Aula 25 Integração por Partes MA111

Aula 25
Integração por Partes
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Motivação
Da regra do produto, temos
d
[f (x)g(x)] = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x).
dx
Usando a notação de integral indefinida, encontramos
Z
f (x)g(x) =
f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) dx,
ou ainda,
Z
f (x)g(x) =
0
f (x)g (x)dx +
Z
f 0 (x)g(x)dx.
Rearranjando os termos, encontramos:
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx.
Integração por Partes
Integração por Partes
A fórmula de integração por partes é:
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx.
Alternativamente, tomando u = f (x) e v = g(x), temos
Z
Z
udv = uv − vdu.
Exemplos
Exemplo 1
Encontre
Z
x sen x dx.
Exemplos
Exemplo 1
Encontre
Z
x sen x dx.
Resposta:
Z
x sen x dx = −x cos x + sen x + c.
Exemplos
Exemplo 2
Calcule
Z
ln xdx.
Exemplos
Exemplo 2
Calcule
Z
ln xdx.
Resposta:
Z
ln dx = xlnx − x + c.
Exemplos
Exemplo 3
Encontre
Z
t 2 et dt.
Exemplos
Exemplo 3
Encontre
Z
t 2 et dt.
Resposta:
Z
t 2 et dt = t 2 et − 2tet + 2et + c.
Exemplos
Exemplo 4
Calcule
Z
ex sen x dx.
Exemplos
Exemplo 4
Calcule
Z
ex sen x dx.
Resposta:
Z
ex sen x dx =
1 x
e (sen x − cos x) + c.
2
Integração por Partes
Integração por Partes
A integração por partes para uma integral definida é
Z
a
b
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x)|ba −
Z
a
b
f 0 (x)g(x)dx.
Exemplos
Exemplo 5
Calcule
Z
0
1
tg−1 xdx.
Exemplos
Exemplo 5
Calcule
Z
1
tg−1 xdx.
0
Resposta:
Z
0
1
tg−1 xdx =
π ln 2
−
.
4
2
Exemplos
Exemplo 6
Demonstre a fórmula de redução
Z
Z
1
n−1
senn x dx = − cos x senn−1 x +
senn−2 x dx,
n
n
em que n ≥ 2 é um inteiro.
Observação:
A fórmula de
pode ser aplicada
para
R redução
R repetidas vezes
R
n
expressar sen x dx em termos de sen x dx ou dx.