prova substitutiva – introducao a estatistica economica

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PROVA SUBSTITUTIVA – INTRODUCAO A ESTATISTICA ECONOMICA
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 – PROF. HENRIQUE D. NEDER
(selecionar questões)
1a Questão: Considere que 40 % dos habitantes de uma dada cidade estão
propensos a votar no candidato X. Considere também que será selecionada
uma amostra aleatória simples de 800 habitantes desta cidade com a finalidade
de estimar a proporção populacional dos eleitores que desejam votar no
candidato X.
a) Determine a probabilidade de que mais de dois terços da amostra esteja
disposta a votar no candidato X.
b) Com base em uma proporção da amostra igual a 0,45 e um tamanho da
amostra igual a 800, determine um intervalo de confiança de 90 % de
probabilidade para a proporção populacional.
c) Se diminuirmos o tamanho da amostra, com o mesmo nível de confiança
do item b e o mesmo valor da proporção da amostra, o tamanho do
intervalo aumenta ou diminui? Explique porque. Para que sua explicação
seja correta, o que é necessário manter fixo?
2a Questão: Uma amostra de 50 preços de um produto mostrou um preço
médio igual a R$ 100 e desvio padrão amostral igual a R$ 20.
a) Construa um intervalo de 95 % de confiança para o preço médio da
população de todos os vendedores do produto.
b) Se a verdadeira média da população for
= R$ 110, qual é a
probabilidade de uma amostra de 40 vendedores apresentar uma média
amostral maior do que 115 minutos.

3a Questão: Um processo de produção é paralisado para ajuste toda vez que
uma amostra aleatória de cinco itens, selecionada com reposição, apresenta
dois ou mais defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo será
paralisado após uma inspeção se ele está produzindo:
a) 20 % de defeituosos
b) 10 % de defeituosos
4a Questão: A função f dada por:
0,2  3x se a  x  b
f (x)
0 se x  a ou x  b
é uma função densidade de probabilidade, com b - a = 0,5.
a. Calcule a e b.
b. Construa o gráfico de f
c. Calcule P( x 
ab
) .
2
5a Questão: A função f é dada por:
1
 x  a se - a  x  0
f (x)
 a - x se 0  x  a
a. Calcule o valor de a para que f seja uma função densidade de
probabilidade.
b. Calcule P(1  x  0,5).
c. Se P(-k < x < k) = 0,6, calcule k.
6a Questão: O tempo médio que estudantes necessitam para terminar um
teste é 70 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Suponha que estes
tempos são normalmente distribuídos. Se você deseja que 90 % dos
estudantes acabem o teste no prazo estabelecido, quanto tempo você deverá
estabelecer para o teste?
7a Questão: Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio padrão 20,
ache K de tal forma que a probabilidade de que um valor amostral seja menor
do que K é 0,975.
8a Questão: Qual é O percentil 67 de uma distribuição normal com média 6 e
variância 9 ?
9a Questão: A carteira de títulos de uma corretora tem apresentado
rendimento médio trimestral  (x) = 10 % e desvio-padrão (x) = 2 %. O
administrador da carteira garante que qualquer grupo de 40 títulos escolhido ao
acaso tem rendimento médio trimestral superior a 9 %. Qual a probabilidade de
ele estar correto?
10ª. Questão: A urna A contém três bolas brancas e quatro bolas pretas. A
urna B contém cinco bolas brancas e uma bola preta. A urna C contém sete
bolas brancas e duas bolas pretas. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna
e a variável aleatória X anota o número de bolas braças obtidas.
a) Especifique a função de probabilidade associada a X
b) Calcule a esperança matemática de X e a sua variância
Dica: considere que as extrações nas urnas são experimentos que resultam
em eventos independentes. Por exemplo: a probabilidade de extrair uma bola
branca em B é independente de extrair uma bola branca de A.
c) Seja X uma variável aleatória discreta com E[X] = 5 e V[X] = 3 e seja Y outra
variável aleatória discreta com E[Y] = 7 e V[Y] = 5. Sendo X e Y variáveis
aleatórias independentes calcule E[Z] e V[Z] para Z = 3X – 4Y
11ª. Questão: As percentagens de votantes em um determinado candidato em
três diferentes urnas nas últimas eleições presidenciais foram respectivamente
21 %, 45 % e 75 %. Se uma urna é selecionada ao acaso e uma célula eleitoral
é selecionada ao acaso daquela urna, qual é a probabilidade de que seja de
um votante daquele candidato.
2
12ª. Questão: Seja a função f(x) dada por:
f ( x)  0, 2  3 x se a  x  b
f ( x)  0 se x < a ou x > b
a) Determine a e b para que f(x) seja uma função de densidade de
probabilidade, sendo que b-a = 0,5
b) Determine a esperança matemática e a variância da variável aleatória x.
12ª. Questão: Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária
indicou que 20 % dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia
foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
a) No máximo dois sejam pagos com atraso
b) Mais de 70 % sejam pagos com atraso
c) Determine a média e a variância da variável aleatória que representa o
número de títulos pagos com atraso em um total de 20 títulos pagos
13ª. Questão: As percentagens de votantes em um determinado candidato em
três diferentes urnas nas últimas eleições presidenciais foram respectivamente
41 %, 65 % e 85 %. Se uma urna é selecionada ao acaso e uma célula eleitoral
é selecionada ao acaso daquela urna, qual é a probabilidade de que seja de
um votante daquele candidato.
14ª. Questão: Seja a função f(x) dada por:
f ( x)  0, 2  3 x se a  x  b
f ( x)  0 se x < a ou x > b
c) Determine a e b para que f(x) seja uma função de densidade de
probabilidade, sendo que b-a = 0,5
d) Determine a esperança matemática e a variância da variável aleatória x.
15ª. Questão: Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária
indicou que 45 % dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia
foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
d) No máximo dois sejam pagos com atraso
e) Mais de 90 % sejam pagos com atraso
f) Determine a média e a variância da variável aleatória que representa o
número de títulos pagos com atraso em um total de 20 títulos pagos
16ª Questão: Qual das sentenças seguintes descreve uma “inferência
estatística” ?
a. Uma afirmação verdadeira sobre uma população feita através de uma
medida de alguma amostra desta população
3
b. Uma conjectura acerca de uma população feita através de uma medida de
alguma amostra desta população
c. Uma sentença verdadeira acerca de uma amostra feita através de uma
medida de alguma população
d. Uma conjectura acerca de uma amostra feita através da medida de alguma
população
e. Uma sentença verdadeira acerca de uma amostra feita através da medida
de uma população inteira.
2ª Questão: Uma pesquisa de opinião política é realizada para estimar a
proporção de eleitores em favor do senador X. Toma-se uma amostra aleatória
simples de 400 eleitores e verifica-se que 56 % destes votarão no senador X.
Um intervalo de confiança de 95 % para a verdadeira proporção populacional a
favor do senador X é:
(a) 0,56  1,96  0,56  0,44
(b) 0,44  1,96  (0,56)  (0,44) / 400
(c) 0,56  1,96  (0,44)  (0,56) / 400
(d) 0,56  1,64  (0,56)  (0,44) / 400
(d) nenhuma das anteriores.
17ª Questão: O investigador X conduziu uma pesquisa na qual ele selecionou
aleatoriamente e pesou 1000 pessoas em uma população de 1 milhão para
estimar o peso médio. O investigador B conduziu uma pesquisa similar exceto
que ele obteve dados de 500 pessoas em uma população de 10000. Qual
investigador está apto a obter uma melhor estimativa da correspondente média
populacional? Porque?
18ª Questão: De acordo com o Teorema do Limite Central podemos afirmar
que:
a) Supondo-se a distribuição de uma variável aleatória X, considerada em toda
uma população, se esta variável aleatória X tiver distribuição normal, então
n
X e S   X terão também distribuição normal.
i 1
b) Supondo-se a distribuição de uma variável aleatória X, considerada em toda
uma população, X e
S 
n
 X terão também distribuição normal não
i 1
importando se X na população tem ou não tem distribuição normal.
c) Supondo-se a distribuição de uma variável aleatória X, considerada em toda
n
uma população, X
e S   X i terão também distribuição normal não
i 1
importando se X na população tem ou não tem distribuição normal, desde
que n seja grande.
4
d) Supondo-se a distribuição de uma variável aleatória X, considerada em toda
n
uma população, X
e S   X i terão também distribuição normal não
i 1
importando se X na população tem ou não tem distribuição normal, desde
que n (o tamanho amostral) tenda ao infinito (na prática n > 30).
e) Supondo-se a distribuição de uma variável aleatória X, considerada em toda
n
uma população e X tendo distribuição normal, X e S   X terão também
i 1
distribuição normal, mesmo que n, o tamanho amostral, seja pequeno
19ª Questão: O tempo médio que estudantes necessitam para terminar um
teste é 70 minutos com desvio padrão de 12 minutos. Suponha que estes
tempos são normalmente distribuídos. Se você deseja que 90 % dos
estudantes acabem o teste no prazo estabelecido, quanto tempo você deverá
estabelecer para o teste?
a.
b.
c.
d.
54,64 minutos
85,36 minutos
136,48 minutos
254,32 minutos
20ª Questão: 18) O que se entende por população finita ? Pode uma população
com tamanho finito (digamos 100000000000) ser finita? Pode uma população
finita (digamos 100 ser considerada infinita)? Para o caso de uma população
finita, na construção de um intervalo de confiança para um determinado
parâmetro populacional, o que é necessário fazer? Dê um exemplo.
21ª Questão: Suponha que o peso (W) dos pacientes do sexo masculino de
uma clínica tem distribuição normal com média 190 e variância 100. Para uma
amostra de tamanho 25 desta clínica, qual das seguintes é equivalente a
sentença:
P( W > 195)
onde W simboliza o peso médio amostral?
a. P(Z < -2.5)
b. P(Z < 1)
c. P(Z > -1)
d. P(Z > 2.5)
e. P(Z < 2.5)
Justifique a resposta.
22ª Questão: ) Para uma certa população com distribuição normal, o valor do
desvio padrão é conhecido, mas o valor da média é desconhecido. Quais são
os efeitos de mudanças no tamanho amostral e no nível de confiança no
tamanho do intervalo de confiança estimado para a média da população?
a. Aumentando o tamanho amostral aumenta o comprimento, dado um
nível de confiança fixo.
5
b. Aumentando o nível de confiança decresce o comprimento dado um
tamanho amostral fixo.
c. Aumentando o tamanho amostral decresce o crescimento, dado um
nível de confiança fixo.
d. Nenhuma das anteriores.
23ª Questão: Em um intervalo de confiança de 95 % para a média populacional,
a. Se muitas amostras são selecionadas, X cairá dentro do intervalo de
confiança 95 % das vezes.
b. A probabilidade de X cair dentro do intervalo de confiança para uma
amostra é 0,95.
c. A probabilidade de  cair dentro de um intervalo de confiança
calculado para uma amostra é 0,95.
d. Se muitas amostras são selecionadas, os intervalos de confiança
conterão  95 % das vezes.
e. nenhuma das anteriores.
todas as anteriores.
24ª Questão: O percentil 67 de uma distribuição normal com média 6 e
variância 9 é igual a:
a. 12,66
b. 6,75
c. 8,24
d. 8,22
e. nenhuma das anteriores
25ª Questão: O que se entende por população finita ? Pode uma população
com tamanho finito (digamos 100000000000) ser finita? Pode uma população
finita (digamos 100 ser considerada infinita)? Para o caso de uma população
finita, na construção de um intervalo de confiança para um determinado
parâmetro populacional, o que é necessário fazer? Dê um exemplo.
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