Lista 02 - ClicMates

Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios de Cálculo 2
Integrais Definidas e Indefinidas
Lista 2
1) Considere f uma função contínua integrável no intervalo [a, b]. Para simplicar, considere o
gráco da função no primeiro quadrante. Construa uma partição x0 = a, x1 , ..., xi−1 , xi , ..., xn = b
para o intervalo [a, b]. Para cada ∆x construa o trapézio tendo como bases f (xi−1 ) e f (xi ) e
altura ∆x. Deduza a denição da integral denida
de f em [a, b] à partir das áreas dos trapézios.
Z
3
Para ilustrar sua denição, calcule a integral:
(x2 )dx;
0
2) Diga se cada função f abaixo é integrável no respectivo intervalo, (justique sua resposta).
a) f (x) = xn +xn−1 +...+x+1 em [0, +∞];
b) f (x) = x5 + x12 + x2 + 2 em [1, +∞];
c) f (x) = e2x + x1 + cos(2x) em [−2π, 2π];
2
d) f (x) = sen(x)+xex −ln(x2 ) em [−2, 2];
1
e) f (x) = e x+1 + ex em [−1, 1];
f)
x2 + 2x + π se x ≤ 0
em
π + sen(x) se 0 > x
R
3) Ache o valor das integrais abaixo:
a)
3
Z
2
f)
(5x − x )dx
0
b)
5π
4
(sen(x) − cos(x))dx
g)
π
4
c)
d)
Z
1
√
( x + e−x )dx
2
1
e)
Z
π
4
!
dx
(tan(x)) dx
0
ln2
cos(lnx)
x
2
x2
dx
(x3 + 1)2
1
Z 4
1
√
i)
dx
6x + 1
0
Z 4
√
j)
x − x2 dx
h)
0
Z
cos( x1 )
x2
5
1
Z
Z
Z
dx
et − e−t dt
0
Z
1
4) Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule as respectivas áreas utilizando integrais
denidas:
a) y = x + 1, y = 9 − x2 , x = −1 x = 2;
e) y = sen(x), y = ex , x = 0 x = π2 ;
a) y = cos(x), y = sen(2x), x = 0 x = π2 ;
a) y = |x|, y = x2 − 2,;
a) y = x3 − 6x + 8x, y = x2 − 4x,;
a) y 2 = x, x − 2y = 3,.
1
5) Calcule usando integração por partes:
a)
Z
b)
Z
c)
Z
d)
Z
e)
Z
f)
Z
g)
Z
h)
Z
i)
Z
j)
Z
k)
Z
l)
Z
m)
Z
n)
Z
x
xe dx
x
e senxdx
xcosxdx
lnxdx
2 x
x e dx
cos2 xdx
xsen(2x)dx
(r2 + r + 1)er dr
π
2
x3 cos2xdx
0
π
2
θ2 sen2θdθ
0
3
x2 ex dx
2
tlntdt
1
xlnxdx
o)
Z
p)
Z
e
s3 lnsds
1
sen2 xdx
2π
cos2 xdx
0
6) Calcule as integrais denidas abaixo:
a)
Z
b)
Z
1
l)
Z
m)
Z
π
x cos (x3 − 1)dx;
2
2
0
1√
1 + xdx;
Z
d)
Z
e)
Z
1
−1
e
x
dx;
2
(x + 1)2
n)
0
g)
Z
π
6
1
√
√
( 2x + 3 x)dx;
s)
Z
1
dx;
x2 + 4x + 5
t)
Z
u)
Z
v)
Z
sen(2x)dx;
cos(x)
dx;
sen3 (x)
(x − 2ex )dx;
h)
8
i)
1
0
j)
Z
k)
Z
2
1
0
1
dx;
1
√ dt;
1+ t
2
√
1
2
arcsen(x)dx;
0
0
Z
(x + 1)3
0
0
Z
x+1+
1
p
1
dx;
16 − x2
0
Z 3r
x
p)
dx;
6−x
0
Z 1
1
q)
dy ;
y
0 e +1
Z 1
r)
te−t dt;
0
f)
4
Z
o)
π
2
2
0
1 + ln(2x)
dx;
x
π
2
p
x2 − 9dx;
√
Z
1
Z
x
0
0
c)
4
2x − 1
dx;
x3 + x
π
3
π
4
π
t
dt;
sen2 (t)
x3 sen(x)dx;
0
1
dx;
x
e + e−x
0
2
π
2
sen(x)cos2 (x)dx use as inversas;
√
w)
Z
1
x)
Z
π
2
3
y)
1
p
dt;
(1 + x2 )3
Z
e
sen(ln(x))dx;
1
z)
e2x cos(x)dx;
0
Z
π
2
1
dx use tan( x2 ) = t =
1
+
sen(x)
+
cos(x)
0
q
1−cos(x)
2t
1+cos(x) e sen(x) = 1+t2 ;
7) Calcule o valor das áreas das regiões planas:
a) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ 2 − x2 e y ≥ x};
c) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 − 4 ∧ y ≥ −x2 − 2x};
b) A = {(x, y) ∈ R2 |y 2 ≤ 2x + 4 ∧ y ≥ x − 2}; d) A = {(x, y) ∈ R2 |y ≤ x2 ∧ y ≥ x4 − 2x2 };
e) A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + (y − 1)2 ≤ 1 ∧ x2 + (y − 2)2 ≤ 4 ∧ y ≥ x2 };
3