Gabarito do Capítulo 7.

x
CAPíTULO
7
53. Seja z" = Y,,-I + ((2 - Y,,-I)(2x,,-1+ 3»(0,1) e y" = Y,,-I +
(2 - Y,,-I)(2x,,-1+ 3) + (2 - zn)(2x"+ 3»
2
.
(0,1) com valores iniciais Xo = -3, Yo= 1 e 20 passos. Use uma planilha
(
)
eletrônica, calculadora gráfica ou SAC para obter os valores
nas tabelas a seguir.
Seção 7.1, p. 522-524
1. 2\1 8X2+ 1 + C
5. ln 5
1
9. -7"ln Isen (3 - 7x) I+ C
11. -ln
Icosec
3. 2(sen V)312+ C
7. 2 ln (~ + 1) + C
I
(e8 + 1) + cotg (e8 + 1) + C
Respostas
t
t
Seção 7.2. p. 530-532
I 3 + tg 31 + C
Icosec (s - 7T) + cotg (s -
13. 3 ln sec
15. -ln
I
7T) + C
1. -2xcos (~) + 4 seR(~) +C
3. t2 sen t + 2t cos t - 2 sen t + C
17. 1
19. ig
3x+l
21. In 3 + C
2V;;;
23. In 2 + C
+ C
u
3
4
5. ln 4 -
7T
25. 3 arc tg 3u + C
643
7. yarc tg (y) - ln v'1+7
27'18
I5x I +
29. arc sen S2 + C
31. 6 arc sec
33. arc tg ~ + C
35. ln (2 + V3)
11.
37. 2'T1"
39. arc sen (t - 2) + C
13. (r - 7x + 7)~ + C
+C
9. x tg x + ln Icos x I + C
C
41. arc sec Ix + 11 + C,quandoIx + 11> 1
(X3
-
3X2
+ 6x -6)~ + C
15. (X5 - 5X4+ 20~ - 60X2 + 120x -120)~
+ C
43. tg x - 2 ln Icosec x + cotg x I - cotg x - x + C
47. x - ln Ix + 1 I + C
45. x + sen 2x + C
49. 7 + 1n8
51. 2t2- t + 2 arctg (~)
53. arcsenx + ~
57. tg x
-
55.
+ C
sec x + C
.73. -ln
IV2 -
25. ~ (~
59. In 11 + sen OI + C
63. 4
61. cotgx + x + cosecx +c
65.V2
69. In IV2 + 1 I- ln
+C
V2
x
79. arc sec
I
-
Í
1
(
I
I+
C
f
f
85.
COS9
39. (a) 'TI"(
'TI"- 2)
3 sen3 O+
O dO
=
f
COS8 O(cos
8) dO
41. 2~ (1 - e-21T)
43. u = xn, dv = cosx dx
=
(b) u
f
(b)
f ~g5 OdO = i tg4 (J - f tg3 OdO
tg3 O dO
= ~ tg2 0-
f tg O dO = 1 tg2 0+
(c)
f tg1 O dO = i tg6 0- f tg5 O dO
(d)
f
tg2k+l OdO
= ik tg2k0.-
f
ln
Icos O I+
C
49. (a)
(b)
91. ln (2 + V3)
= y, dv = f'(y)
(d)
(2n + l)'TI"
(b)
2'T1"
45. u
= xn, dv = eaxdx
tg2k-l OdO
51. (a)
(b)
dy
f arc sen x dx = x arc sen x + cos (arc sen x) + C
f arc sen x dx = x arc sen x + ~ + C
(c) cos (arc sen x)
87. 2V2 - ln (3 + 2V2)
89. 7T2
37T
47. (a) Seja y = f~I(X). Então x = f(y), portanto dx = J'(y) dy.
Substitua diretamente.
(1 - sen2 8)4 (cos O) dO
(a)
(b)
37. 27T(1 - ln 2)
C
2
1
(b) sen O- "3sen3 0+ 5"sen5 O+ C
(c)
)
35. (a) 'TI"
77. 12 arc tg (vY) + C
81. ln sec (tg t)
+C
!
33. - 2(VO cos VO - sin VO) + C
1
83. (a) sen O-
'TI"2
(c) 5'T1"
1
~
eV3s+9
- eV3s+9)
+C
'TI"V3
Icosec (sen O)+ cotg (sen O) I+ C
75. ln Isen x I + ln Icos x I+ C
19. 5'T1"-93V3
27. ~
-ln(2)-18
1
29. 2"[-x cos (ln x) + x sen (ln x)] + C
1 4x
- X2 x
31
. Y - 4 - 8"+ 32 e + C
67.2
1 I 71. 4 -
17. 7T2;4
1
21. 2"(-e8 cos 0+ e8sen O)+ C
e2x
23. 13 (3 sen 3x + 2 cos 3x) + C
=~
f arc cos x dx = x arc cos x - sen (arc cos x) + C
f arccosxdx = x arc cosx - ~ + C
(c) sen (arccosx) = ~
644
Respostas
x
13. -~+C
X2 -1
Seção 7.3, p. 540-541
3. ~+~
1. ~
+-L
x-3
x-2
S. -2 + -=! + ~
Z
Z2
- 1
Z
t
In
I(x
I+
C
1
ln It +
-i
1)5
27. Y
1
6 ln It + 2 I+ "3ln It -
1
1
4
x-I
~+ 21n 2
21. . 8
I
I+ C
1
x
2(X2- 1)
1
27. 8 2 + -1
28 + .2 + ln 182 + 28 + 21x
-
-
+ C
dade trigonométrica
arc tg (8 + 1) + C
( )
+C
1
31. 9x + 2 In Ix I+ ~ + 7 In
2
Ix-I I+ C
Y
1.~
33. 2" - ln Iy I+ iln (1 + y
e' + 1
)
sen y - 2
1
37. '5 In sen y + 3 + C
1
1
2
(arc t g 2x)
4
41. x = ln It 6t
I
21- InIt -
= t + 2 - 1, t > 215
In Iy - 1 I - ln Iy I = ti'
I
1 + In 2
t
1
2
. v'3
1)
(
arc tg V ~
499 +
6
1
13(2 cos 3t +
s
13.
~
~
rV 4 - r2 + C
I
+C
17.
-
1
/H
15. 2v3t
! ~+ V 4r7 - 491 + C
-
4
CO:05x
- 4 arc tg V~
-
+ C
co~ x + C
I
x
(X2
19. 6 sen(182)+ ~ sen (i~) + C
C
+ 4i12 - 4VX2 + 4 + C 11. -2~ w
il + C
t+ C
_
+C
21. 1 ln IX2 + 1 I+
2
_
+
2
( )
S+3
+ 108 In - 3 + C
s-
1
3. 2iaresen(~)+t~
2
5
1
2
18(9- s )
3)3I2(x
.
3 sen 3t) + C
~~
t
-
e2t
1. ln V9 + y2 + y + C
9.
(2x
+ 4 arcsen
t
9. 2 arc sen ~ -
(b) 1,55 dias
/'
Seção 7.4, p. 546
7~+
.
3
7. y'4-X2_21n12+~I+c
11.
S. In
)+
C
I + ln 2 .
l.000e
+ Z2).1 dx ~
(i) -
41. -cotg
~
S.
1 - ln 2
4,
=
37. In 11+ tg
(x + 2)(2x -6)V 4x - X2
-
= (1
Seção 7.5, p. 552-554
49. 3~ In25
51. (a) x
x +C
tg i
39. (lnv'3 -
43. x
47. y = In Ix - 2/ - In Ix-I
(
1
6
- 3 ln x - 21 + -x - 2 + C
= _2'
- sen 28 com 8
1
35.
+C
35. ln e' + 2 + C
I
2
1 +tg 8
(d) dz = sec2! .! dx = 1 + tg2! \!. dx
2 2
2)2
entãoresolvapara dx.
1
+ In -XI
45.
3~
obtenha uma identidade tri}onométrica, Ou use a identi1 - tg 8
x
dade trigonométrica
2 - cos 28 com 8 = -2 '
1 +tg 8
'
'
'
sen x
( c) Utilizando o Item (a,) sub stitua z = 1 + cos x e então
obtenha uma identidade trigonométrica. Ou use a identi2tg8
x
+ C
23. arctgy - -y 2 + 1
.
25: -(s - 1)-2 + (s - 1)-1 + arc tg s + C
39.
()
3~
(b) Utilizando o item (a), substitua z = 1 +sencosox
x e então
19. .! ln x + 1
X2
are soe (~)]
x
29. y = i arc tg i - 8
31. 4
33. (a) Isso pode ser visto geometricamente na figura.
17. 31n2 -2
29.
2[~-
~
C
+C
3
13. ln215
1
15.
-
+ 6)2(X
I I+
23. arc sec x
25. v?"=l
9. 2"[In11 + x I - In11 - x IJ+ C
+C
19. In 9 - In (1 + V1O)
7T
21. "6
1
11.
15. -~~)'
4x
17. 2 arc tg 2x +
2
+ C
(4x + 1)
x + 1 (x + 1)2
7.1+~+-12
t-3
t-2
x 2 + 1 arc tg x + C
2(1 + x ) 2
+ C
1)
+ C
'
645
Respostas
23.
(x-
25.
Y1 -
~) arcseu v.;: + ~vIx=7
sen2t - ln 1 +
(b) O item (a) mostra que, quando o número de juros capitalizados por ano aumenta em direção ao infinito, o limite de
juros capitalizados k vezes por ano são os juros capitalizados continuamente.
+C
Ysen
1 - t sen2t
+ C
53. (a) (-
00,
-1) U (O, 00)
(b)
e
(c)
00
27. In Iln y + Y3 + (In y)2, + C
29. In 13r - Y9r2 - 11 + C
31. x arc cos ~
e3x
33.
9
(3x
x22x
35. ln 2
-
3.
X2X
ln 2 [ ln 2 - (In 2)2] + C
3
senh 3x -
-
1
2
90 senh23x cosh 3x + 90 cosh 3x + C
2x
9
2
cosh 3x + 27 senh 3x + C
45. (b) Usando a Fónnula 29 da tabela de integrais, V =
.
(a) Porque o integrando tem uma descontinuidade
5. (a) Porque o integrando tem uma descontinuidade infinita em
x=O.
(b) Diverge.
(c) Nenhum valor.
9. 4
7. 1.000
2LW; r)V2rd- d' + (~)[ areseu(d; r) +~]
l'
49. (c) "4
4
53. 15 = 0,266667
l'
11. "2
15. v'3
1
51. 1
- e = 0,632121
5
3. "7
7. O
5. 2"
9. -1
11.
15.
19.
23.
27.
31.
35.
39.
1
1
e2
1
e
e-I
-1
1
45. c
=
ln 2
O
O
O
1
1
ln 2
3
43. (b) está correto, mas (a) não está.
27
10
r
lim k ln 1 + k
. --I-
11m
21. ln 4
( ~)
25. 10 I +
29. -1
31. 2
1
33. -4
35. Diverge.
37. Converge.
39. Converge.
41. Converge.
43. Diverge.
45. Converge.
47. Converge.
49. Diverge.
51. Converge.
53. Converge.
55. Diverge.
57. Converge.
59. Diverge.
61. Converge.
63. Converge.
65. (a) Converge quando p < 1.
(b) Converge quando p > 1.
( )
-
r-r.
k-+oo1 + k
(
10(1+ f)
~; I 1+
= 1;-+00
tim
-1
--- 1
= 1;-+00
tim
.
k
r
Por ISSO,11m 1 + -k
1;-+00
.
.
k2
( )
k
Portanto, !~~ Ao( 1 + ~)b = Aoert.
-- er.
l'
69. "2
67. 1
47. (a) lu (I + f)' = k 10( I + f). E, quando k -> "',
k-+oo
17. l'
23. ~
2
27. 6
Seção 7.6, p. 560-561
1
1. 4
1
13.
17.
21.
25.
29.
33.
37.
41.
13. ln 3
19. ~
3
55. 6 + 2[(1n2)3 - 3(1n2)2 + 6ln 2 - 6] = 0,101097
infinita em
x=O
(b) Converge.
9
(c) -2
2X
37. 120 senh43x cosh 3x
X2
- X2 + C
(c) ~
2
1
39.
kYx
1) + C
2
-
+ k arc sen ~ -
Seção 7.7. p. 573-575
1. (a) Por causa de um limite infinito de integração.
(b) Converge.
f)
73. (b)
= 0,88621
75. (b) 1
=.
Capítulo 7 Exercíciosde Fixação, p. 576-578
1. /2 (4X2 - 9)3/2+ C
3.
- Y9 - 4t 4
5.
8
~
+ C
1
+ C
7.
2(1 - cos 28) + C