Trigonometria

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ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Álgebra
Trigonometria
8. Na figura abaixo, calcule x e y.
1. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 20cm, e o outro é igual a
3
4
45º
do primeiro. Calcule a medida da hipotenusa.
2. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 6m e a sua projeção sobre a
hipotenusa é igual a 3,6m. Calcule a medida da hipotenusa.
3. Dado o triângulo da figura abaixo,
calcule os valores de m e n. C
y
60º x
9
9. Calcule a área do triângulo da figura
abaixo:
30º 45º
5
b=5
A
a=4
n
c=6
m
10. Calcule o valor de x, indicado na figura abaixo.
B
H
4. O triângulo ABC da figura abaixo é
retângulo em B e BD ⊥ AC . Sabendo que
r = 4cm e x = 2cm, calcule h, y e s.
x
B
s
r
30 0
60 0
h
100
A
y
x
11. Determine o valor de AB , indicado
na figura abaixo.
C
D
5. A hipotenusa de um triângulo mede
A
5
. Calcule
26m e a razão dos catetos é
12
a medida da projeção do menor cateto
sobre a hipotenusa.
6. Dado o triângulo ABC da figura abaixo, calcule a medida da projeção de a
B
sobre b.
a = 150cm
a
b = 100cm
c
c = 80cm
C
b
30 0
50
60 0
B
12. Dado o triângulo retângulo ABC,
calcule senα e cosα
A
C
7. O piloto de um avião começou a acionar o sistema de travagem à altura de
800m da pista. Sabendo que a direção da
linha de rumo do avião, na descida para
a pista, faz um ângulo de 30º com o solo,
calcule a distância d percorrida pelo avião desde o início da travagem até chegar
ao solo.
α
3
B
1
4
A
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23. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um dos catetos medindo, respectivamente, 2 3cm e 3cm. Calcule a medida
do ângulo oposto ao cateto dado.
24. Calcule o valor de x na figura abaixo.
13. Calcule o lado AB do triângulo abaixo.
A
3 2
B
45
4
C
30
14. Os lados de um triângulo medem
2 3 , 6 e 3 + 3 . Determine o ângulo
oposto ao lado que mede 6 .
30
x
100
15. Num triângulo de vértices A, B, e C,
BC = a, AC = b, Â = 45º e B̂ = 30º. Sendo a + b = 1 + 2 , calcule a e b.
25. Qual é o valor de x na figura abaixo?
40
16. Determine a medida do ângulo α indicado na figura abaixo.
60
30
x
26. Considerando um triângulo eqüilátero de vértices A, B e C, onde os lados
medem x e a altura mede h, determinar
sen60 0 , cos 60º e tg60º.
27. Com os dados do exercício anterior,
construir uma tabela que forneça o seno,
o coseno e a tangente dos ângulos de 30º,
45º e 60º.
28. Determine os valores de x e y nas figuras abaixo:
α
2
45o
1
17. Num triângulo ABC os ângulos B̂ e
Ĉ são agudos. Se a hipotenusa mede 3cm
e sen Ĉ =
1
sen B̂ , calcule as medidas dos
2
catetos.
18. Calcule o lado de um triângulo eqüilátero de 2cm de altura.
19. Qual o perímetro do quadrado que
tem a diagonal igual a 3 6m ?
a)
4
Y
30
X
20. Calcule o coseno do ângulo α, assinalado na figura abaixo.
b)
x
2
60
3
B
1
y
c)
α
x
21. Uma escada apoiada em uma parede,
num ponto que dista 3m do solo, forma,
com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao "pé" da escada, em metros.
22. Um arame de 18m de comprimento é
esticado do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo-se que o ângulo formado pelo arame com o solo é de 30º, calcule a altura do poste.
5
30
y
29. Obtenha x na figura abaixo.
45
30
2
2
x
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41. Sabendo que uma pessoa dá 4 voltas
em torno de um canteiro circular de 1,5
m de raio, calcule a distância percorrida
pela pessoa.
42. Sabendo que o comprimento de uma
circunferência é de 32πcm, calcule seu
diâmetro.
43. As rodas de um automóvel têm 70cm
de diâmetro. Qual o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel
percorre 9,891km. (π = 3,14)
44. Em cada caso a seguir, são dados o
comprimento l do arco AB e o raio r da
circunferência. Calcule a medida do arco
em radianos.
a) l = 0,5m, r = 0,25m
b) l = 2cm, r = 0,04cm
c) l = 6cm, r = 2cm
d) l = 0,105cm, r = 0,42cm
45. Qual o raio de uma circunferência na
qual o arco de 6 rad mede 2cm?
46. Qual é o comprimento de um arco
que subtende um ângulo central de 45º
numa circunferência de raio r = 10cm.
Adote π = 3,14.
47. Num círculo de raio r = 30cm, um
arco cujo comprimento é 6cm subtende
um ângulo central cuja medida é α. Determine α (em rad).
48. Sabe-se que, em um segundo, um
ponto situado na periferia de uma polia
descreve um arco que subtende um ângulo central de 12πrad. Se o raio dessa polia é 2,5m, qual será a distância percorrida por esse ponto em um segundo?
49. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 8cm. Qual é a distância que sua
extremidade percorre durante 25 minutos?
50. Uma curva, numa linha férrea, deve
ser traçada em círculo. Qual a medida r
do raio deste círculo para que os trilhos
mudem 25º de direção numa distância de
120m?
51. Admitindo ser a Terra uma esfera de
raio r = 6375km, determine a distância
do equador a um ponto situado a uma latitude 30º N.
30. Um observador vê uma torre vertical
de 100m de altura, sob um ângulo de 60º.
Qual a distância aproximada que o separa dessa torre?
31. Obter o valor de x na figura abaixo.
x
45
30
100
32. O piloto de um avião localiza, por
meio de seu radar, um objeto na Terra
que forma 30º com a horizontal. Passados 2,5 segundos, o aviador nota que este ângulo passa a ter 45º. Determinar a
que altura (constante) está o avião, sabendo que sua velocidade (constante) é
de 1440km/h (400m/s).
33. Sendo α a medida de um ângulo agudo e senα =
1
, calcular cosα e tgα.
3
34. Se tgα = 2, calcular senα e cosα.
35. Sendo α a medida de um ângulo agudo e cosα =
1
, calcule senα e tgα.
4
36. Sendo α a medida de um ângulo agudo e tgα = 3, calcule senα e cosα.
37. Sabendo que senα + cosα =
calcule senα.cosα.
38. Expresse em rad:
a) 60º
b) 210º
d) 150º
e)12º
g) 45º
h)120º
j) 315º
k) 330º
39. Expresse em graus:
10π
rad
3
π
d)
rad
20
π
g) rad
8
4π
j)
rad
6
3π
m)
rad
4
a)
11π
rad
2
4π
e)
rad
3
5π
rad
h)
3
π
k)
rad
12
b)
5
,
4
c) 450º
f) 2º
i) 15º
l) 310º
π
rad
9
3π
f)
rad
5
7π
rad
i)
6
7π
l)
rad
8
c)
40. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 30cm. (π = 3,14)
3
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60. Verifique se são côngruos os seguintes pares de arcos:
a) 1490 0 e -1030 0
52. Considere um hexágono regular inscrito numa circunferência. Determine em
radianos a medida
B
C
19π
26π
rad e rad
9
9
14π
19π
rad e
rad
c)
3
3
b)
O
D
A
61. Determine os arcos positivos:
a) menores que 900º e côngruos a
2140º
F
E
a) do menor arco AB
b) do maior arco BF
c) do arco AD
b) menores que 4π e côngruos a
53. Determine o menor ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio quando este marca 12h15min.
54. Determine o menor ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio quando este marcar 15h25min.
55. Qual é o menor ângulo formado pelos
ponteiros de um relógio às 9 horas e 10
minutos?
56. Determine o maior ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio às:
a) 14h45min
b) 18h40min
rad
62. Em qual quadrante está a extremidade do arco de:
a) 1750º
17π
8
21π
h)
4
g)
f)
e)
4π
3
a)
8π
7
t)
f) 90º e 2700º
g) 450º e 225º
π
4π
h)
e
3
3
g)
17 π
rad
3
7π
rad
5
13π
6
u)
11π
4
v)
7π
2
66. Determine o valor de B na expressão
dada por B =
59. Calcule a 1 a determinação positiva e
escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:
b) 930º
a) 1550º
c) -2165º
d) -3190º
e)
137π
rad é:
5
π
c) rad
5
- cos
e) 3300º
23π
e)
rad
4
29 π
rad
h) −
8
b) 3π rad
c) -3010º
π
π
− sen
6
6
65. Calcule o número A =
π
π
sen − cos
6
6
b)
c) 1200º
19π
rad
3
64. Determine o valor do seno e do coseno dos seguintes arcos:
a) 135º
b) 120º
c) 330º
d) 300º
e) 240º
f) 225º
g)-120º
h) -150º
i) -240º
j) -330º
k) -225º l) -45º
m) -30º
n) -90º
o) 750º
p)1125º
q) 450º
r) 4080º s) 7π
2π
5
3π
d)
4
π
3
2π
rad
5
d ) 2π rad
58. Expresse todos os arcos que têm extremidades coincidentes em:
a)
b)
63. Um arco côngruo de
57. Determine a que quadrante pertencem os arcos:
c) 1340º
b) 440º
a) 1300º
d) 2410º
56π
6
f)
(
cos1080 o + sen − 315 o
o
sen 405 − cos 11π
).
67. Determine o valor de:
sen 1260º, cos 1260º e tg 1260º.
68. Determine: sen
15π
rad
2
17 π
17 π
17 π
, cos
e tg
4
4
4
69. Determine o valor de:
sen(-1380º), cos(-1380º) e tg(-1380º).
4
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85. Determine K, de modo que se verifi-
π
π
+ cos
4
3
π
cos π. cos
3
cos8π − cos
70. Calcule:
86. Determine os valores reais que m pode assumir para que exista um número
real x que satisfaça as igualdades:
a) cosx = 1 - 6m
71. Calcule o valor da cotg45º, sec45º e
cosec45º.
72. Calcule o valor de:
cotg
π
π
π
, sec e cosec .
3
3
3
b) cosx = 2m + 5
73. Determine: cotg990º, sec990º
cosec990º.
74. Calcule o valor de cotg(-1740º).
75. Qual o valor de sec
c) cosx + 2m = 5
e
87. Determine K, de modo que se verifi4K + 1
.
2
que a igualdade cosx =
13π
13π
e cosec
.
6
6
88. Para que valores de m as equações a
seguir têm conjunto-solução não-vazio?
76. Se x = 180º, calcule o valor de:
a) cosx = -2 + 6m c) cos2x =
x
5 cosec − 2 senx
2
y=
x
5 sen
2
x
x
77. Calcule cos2x + cos + cos
, sa5
15
5π
bendo que x =
.
2
b) cosx = 2m - 6
d) cos


x 4m − 10
=
2
3
π
8
90. Determine o período das funções:
π
π
π π
+ cos + sen  −  − cos 2π
4
4
2 4
x
5
a) y = sen8x
c) y = sen
b) y = sen10x
d) y = sen5  4x + 


79. Calcule A, sendo:
A = sen3x + cos4x - tg2x, para x =
2m + 3
2
89. O período de y = sen  2 x +  é:
78. Determine o valor de expressão:
sen
2K - 1
.
3
que a igualdade senx =
π
6
91. Determine o período das funções:
a) y = cos6x
c) y = 1 + cos3x
π
.
2
80. Determine o valor da expressão:
b) y = cos
 9π 
 5π 
y = cos  −  - 3tg3π + sen  − 
 2 
 2 
4x
7
x
4
π
7
d) y = 5cos  + 
92. Determine o período de cada uma das
funções:
81. Determine o período da função:


π
4
π
π
82. Se x, y∈ R, x + y = e x - y = ,
2
6
senx + seny
calcule o valor de t =
.
cosx − cosy
f(x) = tg  x − 
x
2
d) y=1+cos3x
π
b) f(x) = cos  x + 
e) y = 2 + cosx
2

c) f(x) = - cos
83. Que valores m pode assumir, para
que exista o arco x satisfazendo a igualdade senx = m - 4?
84. Determine os valores reais de m para
que exista um número real x que satisfaça as igualdades:
a) sen x = 7m - 20 b) sen x = 3m +4


a) y = 2 + cos  + π 
x
2


π
2
f) y = cos  3x + 
93. Determine o período das funções :



c) y = tg  5x +

π
5
π

3
a) y = tg  3x − 
b) y = tg4x
d) y = tg
x
3
c) sen x + 2m = 9
5
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94. Determine o domínio de cada uma
das funções:
a) y = cotg(3x)
101. Demonstre as seguintes identidades
trigonométricas:
a) senx.cosecx=1 b) cosx.tgx=senx
c) tgx + cotgx = tgx .cosec²x
d) (1 + tg²x)(1 - sen²x) = 1
e) 1 + tg²x = tg²x . cosec²x
x
2
π

c) y = -3 cosec  2x + 
2

x π
d) y = cotg  + 
2 4
b) y = 2 sec  
f)
g) tg²x + cos²x = sec²x - sen²x
102. Expresse senx em função de cotgx.
103. Expresse cosx em função de cotgx.
95. Determine o domínio de cada uma
das funções:
104. Se cos²x =
π

b) y = tg  x + 
2

a) y = tg2x
π

c) y = 2.tg  2x − 
2

a) sena =
96. Construa o gráfico e determine o
domínio e o conjunto-imagem das funções, no intervalo (0, 2π):
a) y = 1 + senx
b) f(x) = -1 + senx
d) y = -1 - senx
e) y = 1 - senx
f) y = 2 + senx
b) sena =
c) sena =
d) sena =
97. Construa o gráfico e determine o período das funções:
a) y = sen2x
c) y = 1 + sen2x
x
b) y sen
2
e) sena =
f) sena =
x
d) y = 1 - sen
2
a) cosa =
b) cosa =
c) cosa =
x
d) y = 2sen
4
d) cosa =
99. Esboce, em um período, o gráfico das
seguintes funções:
a) y = 4 cosx
b) y = - cosx
c) y = 3 cos
x
2
e) cosa =
f) cosa =
d) y = 5 + cos x
b)
1
e a ∈ IVQ
7
3
− e a ∈ IIIQ
4
2
e a ∈ IQ
7
1
− e a ∈ IIQ
2
2
e a ∈ IVQ
2
3
−
e a ∈ IIIQ
2
1
, calcule o
2
cot gx − 1
.
cos ecx − sec x
1
108. Se senx = , calcule o valor da ex3
sec x − cos x
.
pressão y =
tgx + cot gx
valor de y =
100. Simplifique as expressões:
sena.tga.cose ca
cosa.cotga .seca
e cos²x =1 -
1
e a ∈ IIQ
5
2
− e a ∈ IVQ
3
2
− e a ∈ IIIQ
5
1
e a ∈ IQ
2
3
− e a ∈ IVQ
7
3
e a ∈ IIQ
5
107. Sabendo que cosx =
π

e) y = cos  x − 
3

a)
tg x + 1
106. Determine o valor do sena para:
98. Construa o gráfico das seguintes funções, no intervalo (0, 2π), dando o domínio, a imagem e o período:
a) y = 3senx
b) y = 2 - senx
π

c) y = sen  x − 
2

1
2
sen²x, expresse senx em função de tgx.
105. Determine o valor de cosa para:
d) y = 1 + tg3x
c) y = -senx
cos x
senx
+
=1
sec x cos ecx
secx.cos2 x
cosecx.sen2 x
c) tgx.cotgx.cosx.cosecx
6
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1
π
, com 0 ≤ x ≤
,
3
2
senx. cos x − tagx
.
calculeo valor de y =
1 − cos ecx
118. Se senx =
109. Sendo senx =
cotgx.
le senx e cosecx.
120. Calcule o valor das expressões:
sec 2 x − sec x. cos ecx
1 − cot gx
a) y = 9.cos²x + cosecx +
111. Calcule as demais funções em cada
caso:
a)
b)
c)
d)
1
2
b) y=
2
∈ 2º Q.
, sendo cosx =
2
e
5
5senx + 3tgx
3
, sendo cosx = e x
5
4 cot gx
∈ 4º Q.
25 cos 2 x + 21tg 2 x
, sabendo que
5 cos ecx + 3
2
e x ∈ 2º Q
senx =
5
π
< x < π,
2
114. Sendo senx = , com 0 < x <
d) y =
e) y =
π
, cal2
4 cot gx + sen 2 x
25 cos 2 x − 2
, se tgx = 2 e
∈ 3ºQ.
cule cosx e tgx.
115. Os valores de a para que se tenha,
simultaneamente, senx = a e cosx = a 3
são:
116. Calcule:
a) senx, sendo π<x<
2
4( tg x − sec x )
c) y =
a − 2 e cosx = a - 1,
2
5
21 cos ec 2 x
cot g 2 x
, sa8
x ∈ 4º Q.
calcule o valor de senx.
113. Sendo senx =
determine a.
1
ex
3
bendo que senx =
1
cosx = , x ∈ IQ
2
5
secx = , x ∈ IVQ
4
3
tgx = , x ∈ IQ
4
7
cosx =
, x ∈ IVQ
25
112. Dado cosx = - , com
π
, calcu2
119. Se cotgx = 1, com 0 < x <
1
110. Dado cosx = , calcule o valor de:
4
y=
π
1
, 0 < x < , determine
3
2
121. Calcule o valor de:
m e cosx =
a) m , se secx =
m
2
2
.
a
1
c) m , se tgx = 2m + 1 e cotgx =
.
m
b) a , se cosecx =
3π
e secx = - 2.
2
3π
<x<2π e coscx = - 2 .
2
3π
7
c) secx, se π < x <
e senx = - .
2
25
π
3
< x < π e tgx = − .
d) cosecx, se
2
4
3
e) cosecx, sendo tgx= − e senx>0.
4
1
f) secx, se senx =
e x ∈ IQ.
3
5
e x ∈ IQ.
g) cotgx, se senx =
13
1 π
117. Dado cosx = − ,
< x < π, calcu5 2
b) tgx, se
d) a, se senx =
a e secx =
a
e tgx =
2
a −1 .
a +1
e tgx = a + 1 .
a
m +1
2m
e cosx =
.
f) m, se senx =
5
5
e) a, se senx =
122. Simplifique as expressões:
π
- x)
2
π
c) sen(x - )
2
a) sen(
e) tg(π + x)
b) cos(
π
- x)
2
d) cos(π + x)
f) tg(π - x)
le senx, tgx e cotgx.
7
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x
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123. Calcule o valor das seguintes expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
π

π

sen x + . cos − x 
2

2

e)
sen (− x ). cos(2π + x )
sen (π − x ).tg(π + x ). cos(4π − x )
f)

π
cos − x .tg(3π − x )

2
sen30 o + tg330 o
cot g(−45 o ) + cos 240 o
cos 45 o + sen 45 o
sec(−30 o ) + cos ec150 o
cot g135 o . sec 120 o
126. Simplifique cada uma das expres-
sen 225 o . cos 315 o
sen 45 o .tg 45 o . cot g 45 o
sões, sabendo que x ≠
a)
cos 210 o . sec 240 o . cos ec300 o
2sen90 o − 3 cos 180 o + sen270 o − 5 cos 360 o
4 cos 0 o + 2 cos 90 o − 7sen360 o + 6sen180 o
7π
sen1470 o + cos
3
f)
o
tg(−675 ) + sec 0 o
π
π
sen − cos
3
3
g)
π
π
cos + sen
3
3
π
2π
sen + sen
3
3
h)
π
5π
sen + sen
6
6
π
 π
i) sen + sen  − 
6
 6
b)
c)
d)
kπ
, com k
2
sen (π − x ). cos(π + x )

π
sen + x .sen (3π + x )

2
π

sen (π − x ) + cos − x 
2

cos(2π − x )
cos(2π − x ) − cos x

π

π
cos − x  + sen − x 

2

2

π
sen (π − x ) + cos − x 

2
sen (2π − x )
127. Calcule:
a) sen75º
b) cos15º
d) cos15º e) tg75º
3
5
c) cos105º
f) 15º
128. Dados senx= , seny= −
124. Calcule y em cada caso:
2 cos x + 1
π
, sendo x = .
sec 3x + sec 2 x
3
2
2
sen 2x + cos 5x
π
, sendo x =
b) y =
2
4
2 + tg 8x
∈ Z:
3
π
, 0<x< e
4
2
3π
. Calcule:
2
a) y =
π<y<
c) y =
a) sen(x + y)
b) cos(x + y)
c) tg(x + y)
d) cos(x - y)
129. Sabendo-se que tg x = 3 e tg y = 2,
determine:
a) tg(x + y)
b) tg(x - y)
130. Aplicando as fórmulas da adição,
calcule:
senx − cos 2 x
2
tg 4 x
, sendo x =
7π
6
125. Simplifique as seguintes expressões:
π

sen(π − x ). cos(π − x ).sen + x 

2
a)


π
 3π
 3π 
sen − x .sen
+ x .sen x 


2
 2
 2 
sen (− x ). cos ec(− x )
b)
cos(− x ). sec(− x )
sen (x − π ). cos(x + π )
c)
tg (− x ). cot g (2π + x )
a) cos105º
b) tg15º
c) sen
5π
6
131. Usando as formulas da adição, mostre que:
π

2


π

b) sen  − x  = cos x
2

a) cos  − x  = senx
π

sen − x .sen(π + x )
2


d)
sen (π − x ). cos(2π − x )
c) sen(π + x) = - senx
d) cos(π - x) = - cosx
e) cos(2π - x) = cosx
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145. Aplicando as fórmulas que foram
obtidas no problema anterior, resolva:
132. Simplifique a expressão:
y = sen(135º + x) + sen(135º - x)
133. Exprima em função de senx e cosx
as expressões:
a) sen(4π + x)
b) cos(5π + x)
c) sen(4π - x)
d) sen(3π - x)
 3π

e) cos  − x 
2


a) se cosa =
le o valor de cos2a.
b) Dado sena =
 5π

f) sen  + x 
2


146. Resolva os problemas:
a) Se tgx =
1
, calcule tg2x e cotg2x.
2
b) Se tg2a =1, calcule tga.
147. Calcule sen2x, se senx =
cos x. cos(π − x )
?
3π 

senx. cos x −

2 

3
e x é
4
um arco do 2º quadrante.
148. Se cosx =
138. Simplifique a expressão:
139. Qual o valor de tgx de modo que
tg(45º+x)+tg(x-45º)=2, com 0 < x <
π
?
2
150. Sabendo que tga =
140. São dados sen20º = 0,3420, cos20º
= 0,9397 e tg20º = 0,3640. Determine:
c) tg40º
a) sen40º
b) cos40º
b) sen5x + sen7x
3π
3
142. Se π < x <
e sen x = - , de2
4
c) sen3y – seny
d) sen7y + sen5y + sen3y + seny
c) tg2x
143. Sabendo que cosy =
153. Simplifique as expressões:
cos 55° + cos 25°
cos 50° + con30°
sen 70° − sen 20°
b) y =
2. cos 45°
senx + seny
c) y =
cos x + cos y
12
3
, senx =
e
5
13
a) y =
3π
π
< y < 2π e < x < π, determine:
2
2
a) sen2y
b) cos2x
c) tgx e tgy
d) tg2x e tg2y
1
, calcule tg2a e
4
cotg2a.
151. Calcule sen2x, sabendo que tgx +
cotgx = 3
152. Transforme em produto:
a) cos4x + cos2x
141. Sabendo
que cos40º=0,7660,
sen40º=0,6428 e
tg40º = 0,8391,
calcule cos80º, sen80º e tg80º.
b) cos2x
π
2
, com 0 < x < , calcu5
2
le sen2x e cos2x.
149. Demonstre as identidades trigonométricas:
a) tga.sen2a = 2sen 2 a
b) sen2x.cotgx = cos2x + 1
c) 1 + tga.tg2a = sec2a
π

sen (π + x ). cos − x 
2

y=
.
π


cos(5π + x ).sen − x 

2
termine:
a) sen2x
3
π
, com 0 < a < ,
2
2
determine cos2a
134. Se tgA=2 e tgB=1, ache tg(A - B).
135. Se tg(x + y) = 33 e tgx = 3, calcule
tgy.
136. Se tgx = 2.tgy, expresse tg(x + y)
em função de tgy.
137. Simplifique a expressão definida
por y =
π
1
, com 0 < a < , calcu2
2
144. Sabe-se que sen²a + cos²a = 1. Determine, então:
a) cos2a em função de cosa.
b) cos2a em função de sena.
d) y =
9
cos x − cos y
senx + seny
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154. Transforme em produtos as expressões:
a) sen55º - sen35º
b) sen45º - sen25º
c) cos70º + cos 20º
d) cos45º - cos25º
155. Transforme em produto as expressões:
a) sen4x + sen2x
b) sen5x - senx
c) sen3x + sen5x
d) sen7x - senx
e) cos2x + 1
f) cosx = 0
g) cosx = -1
h) senx = 1
i) cosx = 1
j) senx = -
l) cosx = 2
m) senx = -4
a) cosx = -
1
2
c) senx = 1
3
2
7
2
1
, para x
2
∈ R.
b) cosx = 1
2
2
d) senx =
e) cosx = -1
f) senx = cosx
166. Resolva as seguintes equações tri-
159. Transforme as seguintes expressões
em produto:
a) 1 - cos60º
3π
.
2
gonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤
a) senx = 0
π
3
b) sen  x +  + sen  x − 
c) senx =
c) cos2x + cos6x
d) 1 + sen60º
e) 1 + cos30º
f) sena + sen5a + 2.sen3a
160. Transforme em soma os seguintes
produtos:
a) senx.sen2x
b) cos2x.cos3x
c) cos2x.sen3x
d) cos(x + 60º).cos(x - 60º)
e) cos(x - 90º).sen(x + 90º)
161. Simplifique:
y=
e) senx = -1
1
2
165. Resolva, para qualquer x ∈ R:
cos 70 o + cos 20 o
.
158. Simplifique y =
sen 70° − sen 20°
o
d) cosx = −
164. Resolva cosx =
cos x + cos y
simplifique a expressão: y =
.
cos x − cos y


3
2
b) cosx =
n) cosx =
157. Usando as fórmulas de fatoração,
π
3
1
2
c) senx = −
sen30° − sen80°
156. Simplifique y =
sen10° + sen 40°


2
2
a) senx = -
b) senx = -1
1
2
e) senx = -
2
2
d) senx =
1
2
2
2
f) senx = -
g) sen2x = 0
h) sen4x = - 1
i) sen2x = 1
j) sen2x =
1
2
167. Resolva as seguintes equações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.
1
2
b) cosx = -
c) cosx = 1
d) cosx = 0
e) cosx = -1
f) senx =
a) cosx =
o
sen ( x + 150 ) + sen ( x − 150 )
cos(x + 150 o ) − cos(x − 150 o )
g) cosx = -
senx + sen3x
162. Calcule y =
, sabendo
cos x − cos 3x
4
que o valor da cotgx é .
7
i) cos2x = 0
2
2
1
2
2
2
h) cos3x = -1
j) cos2x =
1
2
168. Determine a solução das equações
trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:
a) cosecx = - 2
163. Resolva para x ∈ [0, 2π[:
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b) sec2x = 2
c) cos 2 x + cosx = 0
d) 2sen 2 x = senx
e) 2sen 2 x + cosx = 1
f) cos 2 x + cosx - 2 = 0
g) cos 2 x = 1 - senx
h) sen2x + senx = 0
i) cos2x - cos 2 x = 0
169. Considerando 0 ≤ x ≤ 2π, resolva as
equações:
a) sen2x = cosx
b) cosx + sen2x = 0
c) cos2x = - sen2x
d) cos2x + 1 = cos 2 x
170. Resolva para 0 ≤ x < 2π:
a) cox5x + cos3x = 0
b) cos3x - cosx = 0
c) sen4x - sen2x = 0
e) senx ≤ −
g) senx <
2
2
a) senx ≥ -
1
2
b) cosx ≥ -
c) senx > 0
d) cosx < 0
1
2
h) cosx ≥
3
2
c) tgx > 1
e) senx ≥
2
2
b) cosx ≥
1
2
d) cosx >
3
2
f) tgx < -1
g) cosx > - 1
h) cosx <
2
.
2
173. Resolva, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, as
seguintes inequações:
a) sen 2 x - senx ≥ 0
1
2
f) cosx > -
172. Resolva as seguintes inequações
trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:
171. Resolva para x ∈ [0, 2π[:
a) senx >
3
2
2
2
b) cos x <
1
2
c) tgx < 1
RESPOSTAS
1. 25cm
2. a = 10m
3. m = 2,25 e n = 3,75
4. h = 2 3 cm, y = 6cm
e s = 4 3 cm
5. 3,84m
6. 130,5cm
7. 1600m
8. x = 3 3 e y = 9 - 3 3
25
9.
(3 +
6
10. 50 3
3)
11. 75
12. senα =
4
3
e cosα =
5
5
13. 10
14. 30 0
15. a = 2 e b = 1
16. 45 0 17.
4 3
3
3
20.
2
3 5
6 5
e
5
5
19. 12
18.
21.
3
23. 60 0 24. 0 25.
26. sen60 0 =
3
22. 9m
20 3
3
3
1
, cos60 0 =
2
2
e tg60 0 = 3
27. 30 0 45 0 60 0
s
c
t
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
37.
3
2
1
2
3
1
38. a)
c)
e)
g)
28. a) x = 2 3 e y = 2
b) x = 6 e y = 3 3
c) x = 10 e y = 5 3
29. 2 3
30. 100
i)
3
3
k)
31. 50( 3 +1) 32. 1000m
2 2
3
2 5
34. senα=
3
15
35. senα=
4
3 10
36.senα=
10
33. cosα=
e tgα=
2
4
e cosα=
5
5
e tgα= 15
11
9
32
e cosα=
10
10
π
3
5π
2
π
15
π
4
π
12
11π
6
7π
6
5π
d)
6
π
f)
90
2π
h)
3
7π
j)
4
31π
l)
18
b)
39. a) 600 0
b) 990 0
d) 9 0
c) 20 0
0
e) 240
f) 108 0
h) 300 0
g) 22 0 3’
0
i) 210
j) 120 0
l) 157 0 30’
k) 15 0
0
m) 135
40. 88,40cm
41. 37,88m
42. 32cm
43. 4500voltas
44. a) 2 b) 50 c) 3 d) 0,25
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1
cm
3
π
47. rad
5
45.
46. 7,85
62. a) IVQ b) IQ c) IIIQ
63. e
48. 94,20m
64. a)
2
2
,2
2
3
1
b)
,2
2
1
3
c) - ,
2
2
3 1
,
d) 2
2
3
3
e) ,
2
2
2
2
,f) 2
2
3
1
g) ,2
2
1
3
h) - , 2
2
3
1
i)
,2
2
1
3
j) ,
2
2
2
2
k)
,2
2
2
2
,
l) 2
2
1
3
m) - ,
2
2
49. 20,93cm 50. 275,16m
51. 336,25km
52. a)
53.
55.
56.
57.
π
3
b)
4π
3
c) π
54. 47 0 30′
82 0 30’
0
145
a) 187 0 30′ b) 320 0
a) III b) I c) III d) III
e) I f) III g) III h) III
π
2π
+2kπ
58. a) +2kπ b)
3
5
3π
c) 120 0 +k.360 0 d)
+2kπ
4
π
e) 300 0 +k.360 0 f) +kπ
2
π
π
g)
+ kπ
h)
+ kπ
4
3
Obs: k ∈ Z
59. a) α0 =110 0
α = 110 0 + k.360°
b) α0 = 210 0
α = 210 0 + k.360°
c) α0 = 355 0
α = 355 0 + k.360°
d) α0 = 50 0
α = 50 0 + k.360°
e) α0 =
n) 1, 0
7π
4
α=
1
3
,
2
2
2
2
p)
,
2
2
o)
7π
+2kπ
4
3π
2
3π
+ 2kπ
α=
2
5π
g) α0 =
3
5π
α=
+ 2kπ
3
3π
h) α0 =
8
3π
α=
+ 2kπ
8
f) α0 =
60. a) S b) N
c) N
0
0
61. a) 340 e 700
7π
19π
b)
e
6
6
q) 1, 0
r)
3
1
,2
2
s) 0, -1
1
3
t) ,
2
2
2
2
u)
,2
2
v) -1, 0
65. 2 + 3
67. 0, -1, 0
68.
2
,
2
66. 1
2
,1
2
12
3 1
, , 3
2
2
70. 2 - 3
71. 1, 2 , 2
3
2 3
72.
, 2,
3
3
69.
73. 0, não existe, -1
3
3
74.
75.
76. 1
3 −2
2
78.
2 3
,2
3
3 −2
77.
2
79. 0
80. -1
81. π
82.
3 +1
1− 3
ou -2 -
3
83. 3 ≤ m ≤ 5
19
≤ m ≤ 3}
7
5
b) {m ∈ R/ - ≤ m ≤ -1}
3
84. a) {m ∈ R/
c) {m ∈ R / 4 ≤ m ≤ 5}
85. -1 ≤ k ≤ 2
86. a) {m ∈ R/0 ≤ m ≤
1
}
3
b) {m ∈ R / -3 ≤ m ≤ -2}
c) {m ∈ R / 2 ≤ m ≤ 3}
3
1
≤k≤
4
4
1
1
88. a) ≤ m ≤
6
2
5
7
≤m≤
b)
2
2
5
1
c) - ≤ m ≤ 2
2
7
13
d)
≤m≤
4
4
87. -
89. π
90. a)
π
4
c) 10π
π
5
π
d)
10
b)
π
b) 7π/2
3
2π
d) 8π
c)
3
91. a)
92. a) 4π
b) 2π c) 4π
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Telefone: 39022608 - 994306166
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ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
2π
3
π
93. a)
3
π
c)
5
π
b)
4
94. a) x ≠ k
π
3
d)
e) 2π f)
2π
3
1 + tg 2 x
2 6
5
b)
3
5
3
21
c) d)
5
2
e) - 2
π kπ
+
4 2
π
d) x≠ − + 2kπ
2
π
π
95. a) x ≠
+k
4
2
10
7
c)
π kπ
+
2 2
π kπ
d) x ≠ +
6 3
c) x ≠
96. a) D = R, Im = [0, 2],
p = 2π
b) D = R, Im = [-2, 0],
p = 2π
c) D = R, Im = [-1, 1],
p = 2π
d) D = R, Im = [-2, 2],
p = 2π
e) D = R, Im = [0, 2],
p = 2π
f) D = R, Im = [1, 3],
p = 2π
97. a) π b) 4π c) π d) 4π
98. a) D = R, Im = [-3, 3],
p = 2π
b) D = R, Im = [1, 3],
p = 2π
c) D =R, Im = [-1, 1],
p =2π
d) D=R, Im = [-2, 2],
p = 8π
99. solução do aluno
100. a) tg 2 x
b) cotgx c) cotgx
101. demonstração
1
107.
1
2
109.
2
72
2
cot g x
3
2
f) -
1
2
2
2
2
4
3
4
f)
1
2
g) 2 -
__
h)
3
4
3
i) 0
c)
d)
112.
-
__
24
7
124. a) -
sec
cossec
2
2 3
3
5
3
5
4
25
7
4
3
7
24
3
2
e)
14
15
b)
c)
128. a)
c)
c) -
25
24
d)
5
3
f) -
3 2
4
g)
12
5
c) -
5
3
1
3
d)
6− 2
4
2+ 6
4
f) 2 -
3
− 3 7 − 12
9−4 7
b)
20
20
− 3 7 − 12
9−4 7
130. a)
b)
3
129. a) -1
e)
3
4
3
ou tgx.senx
2+ 6
4
2− 6
4
e) 2 +
115. ±1/2
b) -1
b)
1
4
d) -2
127. a)
3
4
e tgx =
114. cosx =
4
5
3
2
c) 1
e) -
sen 2 x
cos x
c) 0
113. a = 2
116. a) -
12
5
125. a) -tgx
b) 1
c) -senx.cosx
d) -1 e) -1 f) -secx
126. a) 1
2 3
3
25
24
1 + cot g 2 x
2
2 3 −3
9
d) -
4
5
4
5
__
,
b) senx
d) -cosx
f) -tgx
3
__
b)
d)
6 -3 2
3
2
3
b) 5
3
c)
5
24
d) 25
3
3
4
3
8
3
b)
tag
a)
b)
123. a)
cos
cotg
120. a) 19
122. a) cosx
c) -cosx
e) tgx
110. 16
a)
119.
f) m = 2 ou m = -
1
27
108.
2
2
25
24
50
31
118. 2 2
121. a) m = ±2
b) não existe
c) m = -1
d) a = 2
e) a = 2 ou a = 1
111. sen
2
1 + cot g x
d)
6
2 6
, -2 6 , 12
5
c)
4
5
7
b) 4
3 5
7
e) -
b) x ≠ kπ
f) -
4 3
7
106. a) -
c) x ≠ −
103. cos x =
117.
105. a) -
b) x ≠ π + 2kπ
2
tag x
104. sen 2 x =
d) 3π
102. sen 2 x =
2
d)
b)
−4 7 −9
20
1
7
2− 6
4
b) 2 -
3
c)
1
2
131. demonstração
13
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ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
132. 2 cosx
133. a) senx
c) -senx
e) -senx
134.
136.
1
3
b) -cosx
d) senx
f) cosx
135.
3tgy
3
10
137. cotg x
2
1 − 2tg 2 y
138. tg 2 x
139. 2 -1
140. a) 0,6427 b) 0,9999
c) 0,8391
141. cos80 0 = 0,1743,
sen80 0 = 0,9847 e
tg80 0 = 5,6494
142. a)
3 7
8
b)
1
8
c) -3 7
24
119
b) 25
169
14
4
,c)
5
3
120 24
d) ,
119 7
143. a) -
144. a) 2cos 2 x – 1
b) 1 - 2sen 2 x
1
145. a) 2
1
b) 2
4
e
146. a) tg2x =
3
3
cotg2x =
4
b) tga = 1 ± 2
3 7
147. sen2x = 8
4 21
e
148. sen2x =
25
17
cos2x = 25
149. demonstração
8
15
e
15
8
2
151.
3
150.
152. a) 2cos3x.cosx
b) 2sen6x.cosx
c) 2seny.cos2y
d) 4cosy.sen4y.cos2y
153. a)
cos 15 o
cos 10
o
l) Ø m) Ø
x + y

 2 
x − y
d) tg 

 2 
154. a) 2 cos10 0
c) tg 
b) sen25 0
b) 2sen10 0 .cos35 0
c) 2 cos25 0
d) 2sen35 0 .sen10 0
155. a) 2sen3x.cosx
b) 2sen2x.cos3x
c) 2sen4x.cosx
d) 2sen3x.cos4x
e) 2cos²x
156. y = -
cos 55 o
cos 15 o
157.-cotg  x + y  .cotg  x − y 

2 
 2 
158. y = cotg25 0
159. a)
1
2
c) -2cos4x.cos2x
d) 2sen75 0 .cos15 0
e) 2cos²15 0
f) 4sen3a.cos ² a
1
(cos3x - cosx)
2
1
b) (cos5x + 4cosx)
2
1
c) (sen5x + senx)
2
1
1
d) cos2x 2
4
1
e) sen2x
2
162. cotgx
161. - 3
5π 7π
163. a)
,
4
4
π 11π
b) ,
6
6
π 11π
c) ,
6
6
2π 4π
d)
,
3
3
3π
π 3π
f) ,
e)
2
2 2
π
g) π
h)
2
4π 5π
i) 0, 2π j)
,
3
3
14
b) x = 2kπ
π
+ 2kπ
2
π
+ 2kπ
d) x =
4
3π
ou x =
+ 2kπ
4
c) x =
e) x = π + 2kπ
π
+ kπ
4
 3π 
166. a) {0, 2π} b)  
2
 π 5π 
 π 3π 
c)  ,  d)  , 
6 6 
4 4 
 7 π 11π 
e)  ,

6 6 
 5π 7 π 
f)  , 
4 4
 3π 
g) {0, π}
h)  
8
π
 π 5π 
i)  
j)  , 
4
12 12 
 π 5π 
167. a)  , 
3 3 
 2π 4 π 
b)  , 
3 3
 π 3π 
c) {0, 2π} d)  , 
2 2 
 π 7π 
e) {π}
f)  , 
4 4 
 3π 5π 
π
g)  , 
h)  
4 4
3
 π 3π 
 π 5π 
i)  ,  j)  , 
4 4 
6 6 
 5π 7 π 
168. a)  , 
4 4
 π 5π 
b)  , 
6 6 
f) x =
b) senx
160. a)
n) Ø
π
164. x =
+ 2kπ
3
5π
ou x =
+ 2kπ
3
2π
+ 2kπ
165. a) x =
3
4π
ou x =
+ 2kπ
3
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π 3π
,
eπ
2 2
π 11π
eπ
d) 0, ,
6
6
4π 5π
e) 0,
,
e 2π
3
3
c)
f) 0, 2π
π
eπ
2
4π 5π
,
eπ
h) 0,
3
3
g) 0,
i) 0, π
169. a)
b)
c)
d)
170. a)
b)
c)
171. a)
b)
π π 5π
3π
, ,
e
6 2 6
2
π 7π 3π
11π
,
,
e
2 6
2
6
3π
kπ
+
8
2
π
3π
e
2
2
π π 3π
3π
, ,
e
8 2 8
2
π
0, , π
2
π π
0, ,
e 2π
6 2
π
5π
≤x≤
6
6
3π
0≤x≤
4
5π
ou
≤ x ≤ 2π
4
c) 0 < x < π
π
3π
<x<
2
2
4π
5π
≤x≤
e)
3
3
5π
f) 0 < x <
6
7π
ou
< x < 2π
6
π
ou
g) 0 < x <
4
5π
< x < 2π
4
π
ou
h) 0 ≤ x ≤
6
11π
≤ x ≤ 2π
6
d)
172. a) 0 ≤ x ≤
7π
ou
6
11π
≤ x ≤ 2π
6
π
b) 0 ≤ x ≤
ou
3
5π
≤ x ≤ 2π
3
π
π
c)
<x<
ou
4
2
5π
3π
< x<
4
2
π
ou
d) 0 < x <
6
11π
< x < 2π
6
5π
e) 0 ≤ x ≤
ou
4
7π
≤ x ≤ 2π
4
π π
f) x ∉  ,  e
4 2
 5π 3π 
x∉  , 
4 2
g) x ≠ π
h) 0 < x <
π
ou
4
7π
< x < 2π
4
173. a) S={x ∈R /π≤ x≤2π}
π
2π
<x<
ou
3
3
4π
5π 
<x< 
3
3
π

c) x ∈ R / 0 ≤ x < ou
4

7π

< x ≤ 2π 
4



b) x ∈ R /
15
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