Prova com Gabarito ENG FBA CAT

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR
DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 19/06/2016
CANDIDATO: _______________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova sem consulta.
02 – Duração: 2 HORAS
1) Um objeto é solto a partir do repouso de uma altura ℎ acima da superfície e gasta um tempo 𝑡1
para chegar ao solo. Quando esse mesmo objeto é solto, também a partir do repouso, de uma
altura 2 ℎ, ele leva um tempo 𝑡2 para chegar ao solo. Supondo que a resistência do ar possa ser
desprezada nas duas situações, é correto afirmar que:
a) 𝑡2 = 𝑡1 /2.
b) 𝑡2 = 𝑡1 /√2.
c) 𝑡2 = √2 𝑡1 .
d) 𝑡2 = 2 𝑡1 .
Solução: Alternativa (c). Esse movimento é retilíneo e uniforme. Portanto ℎ = (𝑔 𝑡1 2 )/2 e 2 ℎ =
(𝑔 𝑡2 2 )/2 . Então 𝑡1 = √2 ℎ/𝑔 e 𝑡2 = √2 (2ℎ)/𝑔. Assim, 𝑡2 = √2 𝑡1 .
2) Uma partícula de massa M descreve um
movimento circular uniforme de raio R cujo centro
é o ponto O, como mostra a figura ao lado. A
respeito da aceleração dessa partícula é correto
afirmar que ela:
a) tem a direção e o sentido do vetor a;
b) tem a direção e o sentido do vetor b;
c) tem a direção e o sentido do vetor c;
d) tem a direção e o sentido do vetor d;
Solução: Alternativa (a). No movimento circular uniforme a aceleração da partícula é a aceleração centrípeta, q
3) A figura ao lado mostra uma ginasta de 48 kg sobre
uma trave olímpica, cujo comprimento é de 5,0 m.
Supondo que ela esteja a uma distância de 1,0 m de
uma das extremidades da trave e que a aceleração da
gravidade no local seja 9,8 m/s2, a magnitude do
torque devido a seu peso em relação à outra
extremidade da trave é:
a) 4,7 x 102 N.m
b) 7,1 x 102 N.m
c) 1,2 x 103 N.m
d) 1,9 x 103 N.m
https://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Betta_Preziosa.jpg
Solução: Alternativa (d).
𝜏⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗ = 𝑟⃗ × 𝑚𝑔⃗ = 4,0 𝑖̂ × (48 × 9,8)𝑗̂ = 1,9 × 103 𝑘̂ N.m
Portanto a magnitude do torque é 1,9 x 103 N.m
4) Considere o seguinte trecho de uma notícia publicada no dia 11/06/2016 na página da revista
Exame na internet:
Fonte: http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/5-dicas-para-economizar-na-conta-deluz-mesmo-durante-o-frio
A “conta de luz” a que a notícia se refere tem seu valor calculado a partir do consumo de uma
grandeza física medida em quilowatt-hora (kW h). Qual é essa grandeza?
a) Corrente elétrica.
b) Energia.
c) Intensidade luminosa.
d) Potência.
Solução:
Alternativa (b). Quilowatt é uma unidade de potência e hora é uma unidade de tempo. A grandeza
física que resulta do produto potência x tempo é energia. Portanto a “conta de luz” tem seu valor
calculado a partir da energia consumida.
5) Em um reator nuclear em que o elemento moderador é a água pesada, um nêutron com massa
m e velocidade v colide com um dêuteron, inicialmente em repouso, cuja massa é 2 m. Se a
colisão for perfeitamente elástica, é correto afirmar que a velocidade do dêuteron após a colisão
é:
a) v/3
b) v/2
c) 2v/3
d) v
Solução: Alternativa (c).
Em colisões elásticas tanto o momento linear quanto a energia cinética se conservam. Então:
{1
2
𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑣𝑛 ′ + 2 𝑚 𝑣𝑑 ′
𝑚
𝑣2
1
= 𝑚 𝑣𝑛
2
′2
1
+ (2 𝑚) 𝑣𝑑
2
′2
𝑣 = 𝑣𝑛 ′ + 2 𝑣𝑑 ′
→ { 2
2
2
𝑣 = 𝑣𝑛 ′ + 2 𝑣𝑑 ′
A primeira equação pode ser escrita da seguinte forma: 𝑣𝑛 ′ = 𝑣 − 2 𝑣𝑑 ′ . Levando esse
resultado na segunda equação, vem:
2
2
𝑣 2 = (𝑣 − 2 𝑣𝑑 ′ )2 + 2 𝑣𝑑 ′ = 𝑣 2 − 4 𝑣 𝑣𝑑 ′ + 4 𝑣𝑑 ′ + 2 𝑣𝑑 ′
2
4 𝑣 𝑣𝑑 ′ = 6 𝑣𝑑 ′ → 𝑣𝑑 ′ =
2
2
𝑣
3
6) Uma pessoa de 60,0 kg está de pé sobre uma balança que, por sua vez, está sobre o
piso de um elevador. Considerando g = 9,80 m/s2, calcule:
a) a leitura da balança (em newton) quando o elevador sobe com velocidade
constante;
b) a leitura da balança (em newton) quando o elevador sobe com aceleração de
2,50 m/s2.
Solução:
a) Sobre a pessoa atuam duas forças: a força da gravidade 𝑚𝑔⃗ e a força exercida pela
balança 𝐹⃗𝐵 . Quando o elevador sobe com velocidade constante, a aceleração da pessoa é
nula e, portanto, a soma das forças sobre ela também é nula. Assim:
∑ 𝐹⃗ = ⃗0⃗
. 𝐹𝐵 − 𝑚𝑔 = 0
𝐹𝐵 = 60,0 × 9,80 kg m/s2
𝐹𝐵 = 588 N
b) Quando o elevador sobe com aceleração constante, a soma das forças sobre ela é igual
a 𝑚𝑎⃗. Assim:
∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
𝐹𝐵 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎
𝐹𝐵 = 𝑚(𝑔 + 𝑎)
𝐹𝐵 = 60(9,80 + 2,50) kg m/s2
𝐹𝐵 = 738 N
7) A posição de um projétil de massa 𝑚 arremessado com uma velocidade inicial 𝑣⃗𝑜 que faz um
ângulo 𝜃𝑜 com a horizontal é dada pela função
𝑟⃗(𝑡) = 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑡 𝑖̂ + (𝑣𝑜 sen 𝜃𝑜 𝑡 −
1
𝑔 𝑡 2 ) 𝑗̂
2
Nessa expressão, 𝑖̂ e 𝑗̂ são os vetores unitários nas direções 𝑥 e 𝑦, respectivamente. A partir
dessa expressão, calcule:
a) o vetor velocidade 𝑣⃗(𝑡);
b) o vetor momento angular 𝑙⃗(𝑡).
Solução:
a) 𝑣⃗(𝑡) =
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
= 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑖̂ + (𝑣𝑜 sen 𝜃𝑜 − 𝑔 𝑡)𝑗̂
b) 𝑙⃗ = 𝑟⃗ × 𝑝⃗ = 𝑟⃗ × (𝑚𝑣⃗) = 𝑚(𝑟⃗ × 𝑣⃗) = 𝑚(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂) × (𝑣𝑥 𝑖̂ + 𝑣𝑦 𝑗̂) = (𝑥 𝑣𝑦 − 𝑦 𝑣𝑥 )𝑘̂
1
𝑙⃗ = 𝑚[𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑡 (𝑣𝑜 sen 𝜃𝑜 − 𝑔 𝑡) − ( 𝑣𝑜 sen 𝜃𝑜 𝑡 − 2 𝑔 𝑡 2 ) 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 ] 𝑘̂
1
𝑙⃗ = 𝑚[𝑣𝑜 2 cos 𝜃𝑜 sen 𝜃𝑜 𝑡 − 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑔 𝑡 2 − 𝑣𝑜 2 cos 𝜃𝑜 sen 𝜃𝑜 𝑡 + 2 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑔 𝑡 2 ] 𝑘̂
1
1
𝑙⃗ = 𝑚[− 2 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑔 𝑡 2 ] 𝑘̂ = − 2 𝑚 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑜 𝑔 𝑡 2 𝑘̂
8) Um objeto de 3,2 g é arremessado no instante t1 com uma velocidade inicial de
90 m/s e
está sujeito à ação de forças dissipativas, de modo que sua velocidade no instante t2 é de 80
m/s. Calcule o trabalho realizado pela força resultante sobre esse objeto entre os instantes t1 e
t2.
Solução:
De acordo com o teorema do trabalho-energia, o trabalho W realizado pela força resultante sobre
uma partícula é igual à variação de sua energia cinética K. Assim,
𝑊 = ∆𝐾 = 𝐾2 − 𝐾1
𝑊=
1
𝑊=
1
1
𝑚𝑣2 2 − 2 𝑚𝑣1 2
2
2
1
(3,2 × 10−3 )(80)2 − 2 (3,2 × 10−3 )(90)2 kg m/s
𝑊 = − 2,7 J
9) Uma partícula de 2,0 kg viaja ao longo de um trilho retilíneo horizontal com uma velocidade
constante de 5,0 m/s. No intervalo de tempo compreendido entre 2 s e 10 s atua sobre ela uma
força horizontal paralela ao trilho cuja variação em função do tempo é mostrada na figura abaixo.
Calcule a magnitude do impulso devido a essa força.
Solução:
10
O impulso 𝐽⃗ é dado por 𝐽⃗ = ∫2 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑡 . A magnitude do impulso 𝐽 é igual à área sob a curva mostrada
no gráfico, que é a área do trapézio cujas dimensões são:
base maior: 𝐵 = (10 − 2) s;
base menor: 𝑏 = (8 − 6) s;
altura: ℎ = (8 − 0) N.
𝐵+𝑏
8+2
Assim, 𝐽 = ( 2 ) ℎ = ( 2 ) 8 = 40 N.s
10) A figura ao lado mostra um bloco de 0,50 kg preso
a uma corda C, que está conectada às cordas A
e B. A corda A faz um ângulo de 45º com a
horizontal, enquanto que a corda B faz um ângulo
de 30º com a horizontal. Supondo que as cordas
sejam inextensíveis e que sua massa possa ser
desprezada, calcule a magnitude da tração na
corda B. Considere que o sistema esteja em
repouso e que a aceleração da gravidade seja
9,8 m/s2.
Dados: sen 30º = 0,500; cos 30º = 0,866
sen 45º = 0,707; cos 45º = 0,707
A
B
C
Solução:
Como o nó que une as três cordas está em repouso, a soma das forças nesse ponto é
nula:
⃗⃗
⃗⃗𝐴 + 𝑇
⃗⃗𝐵 + 𝑇
⃗⃗𝐶 = 0
𝑇
𝑇𝐵𝑥 − 𝑇𝐴𝑥 = 0
{𝑇 + 𝑇 = 𝑇
𝐴𝑦
𝐵𝑦
𝐶
𝑇 cos 30𝑜 − 𝑇𝐴 cos 45𝑜 = 0
{ 𝐵
𝑇𝐴 sen 45𝑜 + 𝑇𝐵 sen 30𝑜 = 𝑚𝑔
0,866 𝑇𝐵 − 0,707 𝑇𝐴 = 0
(1)
{
0,707 𝑇𝐴 + 0,500 𝑇𝐵 = 0,50 × 9,8 (2)
0,866
A equação (1) implica que 𝑇𝐴 =
𝑇𝐵
0,707
Levando esse resultado na equação (2), vem:
0,866
0,707
𝑇𝐵 + 0,500 𝑇𝐵 = 4,9
0,707
𝑇𝐵 = 3,6 N
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1 e 2
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 19/06/2016
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
5.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos.
Questão 1 (10 pontos).
Avalie:
√
3x + 1 − 2
lim
x→1
x2 − 1
a) +∞
b)
1
4
c)
3
8
d)
√
3 2
4
Resposta: c)
Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, apliquemos a Regra de L’Hospital.
3
3
√
= .
x→1 4x 3x + 1
8
lim
Questão 2 (10 pontos).
a)
1
√
3(arcsen (x))2/3 1−x2
√
b)
dy
.
dx
√
− 1+x2
3(arcsen (x))2/3
Considere a equação x = sen (y3 ), encontre
1−x2
3(arcsen (x))2/3
c)
1
√
3(arcsen (x))3/2 1+x2
Resposta: a)
Caculando a derivada implı́cita obtemos,
y′ =
3y2
1
cos(y3 )
Substituindo, temos:
y′ =
1
√
.
3(arcsen (x))2/3 1 − x2
d)
Questão 3 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno
do eixo y da região x2 ≤ y ≤ 2 com x ≥ 0.
a)
4π
3
b) 2π
c) 3π
d)
3π
2
Resposta: b)
O volume é dado pela integral
∫2
∫2
2
V=
πx dy = π
0
Questão 4 (10 pontos).
ydy = 2π.
0
Considere a sequência
an =
1
.
(n − 2)4
∑
1
π4
Sabendo que ∞
n=1 n4 = 90 é correto afirmar que:
∑
∑
∑
(π−2)4
a) ∞
b) ∞
c) ∞
n=5 an diverge
n=5 an =
n=5 an =
90
π4
90
−
17
16
d)
∑∞
n=5
an >
π4
90
Resposta: c)
A série é convergente, pois é série do tipo p com p = 4. Fazendo a mudança n − 2 = k
obtemos
∞
∞
∞
∑
∑
∑
1
1
1
1
π4 17
=
=
−
1
−
=
−
(n − 2)4
k4
k4
16
90 16
n=5
k=3
k=1
Questão 5 (10 pontos).
Calcule
∫π
4
sen (x)ex dx
−π
a) 2eπ
4
b) 0
4
4
c) eπ − e−π
4
d)
eπ −e−π
π
4
Resposta: b)
Basta notar que temos uma função ı́mpar integrada num intervalo simétrico.
Questão 6 (10 pontos).
Avalie
∫
dx
√
x2 1 + x2
2
Resposta:
Calculando temos
∫
Questão 7 (10 pontos).
Avalie
√
dx
− 1 + x2
√
=
+C
x
x2 1 + x2
onde C é uma constante arbitrária.
lim
(x,y)→(0,0)
√
x
x2
+ y2
Resposta:
Pelo caminho (t, 0) temos
t
|t|
o qual não existe. Portanto, o limite acima não existe.
lim
t→0
Questão 8 (10 pontos).
Determine e classifique os pontos crı́ticos da função
f(x, y) = x3 y + 12x2 − 8y
Resposta:
Como a função está definida no plano os pontos crı́ticos são dados pelas raı́zes da equação
∇f(x, y) = (3x2 y + 24x, x3 − 8) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (2, −4)
Calculando a matriz Hessiana neste ponto temos,
[
]
−48 12
H=
12 0
Cujo determinante é negativo, logo o único ponto crı́tico é (2, −4) que é ponto de sela.
Questão 9 (10 pontos).
Resposta:
Temos que Calcular
Encontre uma primitiva da função f(x) = (ln(x))2 .
∫
(ln(x))2 dx
integrando por partes temos
∫
∫
2
2
(ln(x)) dx = x (ln(x)) − 2 ln(x)dx = x (ln(x))2 − 2x ln(x) + 2x + C.
3
Questão 10 (10 pontos).
Qual o valor de
∫ π/4
tan(x) sec3 (x)dx.
0
Resposta:
Resolvendo a integral indefinida obtemos,
∫
sec3 (x)
tan(x) sec3 (x)dx =
+ C.
3
logo,
∫ π/4
tan(x) sec3 (x)dx =
0
4
23/2 − 1
.
3