Lista de Exercícios Álgebra Abstrata

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Lista de Anéis
1. Determine todos os divisores de zero de Z6 .
2. Determine os inversos de todos os elementos invertíveis de Z8
3. Mostre que 2Z é um ideal de Z.
4. Seja A um anel e a ∈ A. Mostre que hai = {t.a; t ∈ A} é um ideal de A.
Lista de Grupos
1. Em cada ítem julge e justifique se temos um grupo ou não.
a) (2Z, +)
c) (Z3 , +)
d) ({−2, −1, 0, 1, 2}, +)
2. Sejam G um grupo e a, b, c ∈ G. Mostre que (a.b.c)−1 = c−1 .b−1 .a−1 .
3. Dadas
abaixo. Calcule
 as permutações


 σ◦η
1 2 3
1 2 3
eη=

σ=
2 3 1.
1 3 2.
4. Seja G um grupo, tal que (a.b)2 = a2 .b2 , quaisquer que sejam a, b ∈ G. Mostre
que G é abeliano.
5. Seja G um grupo, tal que todo elemento é seu próprio inverso. Mostre que G
é abeliano.
Lista de Subrupos
1. Em cada ítem a seguir, verifique se H é subgrupo de G.
a) (G = Q∗ , .) e H = {x ∈ Q; x > 0}.
√
b) (G = R∗ , .) e H = {a + b 2 ∈ R∗ ; a, b ∈ Q}.
¯
c) (G = Z∗13 , .) e H = {1̄, 5̄, 8̄, 12}.
d) (G = Z∗11 , .) e H = {1̄, 2̄, 5̄, 7̄}.
2. Sejam G um grupo e a ∈ G. Mostre que N (a) = {x ∈ G; xa = ax} é um
subgrupo de G. O subgrupo N (a) é chamado normalizador ou centralizador de a em
G.
3. Seja G um grupo, com o(G) = 2013. Existe algum subgrupo de G com ordem
10?
Lista de Subrupos normais e grupos quocientes
1. Determine todos os subgrupos não triviais de (Z6 , +). Para cada subgrupo H
2
encontrado, construa a tábua do grupo quociente Z6 /H.
2. Construa a tábua de Z10 /H, em que H = {0̄, 5̄}.
3. Seja G o grupo aditivo dos números inteiros, ou seja, o grupo (Z, +). Calcule
G/H.
Lista de homomorfisos de grupos
1. Em cada ítem a seguir, verifique se a aplicação dada é um homomorfismo. Nos
casos afirmativos, determine seu núcleo.
a) ϕ : (R, +) → (R∗ , .), tal que ϕ(x) = 2x .
b) ϕ : R → R, tal que ϕ(x) = x + 1.
c) Seja A um anel. Considere id : A → A, tal que id(a) = a.
2. Classifique os homomorfismos obtidos acima em homomorfismos sobrejetores
e monomorfismos.
3. Seja ϕ : Z × Z → Z × Z, tal que ϕ(x, y) = (x − y, 0). Mostre que ϕ é um
homomorfismo. Determine o núcleo de ϕ.