Lista 5: Duplicaç˜ao do cubo e trisseç˜ao do ângulo MA

Lista 5: Duplicação do cubo e trisseção do ângulo
MA-224A
19/10/2010
A) O problema da duplicação de um cubo consiste em construir, com régua e compasso, a aresta de um cubo C1 cujo volume seja o dobro do volume de um cubo
C0 dado. Os exercı́cios a seguir mostram a impossibilidade dessa construção. (Referência bibliográfica: mesma da lista √
4.) Se o cubo C0 tem aresta de comprimento
√
1 então a aresta do cubo C1 deve ser 3 2. O problema então é provar que 3 2 não é
um número construtı́vel.
1. No conjunto dos números complexos existem três raı́zes cubicas de 2 que são as três
raı́zes do polinômio x3 − 2. Mostre que apenas uma delas é um número real.
√
Notação: 3 2 denota o único número real que é raiz cúbica de 2.
√
2. Mostre que 3 2 não é um número racional.
√
√
3. Siga os seguintes itens para mostrar que 3 2 não é um número da forma a + b k
com a, b e k números racionais.
√ √
√
(a) Seja k ∈ Q tal que k não é racional. Mostre que se a + b k ∈ Q
k é zero
se, e só se, a = b = 0.
√ √
√
(b) Dado x = a + b k ∈ Q
k defina o seu “conjugado” por x
e = a − b k.
Demonstre as seguintes fórmulas: a) x]
+y =x
e + ye; b) x
fy = x
e · ye.
√ 3 − 2.
(c) Use o item anterior para mostrar que se x ∈ Q
k então x
e3 − 2 = x^
√ √
√
√
(d) Suponha por absurdo que x = a+b k ∈ Q
k é 3 2 e mostre que y = a−b k
√
também é 3 2, o que é um absurdo, pois ambos são números reais diferentes.
(Se x3 − 2 então x
e3 − e
2=x
e3 − 2 = 0.
4. Faça o mesmo que o exercı́cio anterior, substituindo Q por
√ um
corpo numérico K
√
3
arbitrário. Isto é, mostre que se k ∈ K então 2 ∈
/ K
k . (Deve-se usar que
Q ⊂ K.)
√
5. Use o exercı́cio anterior para mostrar que 3 2 não é construtı́vel. (Lembre-se da
lista 4 que se um número real x é construtı́vel então√existem
corpos numéricos
Q = K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn tal que x ∈ Kn e Ki+1 = Ki
ki com ki ∈ Ki ).
B) Construtibilidade de raı́zes de polinômios de grau 3. Seja P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
a3 x3 um polinômio de grau 3 cujos coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 ∈ Q. Os exercı́cios
a seguir demonstram a seguinte afirmação: Se nenhuma raiz de P é um número
racional então nenhuma de suas três raı́zes são números construtı́veis.
(Isso será usado depois para mostrar a impossibilidade da trisseção do ângulo e da
construção do heptagono regular.)
1
Suponha por absurdo que alguma raiz de P é um número construtı́vel.
1. Mostre
existem corpos numéricos Q = K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn tal que Ki+1 =
√ que
Ki
ki com ki ∈ Ki , Kn contém uma raiz de p e nenhum dos corpos anteriores a
Kn contém raiz de P .
2. De acôrdo com o √
item anterior (e a hipótese
√ de absurdo) existe uma raiz x de P
/ Kn−1 . Mostre que o “conjugado”
tal que x = a√+ b k com a, b, k ∈ Kn−1 e k ∈
y=x
e = a − b k também é raiz de P . (Isso se deve a que os coeficientes de P estão
em Q ⊂ Kn−1 .)
3. De acôrdo com o exercı́cio anterior duas das raı́zes de P são x e x
e. Então, a terceira
raiz é −a2 − x − x
e onde a2 é o coeficiente de grau 2. Mostre que essa terceira raiz
é um elemento de Kn−1 . Isso contradiz a escolha feita no primeiro dos exercı́cios
desta série.
C) O problema da trisseção do ângulo consiste em ter um método geral para dividir,
com régua e compasso, um ângulo genérico. Alguns ângulos podem ser trisseptados,
por exemplo o de 90◦ , já que 30◦ é metade de 60◦ e ambos são construtı́veis. Os
exercı́cios a seguir mostram que o ângulo de 60◦ não pode ser trisseptado, isto é, o
ângulo de 20◦ não é construtı́vel.
1. Mostre que se um ângulo θ pode ser construı́do então cos θ é um número construı́do.
2. Mostre que cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ. Use isso para mostrar que se x0 = cos 20◦
então x0 é raiz do polinômio P (x) = 8x3 − 6x − 1.
3. Mostre que o polinômio P (x) = 8x3 − 6x − 1 não tem raı́zes racionais, seguindo os
seguintes itens:
(a) Se x é uma raiz racional de P então u = 2x é uma raiz racional de Q (u) =
u3 − 3u − 1.
(b) Suponha por absurdo que u = n/m ∈ Q é uma raiz de Q com n e m inteiros
primos entre si. Então, n3 − 3nm2 − m3 = 0.
(c) Use a igualdade m3 = n n2 − 3m2 para mostrar que n = ±1. (A igualdade
mostra que m3 é múltiplo de n, e como n e m são primos entre si, isso só é
possı́vel se n = ±1.)
(d) Use a igualdade n3 = m2 (3n + m) para mostras que m deve ser ±1.
(e) Portanto, u deveria ser ±1, mas esses números não são raı́zes de Q: Q (1) = −3
e Q (−1) = 1.
4. Portanto, P não tem raı́zes racionais. Então, pelo item (B) as raı́zes de P não são
construtı́veis. Daı́ que cos 20◦ não é construtı́vel e o ângulo de 20◦ também não é
construtı́vel. Em suma não é possı́vel dividir em três o ângulo de 60◦ .
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