LISTA DE EXERCÍCIOS - INTEGRAIS - Cálculo Diferencial e Integral

DISCIPLINA: Cálculo I.
CURSO:
PROFESSOR:
DATA:
NOME:
TURMA:
L ISTA
DE
/
/
E XERCÍCIOS - I NTEGRAIS
(Atualizada em 18 de julho de 2012)
"Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável para
aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal
e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer."
Einstein
Resumo: Cálculo Diferencial e Integral
Definição
Sejam y = f (x ) uma função e c ∈ R. Denomina-se INTEGRAL da função f (x ), a função primitiva
F (x ) + c , pois (F (x ) + c )′ = f (x ).
Propriedades
Z
1. d
f (x ) dx = f (x ) dx;
df (x ) dx = f (x ) + C ;
2.
Z
3.
Z
4.
Z
k · f (x ) dx = k ·
Z
5.
Z
f (x ) dx, k ∈ C;
Z
[f (x ) + g (x )] dx =
‹′
f (x ) dx
= f (x ).
Z
f (x ) dx +
g (x ) dx;
Integrais imediatas
Z
1.
Z
2.
Z
3.
Z
4.
Z
x n+1
x n dx =
+ C , n ∈ R \ {−1};
n+1
1
dx = ln |x | + C ;
x
12.
Z
Z
6.
Z
7.
Z
8.
Z
9.
Z
sen(x ) dx = − cos(x ) + C ;
Z
cos(x ) dx = sen(x ) + C ;
15.
tg(x ) dx = ln | sec(x )| + C ;
16.
cotg(x ) dx = ln | sen(x )| + C ;
17.
sec(x ) dx = ln | tg(x ) + sec(x )| + C ;
18.
Z
Z
Z
Z
cossec(x ) dx = ln | cotg(x ) − cossec(x )| + C ; 19.
sec2 x dx = tg(x ) + C ;
20.
cossec2 (x ) dx = − cotg(x ) + C ;
21.
Z
11.
sec(x ) · tg(x ) dx = sec(x ) + C ;
22.
ax
+ C , a ∈ R∗+ \ {1};
ln a
e x dx = e x + C ;
14.
Z
10.
ax dx =
13.
Z
5.
cossec(x ) · cotg(x ) dx = − cossec(x ) + C ;
Z
Z
Z
dx
√
= arcsen x + C ;
1 − x2
dx
a 1
√
x + C;
= arcsen
a
b
b 2 − a2 x 2
dx
= arctg(x ) + C ;
1 + x2
1
dx
a =
arctg
x + C;
b 2 + a2 x 2
ab
b
ax ± b 1
dx
+ C;
=
ln
a2 x 2 ± b 2
2ab ax ∓ b p
dx
1 √
= ln ax + a2 x 2 ± b 2 + C ;
2
2
2
a
a x ±b
ln x dx = x (ln |x | − 1) + C .
1
dx
x
√
= arcsec
+ C.
a
a
x x 2 − a2
Métodos de integração
Z
Por substituição
Z
f (g (x ))g ′ (x ) · dx =
Z
Por partes:
f (u ) · du . ;
Z
u · dv = u · v −
v · du .
Identidades trigonométricas importantes
1. sen2 (x ) =
1 − cos(2x )
;
2
2. cos2 (x ) =
1 + cos(2x )
;
2
3. sen(x ) · cos(x ) =
1
sen 2x ;
2
4. sen(x ) · cos(y ) =
1
[sen(x − y ) + sen(x + y )];
2
5. sen(x ) · sen(y ) =
1
[cos(x − y ) − cos(x + y )];
2
6. cos(x ) · cos(y ) =
1
[cos(x − y ) + cos(x + y )].
2
Integrais Indefinidas
1. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.
L ISTA DE E XERCÍCIOS C ALC 1 #
C ÁLCULO D IFERENCIAL E I NTEGRAL I
2
Z
Z
y 3 (2y 2 − 3)dy
(a)
Z 
(b)
Z
Z
‹
2
3
+ 3 + 5 dx
2
x
x
dx
sen2 (x )
(e)
Z
2 cotg2 (θ) − 3 tg2 (θ)d θ
(c)
ax 4 + bx 3 + 3cdx
(d)
cos(θ) tg(θ)d θ.
(f)
2. Calcule as seguintes integrais:
Z
Z
2x 7 dx
(a)
Z
(b)
Z
(c)
Z
(d)
Z
dx
x3
Z
(3x 4 − 5x 3 + 4) dx
Z
(g)
sen(x )
dx
cos2 (x )
(j)
Z
√
6t 2 3 t dt
(k)
x 4 (5 − x 2 ) dx
(l)
Z 
(f)
(5 cos(x ) − 4 sen(x )) dx
(i)
Z
(e)
y 4 + 2y 2 − 1
dy
√
y
(h)
(4 cossec(x ) · cotg(x ) + 2 sec2 (x )) dx
Z
sec2 (x )[cos3 (x ) + 1] dx
‹
Z
√
1
x−√
dx
x

‹
2
3
+
+
5
dx
x3
x2
(m)
Z
(n)
(3 cossec2 (t ) − 5 sec(t ) · tg(t )) dt
dx
; a 6= 0.
(ax )2 + a2
3. Determinar a função f (x ), tal que
Z
f (x ) dx = x 3 +
Z
f (x )dx = x 2 +
4. Determinar a função f (x ) tal que
1
· cos(2x ) + C .
3
1
cos(2x ) + c .
2
1 ′
f (x ) − e 2x = 0 e f (0) = 1.
2
6. Utilizando o método da substituição, calcule as seguintes integrais:
5. Encontrar uma função f (x ) tal que
Z
(a)
Z
√
5
Z
x
x2
−1
dx
(h)
Z
2
(b)
sen (x ) cos(x ) dx
(i)
tg(x ) sec2 (x ) dx
(j)
Z
(c)
Z
(tg(2x ) + cotg(2x ))2 dx
Z
3
6x sen(x ) dx
(k)
x 2 (x 3 − 1)10 dx
(l)
Z
(e)
Z
(x + sec2 (3x )) dx
(f)
Z
(g)
arcsen(y )
p
dy
2 1 − y2
Z
(m)
Z
(n)
6x 2 sen(x 3 )dx
Z r
1+
(p)
Z
(q)
Z
(e
Z
Z
(o)
Z
2
(d)
x 2 + 2x
√
dx
x 3 + 3x 2 + 1
1
t cos(4t 2 ) dt
2
2x
5 2x
+ 2) e
dx
(r)
Z
sen(θ)d θ
[5 − cos(θ)]3
(s)
1 − 4ydy
(t)
x 2 (x 3 − 1)10 dx
(u)
p
Z
1 dx
3x x 2
(x 3 − 2)1/7 x 2 dx
p
x 2 + 2x 4 dx
e 1/x + 2
dx
x2
2
xe 3x dx
Z
cos(x )
dx
3 − sen(x )
Integrais Definidas
7. Determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores de ξi
dados.
§
ª
1 5 9
1
3
5
(a) f (x ) = x 2 , 0 ≤ x ≤ 3; para P = 0, , , , 3 e ξ1 = , ξ2 = 1, ξ3 = , ξ4 = .
2 4 4
2
2
2
L ISTA DE E XERCÍCIOS C ALC 1 #
C ÁLCULO D IFERENCIAL E I NTEGRAL I
3
§
(b) f (x ) =
ª
1
5 9 8
5
5
11
, 1 ≤ x ≤ 3; para P = 1, , , , 3 ; e ξ1 = , ξ2 = 2, ξ3 = , ξ4 =
.
x
3 4 3
4
2
4
(c) f (x ) = x 2 − x + 1, 0 ≤ x ≤ 1; para f1 = 0, 1, ξ2 = 0, 4, ξ3 = 0, 6, ξ4 = 0, 9.
8. Calcule as integrais definidas:
Z 5
Z 2
3 dx
(a)
2
Z 2
6 dx
(b)
(d)
Z 4
√
5 dx
(c)
−2
Z −2
(e)
Z
π
2
1
Z 1
cos(x )
dx
[1 + sen(x )]3
0
5
−1
(g)
1
(f)
2 dx
Z 5
√
√
( 2t + 3 t )dt
(h)
Z 2
Z 2
sen(x ) dx = 2,
0
Z 2
Z π
cos(x )dx = 0,
0
−1
0
(2x 2 − 4x + 5)dx
(a)
−1
Z 2 (b)
(c)
x 2 dx = 3,
Z π
−1
Z −1
2 − 5x +
x2
2
Z −2
−1
Z π
dx
−1
dx
Z 2
dx =
−1
(x − 1)(2x + 3)dx
(2 sen(x ) + 3 cos(x ) + 1)dx
(e)
0
Z π
(2x + 1)2 dx
2
x 2 dx = 3,
−1
π
sen2 (x )dx = .
2
(d)
xe x
0
9. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:
Z π
√
2t − 1dt
(f)
(cos(x ) + 4)2 dx
0
2
10. Calcule as seguintes integrais:
Z 3
4dx
(a)
−1
Z 2
(h)
0
Z 3
(i)
(x 3 + 3x − 1)dx
(b)
(c)
(3x 2 − 4x + 1)dx
0
Z 6
(d)
3
Z 5
(x 2 − 2x )dx
(e)
Z
(f)
−2
π
8
0
Z 2
(g)
1
|x − 3|dx
Z −1 
−2
Z 1
Z 1
‹
dx
e 2x dx
−1
Z 4
(5x +
(j)
1
Z 1
π
4
(l)
1
√
x x + 1dx
(o)
−1
Z 1
x )dx
(p)
0
Z 1
sec2 xdx
(r)
0
Z 1
0
Z
0
Z 2
(m)
0
Z 0
(q)
0
Z
√
√
3
5 − x dx
(n)
1
dx
x +1
(k)
sen(2x )dx
1
dx
x2
1
+x
x2
5
(x − 2) dx
(s)
π
3
1
dx
(x + 1)5
x2
dx
1 + x3
x2
dx
(1 + x 3 )2
cos(2x )dx
0
11. Calcule a área S da figura plana limitada pela(s):
(a) reta y = 2x − 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5
(b) curva 10 + x − x 2 , pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 3;
(c) curvas y = x 3 − 6x 2 + 8x e y = x 2 − 4x ;
(d) curvas y = 2 − x 2 e y 3 = x 2 ;
(e) curvas y = x 2 − 6x + 9 e y = −x 2 + 9;
(f) curva y = log(x + 1) e a reta x = 9;
(g) curva y = x 3 e a primeira bissetriz.
3
3
(h) curvas y = 3x − x 2 e g (x ) = 3 − x .
4
4
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C ÁLCULO D IFERENCIAL E I NTEGRAL I
4
3
,
2
(i) curvas y = e −2x , y = x + 1, y = 0 e x = 1.
12. Encontre a área da região hachurada em cada caso.
2
(b) f (x ) = x 3 e g (x ) = 4x .
(a) f (x ) = e g (x ) = −x 2 + 2x + 1;
x
y
y
3
2
1
x
0
0
1
2
3
x
(c) f (x ) = 2x − 1 e g (x ) = −x ;
y
1
x
−1
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5
Gabarito
x5
1
x4
9 10
x7
2 √
3
x8
√
1
+ C ; (b) − 2 + C ; (c) 3 5 − 5
+ 4x + C ; (d) t 3 + C ; (e) x 5 −
+ C ; (f) x x − 2 x + C ; (g) − 2 − + 5x + C ; (h)
4
2x
4
5
7
3
x
x
2
4
√
( y 4 + y 2 −2) y + C ; (i) 5 sen(x )+4 cos(x )+ C ; (j) sec(x )+ C ; (k) −4 cossec(x )+2 tg(x )+ C ; (l) sen(x )+tg(x )+ C ; (m) −3 cotg(t )−5 sec(t )+ C ;
9
5
5
sen3 (x )
tg2 (x )
1
(n) 2 · arctg(x ) + C . 3. f (x ) = − sen(2x ) + 2x . 4. 5. 6. (a) (x 2 − 1)4/5 + C ; (b)
+ C ; (c)
+ C ; (d) −2 cos3 (x ) + C ;
a
8
3
2
√
(x 3 − 1)11
1
1
2
1
1
(e)
x 3 + 3x 2 + 1 + C ; (i)
33 + C ; (f) tg(3x ) + C ; (g) arcsen(y 2 ) + C ; (h)
sen(4t 2 ) + C ; (j) (tg(2x ) − cotg(2x ) + C ; (k)
.
3
4
3
16
2
√
−1
247
1469
3
1 2x
5;
(d)
−14.
9.
(a) 15; (b) 0; (c) −21; (d) − ;
(e + 2)6 + C ; (l)
+
C
.
7.
(a)
;
(b)
;
(c)
0,
835.
8.
(a)
9;
(b)
18;
(c)
4
12
2(5 − cos(θ))2
32
1320 √
2
33π
29
2− 2
1
1 2
253
1
45
−2
(e) 4 + π; (f)
. 10. (a) 16; (b) 8; (c) 12; (d) 36; (e)
; (f)
; (g) , (h) −1; (i) (e − e ); (j)
; (k) ln(2); (l) 1; (m) − ; (n)
;
2
2
4
2
2
6
6
4
√
15
1
1
3
4
(o) − ; (p)
; (q) ln(2); (r) ; (s)
. 11. 12.
15
64
3
6
4
1. 2. (a)
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6