado, no plano complexo, um
heptágono regular inscrito numa circunferência de
centro na origem e raio 1. Um dos vértices do hetágono
pertence ao eixo imaginário.
Os vértices do hetágono são, para um certo número
natural n, as imagens geométricas das raízes de índice
n de um número complexo z.
Qual o valor de z ?
A
−i
B
1− i
C
1+ i
D
i
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9. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as
imagens geométricas das raízes quadradasde 3 + 4i ?
A A
C C
B b
D
d
2F 2001
10. Na figura está representado um hexágono cujos
vértices são as imagens geométricas, no plano complexo,
das raízes de índice 6 de um certo número complexo.
O vértice C é a imagem geométrica do número complexo
3π
.
2 cis
4
Qual dos seguintes números complexos tem por imagem
geométrica o vértice D ?
6
A
B
7π
6
7π
2 cis
6
2 cis
6
C
D
13π
12
13π
2 cis
12
2 cis
1F 1C 2000
11. Seja z um número complexo de argumento
π
.
5
Qual poderá ser um argumento do simétrico de z ?
A
−
π
5
B
π+
π
5
C π−
π
5
D 2π +
π
5
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12. Qual das seguintes condições define uma recta no plano complexo?
A
z −1 = 4
B
3z + 2i = 0
C
D
arg( z ) =
π
2
z −1 = z + i
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Parte 2 – Resposta aberta
1. Em C , conjunto dos números complexos, considere
5π
e
z 3 = −1 + i
z1 = 2 − 2i
z2 = 2 cis
4
z
1.1 Sem recorrer à calculadora, determine 1 apresentando o resultado na forma algébrica
z2
1.2 Escreva uma condição em C que defina, no plano complexo, a circunferência que tem
centro na imagem geométrica de z1 e que passa na imagem geométrica de z3 .
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2. C é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
(
2.1 Sem recorrer à calculadora, determine
)
π⎞
⎛
3 − 2i + ⎜ 2 cis ⎟
9⎠
⎝
apresentando o resultado
3π
cis
2
2
3
na forma algébrica.
2.2 Seja α um número real.
Sejam z1 e z 2 dois números complexos tais que:
• z1 = cis α
• z 2 = cis(α + π )
Mostre que z1 e z2 não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número
complexo.
2C 1F 2003
3. C é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
3.1 Sem recorrer à calculadora, calcule na forma trigonométrica, as raízes quartas do
número complexo 1 + 3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas.
3.2 Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re( z ) = − 2 .
Seja B a imagem geométrica de z , conjudado de z .
Seja O a origem do referencial.
Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB ] , de acordo com as condições
enunciadas.
Sabendo que a área do triângulo [AOB ] é 8, determine z , na forma algébrica.
2F 2003
3
4. Em C , considere números complexos: z1 = 1 + i e z 2 = 2 cis π
4
4.1 Verifique que z1 e z 2 são raízes quartas de um mesmo número complexo.
Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.
4.2 Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:
• A é a imagem geométrica de z1
• B é a imagem geométrica de z 2
• O é a arigem do referencial
Determine o perímetro do triângulo [AOB ]
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5. De dois números complexos z1 e z 2 sabe-se que:
•
um argumento de z1 é
π
3
•
o módulo de z 2 é 4
−1+ i
5.1 Seja w =
i
Justifique que w é diferente de z1 e de z 2
5.2 z1 e z 2 são duas das raízes quartas de um certo número complexo z.
Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de z 2 pertence
ao segundo quadrante, determine z 2 na forma algébrica.
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6. Em C , conjunto dos números complexos, considere
z1 = 1 + i
(i designa a unidade imaginária).
6.1 Determine os números reais b e c para os quais z1 é raiz do polinómio x 2 + bx + c .
6.2 Seja z 2 = cis α .
Calcule o valor de α , pertencente ao intervalo [0, 2π ] , para o qual z1 × z2 é um
número negativo ( z2 designa o conjudado de z 2 )
2F 2002
7. Em C , conjunto dos números complexos, seja z1 = 2 cis
π
3
.
z13 + 2
é um imaginário puro.
i
7.2 No plano complexo, a imagem de z1 é um dos
cinco vértices do pentágono regular representado na
figura.
7.1 Sem recorrer à calculadora, verifique que
Este pentágono está inscrito numa circuferência
centrada na origem do referencial.
Defina, por meio de uma condição em C , a
região sombreada, excluindo a fronteira.
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8. Em C , conjunto dos números complexos, seja
z1 = 4 i (i designa a unidade imaginária)
8.1 No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um dos quatro vértices de um
losango de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números
complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango.
π⎞
⎛
8.2 Sem recorrer à calculadora, resolva a equação ⎜ 2 cis ⎟ ⋅ z = 2 + z1 .
4⎠
⎝
Apresente o resultado na forma algébrica.
2
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9. Em C , conjunto dos números complexos, considere
w =2+i
(i designa a unidade imaginária).
9.1 Determine ( w − 2 )
11
( 1 + 3i )2
na forma algébrica
3π
9.2 Averigúe se inverso de w é,ou não, 2 cis
4
2F 2001
10. Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior
de um círculo de centro na origem do referencial e raio 1.
10.1 Defina, por meio de uma condição em C , a parte de A contida no segundo quadrante
excluindo os eixos do referencial).
1+ 3 i
pertence
10.2 Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo
π
4 cis
6
ao conjunto A.
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11. Considere no plano complexo o quadrado [ABCD ] .
Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os
pontos B e D pertencem ao eixo real.
Este quatro pontos encontran-se à distância de uma
unidade da origem do referencial.
3π
.
2
Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes
w2
quartas do complexo
têm por imagens geométricas os
z
pontos A, B ,C , e D.
11.1 Sejam w = 1 − i e z = 2 cis
11.2 Defina, por meio de uma condição em C, a circunferência inscrita no
quadrado [ABCD ]
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12. Seja C o conjunto dos números complexos, e sejam
z1 e z 2 dois elementos de C.
π
•
z1 tem argumento
•
•
z2 = z
A1 e A2 são as imagens geométricas de z1 e
z 2 , respectivamente
6
4
1
12.1 Justifique que o ângulo A1 O A2 é recto ( O designa
a origem do referencial).
12.2 Considere no plano complexo, a circunferência C definida pela condição z = z1 .
Sabendo que o perímetro de C é 4π , represente na forma algébrica, o numero complexo z1 .
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