07 ENERGIA CINETICA E TRABALHO

A ciência e a engenharia dos funny cars está tão avançada hoje em dia
que a diferença entre a vitória e a derrota pode depender de intervalos
de tempo menores que 1 ms.
Capitulo 7
Que propriedade de um funny car determina
Trabalho e energia
se ele será o vencedor de uma drag race?

Energia – o termo energia é tão amplo
que é difícil de pensar em uma definição
concisa. Tecnicamente, a energia é uma
grandeza escalar associada ao estado de
um ou mais objetos. Mas é uma
informação um pouco vaga para quem
está começando.
Energia Cinética

A energia cinética é a energia associada ao
estado de movimento de um objeto.
Quando um objeto está em repouso sua
energia cinética é nula.
Para um objeto de massa m cuja a velocidade
v é muito menor que a velocidade da luz,
temos:
2
mv
Ec 
2
Unidades 1 joule = 1 J = 1 Kg.m2/s2
Exemplo1:

Em 1896, em Waco, Texas, William Crush posicionou duas locomotivas em
extremidades opostas de uma linha férrea com 6,4km de extensão,
acendeu as caldeiras, amarrou os aceleradores e fez com que as
locomotivas sofressem uma colisão frontal, em alta velocidade, diante de
30000 espectadores. Centenas de pessoas foram feridas pelos destroços,
várias morreram. Suponha que cada locomotiva pesava 1,2 x 106 N e
tinha uma aceleração constante de 0,26m/s2 qual era a energia cinética
das locomotivas imediatamente antes da colisão?
Trabalho

O trabalho W é a energia transferida para um
objeto ou de um objeto por meio de uma
força atuando no objeto. A energia transferida
para o objeto é um trabalho positivo, e a
energia retirada do objeto é um trabalho
negativo.
Determinação de uma Expressão Matemática
para o Trabalho
v  v  2a x d
2
2
0
Fx = m ax
2
2
0
mv
mv

 Fx d
2
2
2
2
0
v v
ax d  
2 2
Fx
ax 
m
w  Fx .d
Para calcular o trabalho que uma força realiza usamos apenas a
componente da força na direção do deslocamento do objeto. A
componente da força que é perpendicular ao deslocamento não realiza
trabalho.

F

Fy
θ

Fx
 Fx
= F cos θ
W = F .d. cos θ
Unidades de trabalho

1 J (Joule) = Kg . m2/s2 = 1 N.m = 0,738 ft.lb.

Se várias forças atuam no mesmo corpo, o
trabalho total será:
Wtotal  F1x x1  F2 x x2  F3 x x3  ...
Considere que o deslocamento do ponto de aplicação de cada uma das forças
Seja x Assim,
Wtotal  F1x x  F2 x x  ...  ( F1x  F2 x  ...)x
Wtotal  Fres , x x
Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
mv f
2
2
i
mv

 Fx d
2
2
E f  Ei  W
O resultado é o teorema do Trabalho-Energia Cinética:
“O trabalho total realizado sobre uma partícula é igual à
variação de sua energia cinética”.
Exemplo 1
1. Um objeto de 102kg está inicialmente movendo-se em linha
reta com uma velocidade de 53m/s . Se ele sofre uma
desaceleração de 2m/s2 até ficar imóvel:
a) Qual a intensidade da força utilizada?
b) Qual a distância que o objeto percorreu antes de parar?
c) Qual o trabalho realizado pela força de desaceleração?
Trabalho Realizado por uma Força
Gravitacional
Wg = mg d cos θ
Trabalho Realizado por uma Força
Gravitacional

Para um objeto que esta se elevando, θ é 180 graus
e o trabalho é
Wg = mg d cos 180 = m g d (-1) = - m g d.
Para um objeto que esta caindo de volta, θ é 0
graus e o trabalho é
Wg = mg d cos 0 = m g d (1) = + m g d.

Exemplo 2
2. Um guindaste exerce uma força de 31kN para cima,
elevando uma carga de 3000kg. Essa força, suficiente para
vencer a força gravitacional e fazer com que a carga
comece a subir, atua ao longo de uma distância de 2m.
Determine: (a) O trabalho realizado pelo guindaste
(b) o trabalho realizado pela força gravitacional
(c) a velocidade de subida da carga após os 2m.
(
resp. 62,0kJ; -58,9kJ; 1,45m/s)
Exemplo 3: Um engradado de queijos redondos de 15 Kg, inicialmente em
repouso, é tracionado, via um cabo, por uma distância 5,70 m para cima de
uma rampa de altura 2,5m onde ele para.
a) Qual o trabalho realizado
sobre o engradado pela força
peso?
b) Qual o trabalho realizado
sobre o engradado pela força
de tração exercida pelo cabo
durante a subida?
Exemplo 3: Uma arca de 50kg é empurrada por uma
distância de 6m, com velocidade constante, numa rampa com
inclinação de 300 por uma força horizontal constante. O
coeficiente de atrito cinético entre a arca e a rampa é 0,20 .
a) Calcule o trabalho realizado
pela força aplicada.
b) Calcule o trabalho realizado
pelo peso da arca.
c) Calcule o trabalho realizado
pela força de atrito.
Trabalho Realizado por uma Força Variável Qualquer
Trabalho Realizado por uma Força
Variável Qualquer
W j  F j ,méd x.
W   W j   F j ,méd x.
Podemos melhorar a aproximação reduzindo a largura de faixa
x e usando mais faixas, como na Fig. 4.3c. No limite, fazemos
a largura das faixas se aproximar de zero;
Trabalho Realizado por uma Força
Variável Qualquer
O número de fatias então se torna infinitamente grande e
temos, como um resultado exato,
W  lim  F j ,méd x.
x 0
Este limite é exatamente a definição da integral da função
Fx entre os limites xi e xf:
W 
xf
xi
F ( x) dx
Exemplo 4
Um bloco de 4kg, apoiado sobre uma plataforma sem
atrito, é preso a uma mola horizontal que obedece à lei
de Hooke e exerce uma força Fx  k xi , onde
k  400N / m e é medido em relação à posição de
equilíbrio do bloco. A mola está originalmente
x  5cm
comprimida com o bloco na posição
.
Determine (a) o trabalho realizado pela mola sobre o
bloco quando este se move da posição x  5cm para
sua posição de equilíbrio x2  0
e (b) a velocidade
do bloco em x2  0 .
1
1
Teorema do Trabalho-Energia Cinética com
uma Força Variável
W 
xf
xi
F ( x) dx  
xf
xi
ma dx
Como
dv
ma dx  m dx.
dt
Pela “regra de cadeia” do cálculo, temos
dv dv dx dv


v,
dt dx dt dx
Teorema do Trabalho-Energia Cinética
com uma Força Variável
Que se transforma em:
dv
ma dx  m v dx  mv dv
dx
Substituindo na integral:
W 
vf
vi
mv dv  m 
vf
vi
v dv
Portanto
mv
2
f
2
i
mv
W

 Ec
2
2
Produto Escalar:
A componente Fs mostrada na figura está relacionada ao ângulo
entre as direções de

F
e de

ds
pela relação
Fs  F cos 
assim o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento
Fs
W  Fs ds  F cos  ds


F
Essa combinação de dois vetores
e o co-seno do ângulo entre eles
é chamada de produto escalar.
F
Produto
Escalar:
 
A  B  AB cos 

Propriedades do Produto Escalar:
Se A e B forem perpendiculares,
Então  A  B  0
Se A e B forem paralelos, Então  A  B  A.B
A  B  B  A  Lei comutativa
( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C )  Lei distributiva
Pode-se utilizar os vetores
ˆ  iˆ 
i
unitários
para
descrever
o
produto escalar em termos das iˆ  ˆj 
coordenadas cartesianas dos dois
vetores:
ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0
 
A  B  ( Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ)  ( Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ)
 
A  B  ( Ax Bx )  ( Ay By )  ( Az Bz )
A componente de um vetor em alguma direção
preestabelecida pode ser expressa pelo produto escalar
entre o vetor e o vetor unitário naquela direção:

A  iˆ  ( Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ)  iˆ  Ax
A diferenciação do produto escalar será feita da
seguinte maneira:


d  
dA   dB
( A  B) 
 B  A
dt
dt
dt
Exemplo 5

s  2miˆ  5mˆj
A uma partícula é imposto um deslocamento
ao longo de uma linha reta. Durante esse deslocamento, uma
força constante F  3Niˆ  4 Nˆj atua sobre a partícula.
Determine
(a) o trabalho realizado pela força
(b) a componente da força na direção do deslocamento.
S
Fs  F .
S
Exemplo 6
6.1
6.2
Potência
(Potência média)
Pméd
W

t
dW
P
dt
(Potência instantânea)
A potência desenvolvida pela força aplicada à carga pela
picape é igual à taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a
carga.
dW F cos  dx
 dx 
P

 F cos     F v cos 
dt
dt
 dt 
 
P  F v
(Potência instantânea)
Unidade de potência
1 watt = 1 W = 1 J/s =0,738 ft.lb/s
1 horsepower = 1 HP = 550 ft. lb/s = 746 W.
1 cavalo-vapor = 1cv=736w
Unidade de Energia
1 quilowatt-hora = 1kW . 1h = (1000W) (3600 s)
= 3,60 x 106J = 3,60 MJ
Exemplo 7
Um pequeno motor é utilizado para operar um
elevador que carrega uma carga de tijolos com peso
de 800N a uma altura de 10m em 20s. Qual é a
potência mínima a ser desenvolvida pelo motor?