GEOMETRIA ANALÍTICA – PROF CRISTINA PRODUTO ESCALAR

GEOMETRIA ANALÍTICA – PROFA CRISTINA
PRODUTO ESCALAR
Dados dois vetores quaisquer u = x1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z 2 k , denominamos de produto escalar (ou
produto interno) de u e v , e indicamos por u • v (lê-se: u escalar v ), ao número real:
u • v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Propriedades:
Sejam u = x1 i + y1 j + z1 k , v = x2 i + y2 j + z 2 k , w = x3 i + y3 j + z3 k e α ∈ R , então são válidas as propriedades:
a) u • v = v • u
b) α ( u • v ) = ( α u ) • v = u • (α v )
c) w • ( u + v ) = ( w • u ) + ( w • v )
d) u • u = u
2
Conseqüência
d1) u • u ≥ 0
d2) u • u = 0 se, e somente se u = 0
Ângulo entre vetores
r
r
Sejam u e v dois vetores não nulos. Tomemos os pontos O, P e Q, todos pertencentes a E3, tais que
r
r
u = OP e v = OQ . Seja θ a medida em radianos (ou em graus) do ângulo POQ, satisfazendo 0≤θ≤π (ou
0≤θ≤180o).
r
u
O
P
θ
r
v
Q
r
r
O número θ é chamado de medida em radianos (ou em graus) do ângulo entre u e v .
r r
r r r
Para expressar θ em função de u e v , vamos fixar uma base ortonormal {e1 , e2 , e3 } . Sejam (u1, u2,u3) e
r
r
(v1,v2,v3) as coordenadas de u e v em relação à base escolhida. Então, pode-se mostrar que
(onde θ é o ângulo entre u e v .)
u • v = u v cos θ
.
Obs: Caso algum vetor seja o vetor nulo então a sentença é verdadeira para qualquer θ .
Conseqüência: e1) Essa relação nos permite determinar o ângulo entre dois vetores, como segue:
cos θ =
u •v
, e daí θ = arc cos
u v
Se u • v > 0 , temos que θ é um ângulo agudo.
Se u • v < 0 , temos que θ é um ângulo obtuso.
u • v = 0 se, e somente se, u ⊥ v .
u •v
u v
r
r
r
r
para u ≠ 0 e v ≠ 0 .