FIS-26 — Lista-01 — Fevereiro/2013

FIS-26 — Lista-01 — Fevereiro/2013
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Exercı́cios de revisão de Matemática.
1. Considere {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto de matrizes coluna de ordem n e seja M = [v1 v2 . . .
a matriz n × n cujas colunas são dadas justamente pelas matrizes v1 , v2 , . . . , vn . Mostre que:
vn ]
(a) [λ1 v1 λ2 v2 . . . λn vn ] = M D, onde D = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) é a matriz diagonal cujos
elementos são λ1 , λ2 , . . . , λn (nesta ordem).
(b) AM = [Av1
Av2
Avn ], onde A é uma matriz n × n.
...
2. Achar os valores e vetores próprios do operador T do R2 dado por:
(a) T (x, y) = (x + y, x − y);
(b) T (x, y) = (−x, −y);
(c) T (1, 0) = (0, −1) e T (0, 1) = (1, 0).
3. Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R3 dado por:
(a) T (1, 0, 0) = (2, 00), T (0, 1, 0) = (2, 1, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 2, 1);
(b) T (1, 0, 0) = (0, 0, 0), T (0, 10) = (0, 0, 0) e T (0, 0, 1) = (5, −1, 2).
4. Determine os valores e vetores próprios do operador T do R4 cuja mariz em relação à base canônica
é:

3
 0

 0
0
1
3
0
0
0
0
4
0

0
0 

0 
3
5. Determinar o polinômio caracterı́stico e os valores próprios do operadore linear T : V → V que é
definido em uma base {e1 , . . . en } por T (ei ) = λ1 e1 (λi ∈ R).
6. Calcular os polinômios caracterı́sticos e os valores próprios das seguintes matriz:
2 0
1 1
−1 −1
2 1
−1 −3
,
,
,
.
−3
1
0 1
−1
1
1 1
7. Seja
a matriz de um operador do R2 . Ache os valores próprios desse operador. Existem,
0 1
neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
8. Determinar, se possı́vel, uma matriz M ∈ M2 (R) de maneira que M −1 AM seja diagonal nos seguintes
casos:
2 4
(a)
3 13
3 −2
(b)
2
1
1
9. Seja A ∈ L(R3 ) o operador linear cuja mariz relativa à base canônica é:


2
2 0
(aij ) =  2 −1 0 
0
0 2
(a) Achar os valores próprios de A.
(b) Achar uma base ortonormal do R3 em relação à qual a matriz de A é diagonal.
(c) Achar uma matriz M ortogonal tal que M T (aij )M é a matriz diagonal obtida no item anterior.
10. Considerando a série de Taylor das funções ex , sin(x) e cos(x), mostre que eiθ = cos θ + i sin θ. Desta
forma, mostre que dado um número complexo z = a + bi (cujo argumento é θ), prove que se pode
escrever z = |z|eiθ e z ∗ = |z|e−iθ .
11. Dado o número complexo 1 + 2i, obtenha seu módulo e seu argumento (principal).
12. Usando números complexos, pode-se escrever A1 cos(x + α) + A2 cos(x + β) como A cos(x + φ), sendo
A1 , A2 , A, x, α, β e φ números reais. Veja que
A1 cos(x + α) + A2 cos(x + β) = Re[A1 ei(x+α) + A2 ei(x+α) ] = Re[eix (A1 eiα + A2 eiβ )] = A cos(x + φ),
bastando que se tome Aeiφ = A1 eiα + A2 eiβ . Aplique este processo para simplificar as somas (escrevendo tudo num “cosseno somente”):
(a) cos(x + 120◦ ) + cos(x + 30◦ )
(b) cos(x + 120◦ ) + 2 cos(x + 30◦ )
(c) sin(x) + 5 cos(x)
Tente desenvolver o mesmo processo para o caso de “senos”.
2
Respostas
1.
2. (a)
√
√
√
√
2 e (1, 2 − 1); − 2 e (−1, 2 + 1).
(b) −1 e qualquer vetor não nulo.
(c) Não há valores próprios reais.
3. (a) 2 e (1, 0, 0), 3 e (5, 1, 1); −1 e (1, 3, −3).
(b) 0 duplo e (1, 00) e (0, 1, 0); 2 e (0, 0, 1).
4. 3 triplo e (1, 0, 0, 0) e (0, 0, 0, 1); 4 e (0, 0, 1, 0).
5. pT (t) = (λ1 − t)(λ2 − t) . . . (λn − t). Os valores prórpios de T são λ1 , λ2 , . . . λn .
√
6. (a) t2 − 3t + 1; 21 (3 ± 5).
(b) t2 − 4; ±2.
(c) t2 − 3t + 2; 1 e 2.
(d) t2 − 4; ±2.
7. 1 duplo; não há.
1 −4
8. (a)
3
1
(b) Não existe.
9. (a) −2, 2, 3.
(b) {( √15 ; − √25 ; 0), (0; 0; 1), ( √15 ; √25 ; 0)}


√1
0 √15
5
(c)  − √25 0 √25 
0 1 0
10.
√
5 e 63.435◦
√
12. (a) 2 cos(x + 75◦ )
√
(b) 5 cos(x + 56,565◦ )
√
(c) 26 cos(x − 11,31◦ )
11.
3