Revisão do produto escalar entre vetores Define

= 90º
Revisão do produto escalar entre vetores
Define-se o produto escalar entre os vetores
e
cos
como
⋅
e
̂+
̂+
Logo
=
̂+
̂+
- Se os vetores forem paralelos e mesmo sentido, = 0º o
produto escalar tem seu valor máximo para os dois vetores
=
(b) Supondo que o vetor
por
⋅
+
+
e o vetor
| |=
=
cos
o menor ângulo entre os dois vetores no espaço.
Uma das maneiras de determinar o ângulo
definições:
cos
cos
=
⋅
=
=
=
+
cos
+
+
⋅
⋅
cos 0 =
⋅
1=
⋅
=
- Se os vetores forem paralelo e com sentido contrário,
180º, o produto escalar é máximo, porém negativo
cos
é mesclar as duas
+
⋅
=
−1 =
+
+
=
= 180º
cos 180 =
+
+
= arccos
=
Logo
o produto escalar entre os vetores ainda pode ser escrito como
⋅
=0
= 0º
cos
tenham módulos dados
= ,
⋅
⋅
0=
sendo este resulta um escalar, desprovido de direção e sentido.
Em outras palavras, este resultado é uma quantidade, um valor
numérico.
sendo
⋅
=
O produto escalar entre os dois vetores é definido como
⋅
⋅
cos 90º =
que também é chamado de produto ponto. Existem duas
maneiras de calcular o resultado:
(a) Supondo
=
⋅
⋅
Logo
⋅
=−
Trabalho e Energia Cinética - Prof. Leandro Neckel
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
Ou ainda
= arccos
cos
=
⋅
| |
⋅
!
Propriedades do produto escalar
- Se os vetores forem perpendiculares entre si, o produto
escalar é igual a zero, ou seja
cos
=
⋅
É a energia transferida para um objeto ou de um objeto através
de uma força que age sobre o objeto.
- Símbolo: W
- Definição:
() = * ⋅ +
(produto escalar)
Sendo * a força e + o deslocamento exercido pela força na
direção do deslocamento. Ainda tem-se
() = * + cos
∑* = 0
=0
/+* −>=0
/ =>−*
/ = 0 1 − * sen θ
/ = 10 ∗ 9.8 − 30 278 30º
/ = 98 − 15 = 83/
Com sendo o ângulo entre * e + . Repare que aqui temos que
F e d representam os módulos do vetor força e deslocamento
respectivamente. Se * tem uma componente na direção de +
então temos:
- Unidade no SI
() = * ∗ +
Repare que, segundo a definição, o trabalho de uma força deve
possuir a mesma unidade que a energia cinética.
mas como
Logo
-(. = -*. -+.
-(. = / 0
-*. = -0. - .
0
-*. = 1 3
2
0
/= 1 3
2
-(. = 1
0
03
0= 1 3 =4
3
2
2
- exemplo: em um plano horizontal, um bloco sem atrito é
puxado por uma força F de 30N que faz um ângulo de 30º acima
a horizontal. Com a aplicação desta força o bloco que tem 10kg
de massa sofre um deslocamento de 20m na horizontal. Qual é
o trabalho desta força?
Decompondo a força F temos:
* = * cos
* = * 278
= 26/
= 15/
Logo * = 26 ̂ + 15:̂ / . Sendo que + = 20 ̂ 0 teremos,
segundo a equação (3):
() = 26 ̂ + 15 ̂ ⋅ 20 ̂
() = 26 ∗ 20 + 15 ∗ 0
() = 5204
Segundo a equação (4), sabendo que o ângulo entre o
deslocamento e a força é de 30º teremos
() = 30 ∗ 20 ∗ cos 30
() = 5204
O trabalho de uma força conta com a fração da mesma que age
na direção do movimento. Repare que somente * está na
direção do movimento, logo é somente está fração da força que
realizará trabalho. Ainda, como não há movimento na vertical
(em y), a componente * da força não realiza trabalho (repare
na equação (6)). Ainda, se uma força age integralmente na
direção do movimento, tem-se que o ângulo entre a força e o
deslocamento é zero e cos 0 = 1.
Continuando no mesmo exemplo poderíamos desejar saber o
trabalho das forças peso e normal no sistema. Em y temos a
seguinte equação constitutiva, segundo a 2ª lei de Newton:
∑* = 0 ∗
Ainda, sabendo que > = 98/, (> = 0 ∗ 1 , podemos definir
vetorialmente:
/ = 83:̂ /
> = −98 ̂ /
Calculando os trabalhos destas forças:
(B = 83 ̂ ⋅ 20 ̂ = 83 ∗ 0 + 0 ∗ 20 = 04
(C = −98 ̂ ⋅ 20 ̂ = 98 ∗ 0 + 0 ∗ 20 = 04
Que são resultados que fazem sentido uma vez que ambas as
forças normal e peso não estão na direção do movimento (que
é puramente horizontal) e que também não possuem
componentes naquela direção. Segundo a equação (4)
encontraríamos os mesmos resultados sabendo que o ângulo
entre o peso P e o deslocamento d é de -90º (segundo o círculo
trigonométrico) e que o ângulo entre a força normal N e o
deslocamento d é de 90º. Observe:
(B = 83 ∗ 20 ∗ cos 90 = 04
(C = 98 ∗ 20 ∗ cos −90 = 04
Isso, pois cos 90 = cos −90 = 0.
Imaginando a mesma situação com atrito, com a força DE de
atrito cinético aplicada no sentido negativo de x, podemos
calcular o trabalho realizado pela mesma uma vez que
DE = FE /
Suponhamos FE = 0.2 teremos
Vetorialmente:
DE = 0.2 ∗ 83 = 16.6/
DE = −16.6 ̂ /
Logo, o trabalho da força de atrito será (aplicando a definição
(3)):
(GH = −16.6 ̂ ⋅ 20 ̂ = −3324
Repare que o trabalho é negativo, pois a força de atrito está
contra o movimento. Considerando a equação (4) teremos que
considerar um ângulo de 180º entre a força de atrito e o
deslocamento uma vez que DE está para a esquerda e + está
para a direita:
(GH = 16.6 ∗ 20 ∗ cos 180
(GH = 16.6 ∗ 20 ∗ −1 = −3324
TRABALHO TOTAL.
O trabalho total em um sistema é a soma dos trabalhos
realizados pelas forças sobre o objeto:
(I = ∑(
- no exemplo teremos que
(I = (C + () + (B + (GH
Trazendo o termo + para o braço esquerdo da equação temos
*JKL + =
Onde a ordem não importa. Tem-se então
(C = 04
(B = 04
() = 5204
(GH = −3324
(I = 0 + 520 + 0 − 332 = 1884
O trabalho total também pode ser calculado por
(I = *JKL ⋅ +
- no exemplo, temos que
*JKL = * + > + / + DE
Define-se, então
NG =
Lembrandro que + = 20 ̂ 0 temos que
(I = 9,4 ̂ ⋅ 20 ̂
0OG3
2
Como energia cinética no estado final para um corpo que
possui velocidade OG e
NU =
0OU3
2
Como energia cinética inicial para um corpo que possui
velocidade inicial OU . Logo
*JKL + = NG − NU
*JKL = 26 ̂ + 15 ̂ + −98 ̂ + 83 ̂ + −16.6 ̂
*JKL = 9,4 ̂ /
0OG3 0OU3
−
2
2
*JKL + = ΔN
Generalizando para mais de uma dimensão
*JKL ⋅ + = ΔN
(I = 188 4
Como força resultante não nula realiza o trabalho total sobre
um objeto:
É a energia associada ao estado de movimento de um objeto.
Define-se, então, o TEOREMA TRABALHO-ENERGIA CINÉTICA
ENERGIA CINÉTICA
(I = *JKL ⋅ +
XY = Z[\] ⋅ ^
- Símbolo: K
- Definição
N=
1
0 O3
2
Com m sendo a massa e v a velocidade do objeto.
- Unidade no SI
-N. = -0.-O.3
- no exemplo anterior pode-se concluir então que:
(I = 1884
ΔN = 1884
Considerando o teorema e supondo que a velocidade inicial do
bloco era zero (estado de repouso), pode-se calcular a
velocidade final do mesmo:
1
1
0 OG3 − 0OU3
2
2
1
OU = 0 ∴ 0OU3 = 0
2
ΔN =
03
-N. = 1 3 = 4 4PQR7 S. T.
2
RELAÇÃO ENTRE TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA.
Considerando o problema de uma dimensão, temos que
Logo
*JKL = 0
ΔN =
Para uma aceleração , uma mudança de velocidade de OU para
OG é executada em um deslocamento ΔW que, para este
contexto, chamaremos de + . A equação que relaciona esta
mudança de velocidade é dada por
Isolando a aceleração
OG3 = OU3 + 2 +
=
OG3 − OU3
2+
Substituindo na lei de newton temos:
*JKL =
0 OG3 − OU3
2+
1
0O 3
2 G
OG = `
2ΔN
0
OG = `2
188
0
= 6.13
10
2
- exemplo: exercício 15, capítulo 7 (Halliday) - Uma força de
12,0N e orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula
que
sofre
um
deslocamento
+ = 2.00 ̂ − 4.00 ̂ +
3.00 0. Qual e o ângulo entre a força e o deslocamento se a
variação da energia cinética da partícula é (a) +30.0 J e (b) -30
J
* = 12/
a)ΔN = 304
+ = 2 ̂−4 ̂+3
=?
0
Para calcularmos o ângulo, recorremos a equação (4)
considerando que só há uma força atuando sobre o bloco.
() = * + cos
- .=
Para definir o trabalho realizado por uma força elástica, ou uma
força variável qualquer, pode-se utilizar uma outra definição
unidirecional de trabalho:
d
() = c * +W
e
Como há somente uma força:
E assim
Logo
(I = ()
Sabendo que
() = ΔN
Temos que
ΔN = * + cos
Para continuarmos é necessário encontrarmos o módulo do
deslocamento:
+ = b+ 3 + + 3 + + 3
Então
+ = + = 5.390
ΔN
*+
cos
= 0.46
= arccos 0.46
= 62.61º
cos
=
Para realizar a letra b, o procedimento é o mesmo,
considerando que é pedido o ângulo entre a força e o
deslocamento uma vez que a variação da energia cinética é 30J.
/
0
* =− W
d
() = c − W +W
e
() = − f
W3
g
2
d
e
WG3 WU3
() = − f − g
2
2
WG3
WU3
()h =
−
2
2
Porém, sabe-se que a habilidade de cálculo com integrais não é
algo muito desenvolvido para aqueles que cursam a disciplina
de física 1, ou mecânica básica, logo existe uma maneira menos
aprofundada, porém geometricamente rica, de chegarmos no
mesmo resultado.
Sabendo que se tem uma força que depende linearmente da
posição do objeto ou partícula:
*=− W
TRABALHO DE UMA FORÇA ELÁSTICA
Uma força elástica é um caso simples de força variável, ou seja,
que não é simplesmente constante para qualquer situação. A
força elástica proposta nesta unidade é muito ligada com a
propriedade elástica de alguns materiais assim como molas,
elásticos, etc.
A força elástica do tipo
*=− W
É chamada de restauradora, pois conforme o deslocamento em
x do objeto, ela aponta no sentido contrário ao mesmo. Para
exemplificar, repare que para posições positivas de x, o módulo
da força fica negativo, ou seja, aponta para o sentido negativo
de x. De maneira oposta temos a força quando o objeto está
em uma posição negativa em x: desta forma a força F é positiva
e aponta para o positivo de x. Se o objeto que sofre ação desta
força está na origem do sistema, ou seja, em W = 0 , ou ainda,
na sua posição de equilíbrio, a força F tem módulo igual a zero.
Esta força elástica descrita acima é conhecida como Lei de
Hooke. A constante é conhecida como a constante elástica
do material. Sua unidade
Sendo o eixo vertical o eixo das forças, em Newtons, e o eixo
horizontal o das posições, em metros.
Ainda, uma das interpretações da integral, que é de
conhecimento necessário para compreensão desta
demonstração, é que o resultado de uma integral de uma
função é numericamente igual a área entre a curva da função e
o eixo horizontal entre dois pontos do eixo horizontal.
A área demarcada na figura acima demonstra a área entre a
curva da função * = − W entre os pontos W = 50 e W =
100. A integral
ij
c − W +W
Calcula a área pintada.
k
Repare que para a função linear de x, * = − W, temos que a
região entre quaisquer dois pontos é um trapézio, que tem
fórmula de área conhecida e dada por
lmJno =
p+
2
ℎ
Onde B e b são as bases paralelas maior e menor
respectivamente e h a altura do trapézio. Repare que no gráfico
acima as bases maior e menor são valores do eixo vertical, logo
forças, enquanto a altura são valores no eixo horizontal, logo
uma diferença entre posições. Podemos definir, para duas
posições WU 7 WG que a força que age sobre o bloco nestas
posições são * WU e * WG respectivamente e que são iguais,
ainda, a
* WU = − WU
* Wr = − WG
Sabendo que a base maior, B, é a * WG e a base menor b é a
* WU , temos que
() = lmJno
p+ ℎ
() =
2
s* WG + * WU t WG − WU
() =
2
− WG − WU WG − WU
() =
2
− WG3 + WG WU − WG WU +
() =
2
() =
WG3
WU3
−
2
2
Onde a posição está no eixo horizontal e a força está no eixo
vertical. Vale repetir aqui que está é uma força restauradora,
ou seja, quanto mais longe o corpo está da origem do sistema,
maior é a força contrária que sofre.
Ainda, como a força é contrária ao movimento, é esperado que,
se em W = 3.00 o corpo possuía uma velocidade de 8.0m/s, é
esperado que em W = 4.00 o corpo possua uma velocidade
menor. Pode-se encontrar, então o trabalho da força * ao
longo deste deslocamento de um metro e calcular a variação
da energia cinética durante o mesmo.
()h = ΔN
1
1
1
1
WU3 −
WG3 = 0 OG3 − 0OU3
2
2
2
2
Repare que para * = −6W temos que
- .=
Simplificando a equação teremos
Isolando OG temos
WU3
Assim, é possível chegar no mesmo resultado encontrado
através da integral. Infelizmente isto só é possível quando a
força depende linearmente da posição, ou seja, quando a força
variável * W é uma função do primeiro grau.
WU3 −
OG = `
/
0
= 6 e sua unidade é
WG3 = 0 OG3 − 0 OU3
WU3 −
WG3 + 0 OU3
0
6 ∗ 33 − 6 ∗ 4 3 + 2 ∗ 8 3
OG = `
2
0
OG = 6.56
2
O resultado, que era esperado, é menor que a velocidade inicial
no ponto W = 30.
- exemplo: questão 29, capítulo 7 (Halliday) - A única força que
age sobre um corpo de 2.0 kg enquanto ele se move no semieixo positivo de um eixo x tem uma componente * = − 6W
com x em metros. A velocidade do corpo em W = 3.0 0 é 8,0
m/s. (a) Qual é a velocidade do corpo em W = 4.0 0? (b) Para
que valor positivo de x o corpo tem uma velocidade de 5.0 m/s?
(b) O procedimento é parecido e, em comparação com o item
(a), também podemos prever algo sobre a posição que o corpo
estará: repare que em W = 4.00 o corpo possuía uma
velocidade de 6.56m/s. Desejando saber em que posição o
corpo estará com 5.0m/s de velocidade, é esperado, então, que
a posição seja maior que 4m.
(a) Se observarmos a força variável temos uma função de
primeiro grau com o coeficiente angular negativo, logo temos
uma função linear decrescente com o seguinte gráfico:
Partindo da mesma equação, reinterpretando-a:
Isolando WG temos
WU3 −
WG3 = 0 OG3 − 0 OU3
WU3 − 0 OG3 + 0 OU3
WG = `
Considerando o estado inicial como WU = 4.00 e OU = 6.56
teremos:
WG = `
u
L
6 ∗ 43 − 2 ∗ 53 + 2 ∗ 6.563
6
WG = 4.690
Que é um resultado que, como esperado, é maior que W =
4.00.
POTÊNCIA
É a taxa de realização de trabalho. Ou seja, é quanto trabalho é
realizado em um determinado tempo. Ainda, se uma força
aplicada a um corpo realiza trabalho sobre este em um
determinado tempo, a potência mede quanto trabalho foi
realizado por unidade de tempo.
- Definição (potência média)
>uKv =
(
Δw
A potência instantânea, então é definida por
>=
vx
vm
(derivada do trabalho no tempo)
Isso se o trabalho puder ser definido como uma função do
tempo.
- Unidade
-(.
-w.
4
->. = = ( ( ww
2
->. =
- Conversões conhecidas:
1 ℎPy27zP{7y = 1ℎz = 746 (
1 } O RPO zPy = 1}O = 735.5 (
- Outras definições:
+(
+w
( = * W cos
+( = * +Wcos θ
* +W cos
∴>=
+w
+W
> = * cos
+w
> = * O cos
>=
Ou ainda, vetorialmente:
> =*⋅O
(produto escalar)
- exemplo – exercício 49, capítulo 7 (Halliday) - Uma máquina
transporta um pacote de 4,0 kg de uma posição inicial +~ =
0.50 0 ̂ + 0.75 0 ̂ + 0.20 0
em w = 02 até uma
posição final +G = 7.50 0 ̂ + 12.0 0 ̂ + 7.20 0
em w = 122 . A força constante aplicada pela máquina ao
pacote é * = 2.00 / ̂ + 4.00 / ̂ + 6.00 / . Para
esse deslocamento, determine (a) o trabalho realizado pela
força da máquina sobre o pacote e (b) a potência média dessa
força.
(a) Aqui pode-se aplicar diretamente a equação (3) para
determinar o trabalho da força * . Porém, é necessário
encontrar o valor do deslocamento inicialmente.
+ = +G − +~
+ = • 7.50 0 ̂ + 12.0 0 ̂ + 7.20 0
€
− • 0.50 0 ̂ + 0.75 0 ̂ + 0.20 0
+ = 7.00 ̂ + 11.25 ̂ + 7.00
0
€
Assim, aplicando a definição de trabalho, temos:
(
(
(
(
=*⋅+
= •2.00 ̂ + 4.00 ̂ + 6.00 € ⋅ •7.00 ̂ + 11.25 ̂ + 7.00 €
= 2 ∗ 7 + 4 ∗ 11.25 + 6 ∗ 7
= 101.004
(b) Sabendo que a força aplicada é constante, pode-se
considerar que a potência média é igual a potência total. Logo,
aplicando a equação (15) temos:
(15)
>uKv =
x
•m
>uKv = >m‚mnƒ =
>m‚mnƒ = 8.4(
101.00
12