Quando ( desvio padrão da população)

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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM GESTÃO ESTRATÉGICA
ECONÔMICA, FINANCEIRA E CONTÁBIL
DISCIPLINA: MÉTODOS QUANTITATIVOS
DOCENTE: Emília Satoshi Miyamaru Seo
QUARTA AULA: INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS E PROPORÇÃO
INTRODUÇÃO
A distribuição normal é comumente utilizada quando não conhecemos a média
populacional, proporção populacional, etc. Utilizam-se dados da amostra para fazer
inferência sobre a população – essa parte da estatística é chamada inferência
estatística.
Por exemplo:  e  são medidas como parâmetros populacionais;
X e s são medidas como estatísticas amostrais;
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA = X
Um dos procedimentos estatísticos mais comuns é o uso de uma média de amostra
X para fazer inferência sobre a média da população ..
População
com média
?
O valor esperado de X é
usado para fazer inferência
sobre o valor de 
Uma amostra aleatória simples
de n elementos é selecionada a
partir da população
Os dados da amostra
fornecem um valor para a
média da amostra X
A distribuição de probabilidades para todos os valores possíveis da média da
amostra é chamada de distribuição amostral da média da amostra X .
________________________________________________________________________
A distribuição amostral da média de X é a distribuição de probabilidades de todos os
valores possíveis da média da amostra, X .
66
________________________________________________________________________
1. Vamos começar considerando a média de todos os possíveis valores de X , que é
denominado de valor esperado de X .
Valor esperado de X = E( X ), = . (média da população)
A média da distribuição amostral das médias é igual à média da população .
2. Vamos definir agora, o desvio padrão da distribuição amostral de X . Usaremos a
seguinte notação  X .
Sendo : n = tamanho da amostra;
N = tamanho da população;
 = média da população;
 = desvio padrão populacional;
X = média da amostra.
 X = desvio padrão da distribuição amostral de X .
Pode-se demonstrar que com a amostragem aleatória simples, o desvio padrão de X
depende de a população ser finita ou infinita. As duas expressões para desvio padrão
de X são:
 Para população infinita:
X =

n
O resultado de desvio padrão da distribuição normal (  X ) é muito importante porque,
na prática, não conhecemos , mas apenas os resultados de nossa amostra X e s
(desvio padrão da amostra).

Para população finita:
X
=

n
N n
, desta expressão: a parcela
N 1
N n
N 1
é
chamada de fator de correção da população finita.
REGRA GERAL:
1. U se sempre a expressão:  X =

n
, para calcular o desvio padrão de X para:


A população seja infinita;
A população seja finita e o tamanho da amostra seja menor que a igual a
5% do tamanho da população, isto é, n/N  0,05.

N n
2. Use sempre a expressão  X =
, para calcular o desvio padrão de X
n
para n/N > 0,05.
N 1
67
OBS.: Quando  ( desvio padrão da população) for desconhecido, o erro padrão da
média pode ser estimado usando-se o desvio padrão da amostra como um
estimador do desvio padrão da população:
Ou seja:

sX =
s
n
Quando inclui o fator de correção:
sX =
s
n
N n
N 1
Exemplos:
1. Suponha que a média de uma população bastante grande seja  = 50 e o desvio
padrão  = 12. Determinamos a distribuição de amostragem das médias das amostras
de tamanho n = 36, em termos de valor esperado e de erro padrão da distribuição, da
seguinte forma:
X =

n
=
12
=2
36
2. Um auditor toma uma amostra aleatória de tamanho n = 16 de um conjunto de N = 100
contas a receber. Não se conhece o desvio padrão dos valores das 100 contas a
receber. Contudo, o desvio padrão da amostra é s = $57,00. Determinamos o valor do
erro padrão da distribuição de amostragem da média da seguinte forma:
sX =
s
n
57
N n
=
N 1
16
100  16
= $13,13
100  1
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Um teorema em estatística que conduz ao uso do desvio padrão da média é o
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL para n  30  à medida que se aumenta o
tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da
forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da
população.
Onde z, neste caso fica:
68
X 
z=

n
Onde z = nível de confiança = desvio padrão. Em geral, nas ciências sociais, usamos um
nível de confiança de 95% de confiança como um padrão arbitrariamente aceitável.
Os valores de z são tabelados.
Para 95%, z = 1,96. Significa 1,96 desvios padrões da média, ou seja, 95% de
probabilidade de que a média da população caia dentro de  1,96 desvios padrões da
média.
O ponto importante nesta discussão é que, à medida que se aumenta o tamanho da
amostra, o desvio padrão da média diminui. Como resultado, tamanhos maiores de
amostra fornecerão uma maior probabilidade de que a média da amostra esteja dentro de
uma distância específica da média da população.
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2


0,0
x-
-2
-1
 - 1,96
x

x+
1
 -+1,96
n
2

n
Exemplo:
3. Um auditor toma uma amostra de n = 36 de uma população de 1000 contas a receber.
O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é s =
$43,00. Se o verdadeiro valor da média da população de contas a receber é  =
$260,00, qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a
250,00?
E(X) =  = 260 (dado)
sX =
s
n
=
43
= 7,17
36
s é usado como estimador de ;
fator de correção finita não é necessário, pois 36 < 0,05(1000)
z=
X 
s
=
250  260
= -1,39
7,17
n
Portanto: P ( X  250 )   = 260; s X = 7,17 = P(z  -1,39) = 0,5 – P (-1,39  z  0)
= 0,5 – 0,4177 = 0,0823.
69
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA, UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO
NORMAL
Intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no
qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população.
Nosso intervalo de confiança tem a forma: X  z  x
1. Para n  30 com Desvio Padrão Populacional Conhecido
=
X
z

n
2. Para n  30 com Desvio Padrão Populacional Desconhecido
=
X
s
z
n
3. Para n < 30 com Desvio Padrão Populacional Conhecido
=
X
z

n
4. Para n < 30 com Desvio Padrão Populacional Desconhecido - Distribuição t de
Student
=
X
 tgl
s
n
Exemplos:
5. Para uma dada semana, foi tomada uma amostra aleatória de 30 empregados horistas
selecionados de um grande número de empregados de uma fábrica, qual apresentou
um salário médio de X = $180,00 com um desvio padrão de amostra de s = $14,00.
Estimamos o salário médio para todos os empregados horistas da fábrica de tal
maneira que tenhamos uma confiança de 95% de que o intervalo estimado inclua a
média da população da seguinte forma:
X
 1,96.
sX
= 180  1,96 (2,56) = 174,98 a 185,02
Onde: X = $180,00 (dado)
70
sX
=
s
n
=
14
= 2,56
30
INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO, UTILIZANDO A
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Distribuição de probabilidade aplicável a proporções é a distribuição de probabilidade
binomial (acarreta cálculos extenuantes). A maioria utiliza a distribuição normal como
aproximação da binomial para a construção de intervalos de confiança para as
proporções.

A aproximação é apropriada quando n  30 tanto np  5 como n(1 – p)  5.

A variância da distribuição de proporções serve de base para o erro padrão.

Dada p , proporção observada na amostra, o erro padrão estimado da proporção é:
=
sp
 
p. 1 p
n
Não se considera necessário o uso desta correção se n < 0,05N.
 A correção finita é:
sp

=
 .
p. 1 p
n
N n
N 1
O intervalo de confiança para uma proporção populacional é:
p
 z sp
Exemplo:
6. Uma empresa de pesquisa de mercado faz contato com uma amostra de 100 homens
em uma grande comunidade e verifica que uma proporção de 0,40 na amostra prefere
lâminas de barbear fabricadas por seu cliente em vez de qualquer outra marca. O
intervalo de confiança de 95% para a proporção de todos os homens na comunidade
que preferem a lâmina de barbear do cliente é determinado como se segue:
sp =
 
p. 1 p
=
n
0,40(1  0,40)
=
100
0,24
= 0,05
100
71
IC = 95%  p  z s p = 0,40  1,96(0,05) = 0,40  0,098 = 0,30 a 0,50
 Cálculo de média da população a partir da média da amostra
= x ±Zx
Exemplo: Em uma pesquisa realizada com 1.600 engenheiros, verificou-se que a média de
consumo mensal de lápis é de 15 unidades, com uma variação em torno de 4 unidades. Qual a
média de consumo do universo considerando 99,7% de segurança?
n = 1.600
x = 15
s=
4
sx
=
4
s
=
= 0,1
1600
n
Portanto Intervalo de Confiança (IC) para a média populacional fica:
 = x ±Zx
 = 15  3. 0,1
=
15  0,3
14,7  X  15,3
 Proporção ou porcentagem do universo calculada a partir da proporção ou porcentagem
da amostra

= Proporção ou porcentagem dos elementos do universo favoráveis ao atributo
pesquisado.
p
= Proporção ou porcentagem dos elementos do universo favoráveis ao atributo
pesquisado.
q = 1 p
= Proporção ou porcentagem dos elementos da amostra desfavoráveis ao
atributo pesquisado.
sp
= Desvio padrão da proporção (quando p é desconhecido).
72
Portanto Intervalo de Confiança (IC) para a proporção populacional fica:
 = p ± z sp
sp
=
 
p. 1 p
n
sp
=
 .
p. 1 p
n
N n
N 1
onde p + q = 100%
Exemplo: Em uma pesquisa realizada para saber a porcentagem de indivíduos que bebiam vodca em
uma cidade do interior, verificou-se que 320 pessoas de uma amostra de 1,6 mil bebiam. Qual deve
ser a porcentagem de pessoas que bebem vodca na região, com 68% de segurança?
n = 1.600
p =
320
= 20%
1600
z= 1 (68%)
sp =
pq
.Z
n
sp =
20.80
.1
1600
sp =
sp
=1
 = p ± z sp
 = 20 ± 1
19% <  < 21%
1600
.1
1600
q = 80%
73
EXERCÍCIOS
1. Para estimar o tempo necessário para conserto de 40 máquinas o encarregado da manutenção de
uma empresa escolheu ao acaso 5 motores e verificou que o tempo médio de conserto é de 4
horas. Por experiência anterior, o encarregado sabe que o desvio padrão do tempo de conserto
corresponde a 15% do tempo médio do conserto. Qual é a previsão mínima e a máxima para o
tempo médio de conserto de um motor, ao nível de confiança de 98%?
2. Uma ONG decidiu conhecer as características de recém-nascidos paulistas, do sexo masculino,
cujas mães moram em favelas. Uma das medidas levantadas foi o peso médio deles. Uma
amostra de 121 recém-nascidos indicou que um peso médio de 2,5Kg. Se o desvio padrão
populacional é de 1Kg, determine um intervalo de confiança de 94% para ela.
3. O peso de crianças recém - nascidas do sexo feminino numa comunidade tem média 
e desvio padrão desconhecido. Uma amostra de 100 recém - nascidos indicou um
peso médio de 2,3 kg e variância de 0,64 (kg)2.
a)Determine um intervalo de confiança de 90% para  .
b)Determine um intervalo de confiança de 80% para  .
4. Uma população composta por 80 elementos apresenta desvio padrão de 3,2 unidades.
Uma amostra de 20 elementos selecionados ao acaso, sem reposição, apresentou
uma média de 40 unidades. Determine um intervalo de confiança de 85% para a ..
Resp. 39,10 a 40,89.
5. Desejamos estimar a proporção ( p ) de consumidores de um certo produto . Uma
amostra de 300 pessoas indicou que 100 delas consumiam o produto. Determine o
intervalo de confiança para p, com 95% de confiança.
6. Um administrador de uma universidade coleta dados sobre uma amostra aleatória de
âmbito nacional de 230 alunos de curso de Administração de Empresas e encontra
que 54 de tais estudantes têm diplomas de Técnico de Contabilidade. Usando um
nível de confiança de 90%, estimar o intervalo de confiança para a proporção nacional
de estudantes que possuem diplomas de Técnico de Contabilidade. Supõe – se aqui
que o número de estudantes no país é o suficientemente grande para que seja
dispensado o fator de correção finita
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
1. ANDERSON, David R. Estatística aplicada à administração e economia. 2a ed. Trad.
PAIVA, Luís Sérgio Castro. São Paulo: Pioneira, 2002.
2. LEVIN, Jack. Estatística aplicada a ciências humanas. 2a.ed. Trad. COSTA, Sérgio
Francisco. São Paulo : Harbra, 1987.
3. MARTINS, Gilberto Andrade. Estatística geral e aplicada. 2a ed. São Paulo: Atlas, 2002.
4. FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de estatística. 6a.ed.
Sao Paulo : Atlas,1996.
5. OVALLE, Izidoro Ivo. Estatística básica. 2a ed. São Paulo: Atlas,1995.
6. MARTINS, GILBERTO DE ANDRADE, DONAIRE, DENIS. Princípios de Estatística. 4a
ed. São Paulo: Atlas, 1979.
7. MARTINS, GILBERTO DE ANDRADE Manual para elaboração de monografias e
dissertações. 2a ed. São Paulo : atlas, 2000.
8. SAMARA, BEATRIZ & BARROS, JOSÉ CARLOS. Pesquisa de Marketing. São
Paulo: Makron Books, 1997.
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