Aplicações da Integral

UNIVERSID
DADE FEDERA
AL DA PARAÍBA CEN
NTRO DE CIÊÊNCIAS EXATA
AS E DA NAT
TUREZA MATEMÁTICA DEPARTA MENTO DE M
DIFERENCIALL E INTEGRALL II CÁLCULO D
APLICA
AÇÕES DA INTEGRAL
L
P
1.1 – Cooordenadas Polares
O sistema de
d coordenad
das que connhecemos paara identificaar pontos noo plano é o sistema dee
coordenaadas retanguulares. Existe outro sisttema de coo
ordenadas qu
ue pode ser uusado neste sentido: “O
O
sistema de coordenaadas polaress”. A seguirr, veremos como
c
constru
uir e como identificar pontos
p
nestee
sistema.
C
Considere um
m plano e sobre ele escollha um ponto
o fixo O, chaamado de oriigem ou polo
o do sistema..
A partir do ponto O,
O em qualqu
uer direção, trace uma semirreta, no
ormalmente ttraçada horizzontalmente,,
que será chamada dee eixo polar.
P
O Seja θ
Seja P um ponto qualquerr do plano, ddistinto de O.
r
o AOP. Se r = OP , então
e
os
o ânguloo, em radiannos, orientado
númeross reais r e θ serão
s
as coorrdenadas pollares do pontto P que
serão reppresentadas pelo
p par ordeenado (r, θ).
Exemploos: Identificaar os pontos no plano pollar.
a) A = ( 4 , π )
b) B = ( 5 , π )
4
2
θ
O
A
c) C = ( −3 , π )
2
B
O
C
O
S
Seja P(x, y) um ponto qu
ualquer no s istema cartesiano e P(r,θ) esse
mesmo ponto no siistema polarr. Poderíamoos, então, perguntar
p
se existe
alguma rrelação entree as coorden
nadas cartesiianas de P e suas coordenadas
polares? A resposta é afirmativa.. Para mostraarmos isto, considere
c
o sistema
de coorddenadas carteesianas (retan
ngulares), faazendo a orig
gem do plano
o polar
coincidirr com a origgem do plano
o cartesiano e o eixo pollar coincidir com o
eixo doss x. Suponha que r > 0. Observe
O
que o triângulo xOP
x
é retâng
gulo, e,
portanto temos:
y
P
r
θ
O
x
y
x
⇒ x = r co
os θ e senθ = ⇒ y = rsenθ .
r
r
y
gθ )x . Conhecidas as cooordenadas caartesianas dee
N
Note que x 2 + y 2 = r 2 e que tgθ = ⇒ y = (tg
x
cos θ =
P podem
mos encontrarr as suas coo
ordenadas poolares e vice-versa.
o gráficos.
Exemploos: Esboce os
a) r = 2 ccos θ
d) θ = π
4
b) r = ccos 2θ
e) r = 4
c) r = 2 (1 + cos θ)
Solução:a) Vamos esboçar o gráfico de r = 2 cosθ. Quando θ = 0,
teremos r = 2. A curva passa pelo ponto A(2, 0). Da mesma forma
temos que a curva passa pelos pontos: B 2 , π / 4 , C (0, π / 2 ) ,
2
(
C
(
)
(
(
)
)
B
1
D − 2 , 3π / 4 , E (− 2, π ) , F − 2 , 5π / 4 , G (0, 3π / 2 ) , H
)
2 , 7π / 4 e I (2, 2π ) . O gráfico da curva será:
r = 2cos(t)
A
1
−1
2
3
D
2
b) Vamos esboçar o gráfico de r = cos2θ. Quando θ = 0, teremos
r = 1. A curva passa pelo ponto A(1, 0). A curva também passa
pelos pontos: B (0, π / 4 ) , C (− 1, π / 2 ) , D (0, 3π / 4 ) , E (1, π ) ,
1
F (0, 5π / 4 ) , G (−, 3π / 2 ) , H (0, 7π / 4 ) e I (1, 2π ) . O gráfico
r = cos2t
−1
da curva está ao lado.
1
−1
1.2 – Área em coordenadas polares
Seja r = f( θ) uma função contínua e definida no intervalo [θ1 , θ2 ]. Admita que f(θ) ≥ 0 e que
θ2 ≤ θ1 + 2π. Vamos determinar a área limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ).
Subdivida o intervalo [θ1,θ2] em subintervalos [θi , θi+1],
θi+1
i = 1, …, n. Sejam αi e βi os pontos de máximo e de mínimo de f
(αi , f(αi))
em cada intervalo [θi , θi+1], respectivamente. Note que a área Ai, θ2
Ai
limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ) está compreendida
θi
entre as áreas dos setores circulares de raios f(αi) e f(βi), ou seja:
θ i +1 − θ i
θ −θ
⋅ π f ( β i ) 2 ≤ Ai ≤ i +1 i ⋅ π f (α i ) 2
2π
2π
(βi , f(βi))
θ1
Somando estas áreas, obtemos:
n
n
n
1
1
2
⋅
f
(
β
)
(
θ
−
θ
)
≤
A
≤
⋅ f (α i ) 2 (θ i +1 − θ i )
∑
∑
∑
i
i +1
i
i
i =1 2
i =1
i =1 2
Passando o limite quando n → ∞, obtemos:
A= ∫
θ2
θ1
1
2
f (θ ) 2 dθ
Exemplos: 1) Calcule a área limitada pelas curvas:
a) r = cos 2θ
b) r = 2(1 + cos θ)
Solução: a) O esboço da curva está no exemplo anterior. Podemos ver que a área procurada é oito vezes a
área da metade de uma pétala. Então:
π
A1 = ∫ 4
0
π
1
2
cos2 2θ dθ = ∫ 4
0
π
⎛
⎞
1 π4
1⎡
sen 4θ ⎤ 4 π
1 1 + cos 4θ
⎜
⎟
1
cos
4
d
θ
θ
d
θ
θ
=
+
=
+
⎥ = .
⎢
2⎜
⎟
2
4 ∫0
4⎣
4 ⎦0 16
⎝
⎠
(
Portanto a área procurada é: A = 8 ×
π
16
=
π
2
)
unidades de área.
3
b) A área da região limitada pelo cardióide será dada por:
A=
2
1
[2(1 + cos θ )]2 dθ =2∫0 (1 + 2 cos θ + cos2 θ )dθ =
∫
0
2
2π
2π
1
x
−1
1
−1
−2
−3
2
3
4
5
2π ⎛
1 + cos 2θ
= 2 ∫ ⎜⎜1 + 2 cosθ +
0
2
⎝
2π
⎞
⎟⎟dθ = ∫ 3 + 4 cosθ + cos 2θ dθ =
0
⎠
(
)
2π
⎡
sen 2θ ⎤
= ⎢3θ + 4 sen θ +
⎥ = 6π unidades de área.
2 ⎦0
⎣
2) Calcule a área entre as curvas r = 2a cos θ e r = 2a sen θ.
Solução: Vamos inicialmente determinar a interseção entre as curvas:
2a cosθ = 2asenθ ⇒ cos θ = sen θ ⇒ θ = π .
4
2
θ = π/4 Assim, a área entre as curvas dadas será dada por:
A= 2×
1
π
1 π4
2
2
(
)
2
sen
θ
d
θ
=
∫04 4sen θ dθ =
2 ∫0
π
π
= ∫ 2(1 − cos 2θ )dθ = [2θ − sen2θ ]04 = 2 ×
4
0
−1
π
4
r = 2sen t
−1 =
π
2
1
−1
− 1 u.a.
2
r = 2cos t
3) Calcule a área interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior ao cardióide r = 2(1 + cos θ)
4) Calcule a área interior ao círculo r = 4 e exterior ao cardióide r = 4(1 − cos θ).
1.3 – Comprimento de Curvas
Seja y = f(x) uma função derivável em [a, b], com f’ contínua. Vamos determinar o comprimento
da curva y = f(x) no intervalo dado. A ideia é aproximar a curva por segmentos de reta e somar os
comprimentos desses segmentos.
Para isto, subdivida o intervalo [a, b] em subintervalos
y
y = f(x)
[xi, xi+1], i = 1, …,n. Em cada subintervalo da subdivisão,
escolha um ponto, digamos xi, e considere o ponto sobre a
curva (xi , f(xi)). Temos que o comprimento de cada segmento de
reta que liga os pontos (xi, f(xi)) e (xi, f(xi)) é dado por
x
2
2
xi +1 − xi + f ( xi +1 ) − f ( xi )
(7)
a
b
Do Teorema do Valor Médio, temos que:
(
) (
)
f ( xi +1 ) − f ( xi ) = f ' ( ci ) ⋅ ( xi +1 − xi ),
Substituindo em (7), obtemos:
(x
)
(
− xi + f ' ( ci ) xi +1 − xi
2
i +1
=
)
)
(1 + f ' ( c ) ) (x
2
=
(x
ci ∈ ( xi +1 − xi )
− xi (1 + f ' ( ci ) 2 )
2
i +1
2
i
i +1
− xi
)
Somando estes comprimentos, temos:
n
∑
i =1
Se tomarmos g ( x ) =
(
(1 + f ' ( ci ) 2 ) xi +1 − xi
)
1 + f ' ( x ) 2 , temos a soma de Riemann da função g e passando o
limite quando n → ∞, podemos definir, quando este limite existir, o comprimento da curva C, y = f(x),
como sendo
b
C = ∫ 1 + f ' ( x ) 2 dx
a
Suponhamos que a curva seja dada na sua forma paramétrica x = f(t) e y = g(t), com t ∈ [a, b], f e
g deriváveis, com derivadas contínuas. Repetindo o mesmo raciocínio anterior, obteremos que o
comprimento C da curva será dado por
b
∫a
C =
f ' ( t ) 2 + g' ( t ) 2 dt
Observação: Sejam x = x( t ), y = y( t ), t ∈ [a , b ] funções deriváveis e t = t( x ) a função inversa de
x = x( t ). Então
y = y (t ( x )) ⇒
pois
dy
y ' (t )
dy y ' (t )
= y ' (t ).t ' ( x ) =
⇒
=
dx
x ' (t )
dx x ' (t )
dt
1
1
= t' ( x) =
⇒ dt =
dx . Logo
dx
x ' (t )
x ' (t )
C=∫
b
x ' (t ) 2 + y ' (t ) 2 dt
a
Suponhamos que a curva seja dada na forma polar, isto é, em coordenadas polares r = f(θ),
θ ∈ [θ1, θ2], com f ' contínua. Sabemos que
x = r cos θ
x = f (θ ) cos θ
⇒
y = rsen θ
y = f (θ ) sen θ
Assim, x' (θ ) = f ' (θ ) cosθ − f (θ ) senθ e y ' (θ ) = f ' (θ ) senθ + f (θ ) cosθ . Logo,
x ' (θ ) 2 = f ' (θ ) 2 cos 2 θ − 2 f (θ ) f ' (θ ) cosθsenθ + f (θ ) 2 sen 2θ
y ' (θ ) 2 = f ' (θ ) 2 sen 2θ − 2 f (θ ) f ' (θ ) cosθsenθ + f (θ ) 2 cos 2 θ
e
x ' (θ ) 2 + y ' (θ ) 2 = f ' (θ ) 2 + f (θ ) 2 .
Portanto, o comprimento C da curva r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], será dado por
C=∫
θ2
f ' (θ ) 2 + f (θ ) 2 dθ
θ1
Exemplo: 1) Calcule o comprimento das curvas abaixo:
3
b) r =
a) y = 1 ( x 2 + 2 ) 2 , 0 ≤ x ≤ 3
3
[ ]
2
, θ ∈ 0 , π3
cos θ
c) x( t ) = e t cos t , y( t ) = e t sen t , 1 ≤ t ≤ 2
Solução: a) O comprimento C da curva dada será dado por:
b
C = ∫ 1 + f ' ( x ) 2 dx .
a
Temos que:
(
()
)
()
1
( ( ))
y = f ( x ) = 13 ( x 2 + 2) 2 ⇒ f ' x = 13 × 23 x 2 + 2 2 × 2 x ⇒ f ' x = x x 2 + 2 ⇒ f ' x
3
2
(
)
= x 2 x 2 + 2 . Logo,
C=∫
3
0
(
)
1 + x x + 2 dx = ∫
2
2
3
0
x + 2 x + 1dx = ∫
4
2
3
0
(x + 1) dx = ∫ (
2
2
b) O comprimento C da curva dada será dado por:
C=∫
θ2
θ1
Temos que:
f ' (θ ) 2 + f (θ ) 2 dθ .
3
0
)
3
⎛ x3
⎞
x + 1 dx = ⎜ + x ⎟ = 12 u.c.
⎜ 3
⎟
⎝
⎠0
2
()
r= f θ =
()
2
2 sen θ
⇒ f'θ =
⇒ r= f θ
cos θ
cos2 θ
( ( )) + ( f ' (θ ))
2
2
=
4
4 sen 2 θ
4
.
+
=
2
4
cos θ
cos θ
cos4 θ
Logo,
C=∫
π
3
0
(
π
π
4
2
3
3
d
θ
=
d
θ
=
2 sec 2 θ dθ = 2tgθ
4
2
∫
∫
0
0
cos θ
cos θ
)
π
3
0
= 2 3 u.c.
1.9 – Volumes de Revolução
Quando giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos um sólido, chamado sólido de
revolução. A reta em torno da qual a região gira é chamada de eixo de revolução ou eixo de rotação. Por
exemplo, quando giramos a região do plano limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4, em torno do eixo dos
x, obtemos um sólido de revolução chamado de cone. Se girarmos o retângulo limitado pelas retas y = 3,
y = 0, x = 0 e x = 1, em torno do eixo OY, obteremos um sólido de revolução, chamado de cilindro.
Consideremos o seguinte problema: Seja R uma região do plano limitada pela curva y = f(x) e
pelas retas x = a, x = b e y = 0. Vamos calcular o volume V do sólido de revolução S, obtido pela rotação
de R, em torno do eixo OX.
Suponhamos que f seja uma função contínua e não
y
y = f(x)
negativa (f ≥ 0) em [a, b]. Considere uma subdivisão do
intervalo [a, b],
Ri
a = x0 < x1 < …< xi < xi+1 < …< xn = b
x
Sejam Δxi = xi+1 − xi o comprimento de cada intervalo
a
x
x
b
i
i+1
[xi , xi+1], Ri o retângulo de base Δxi, cuja altura é f(ci), onde
ci é um ponto qualquer do intervalo [xi , xi+1]. Quando
giramos o retângulo Ri, em torno do eixo OX, obtemos um
cilindro cujo volume é
π [ f ( ci )]2 Δxi
A soma dos volumes desses cilindros,
n
∑ π [ f ( ci )]2 Δxi
i =0
nos dá uma aproximação do volume do sólido S. Passando o limite quando n → ∞, podemos, se este
limite existir, definir o volume V do sólido S, como sendo
b
V = ∫ π f ( x ) 2 dx .
a
Observações: 1) Suponha que a região R é limitada pelos gráficos das funções f(x), g(x) e pelas retas
x = a e x = b. Admita que f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. Então o volume do sólido S obtido pela rotação de R
em torno do eixo OX é
V =
∫a π [ f ( x )
b
2
]
− g ( x ) 2 dx
2) Se, ao invés de girarmos em torno do eixo OX, girarmos em torno do eixo OY, teremos, neste caso,
que o volume do sólido S será
V =
d
∫c πg( y )
2
dy
3) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OX, de equação y = L.
Neste caso, o volume do sólido S obtido será
V =
b
∫a π [ f ( x ) − L]
2
dx
4) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OY, de equação x = M.
Neste caso, o volume do sólido S obtido será
V =
d
∫c π [g( y ) − M ]
2
dy
Exemplos: 1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada
pela curva y = x2 e pelas retas x = 1, x = 2 e y = 0.
y
Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é
4
dado por:
y = x^2
b
V = ∫ π f ( x ) 2 dx .
3
a
2
Observe que neste caso o raio de rotação é x2, conforme mostra
figura ao lado. Então
V = ∫ π (x
2
1
) dx = π ∫
2 2
2
1
2
⎡x ⎤
⎛ 2 1 ⎞ 31
x dx = π ⎢ ⎥ = π ⎜⎜ − ⎟⎟ = π u.v.
⎣ 5 ⎦1
⎝ 5 5⎠ 5
5
5
R
(x, x^2)
1
raio de rotação = x^2
x
5
4
1
x
2
3
4
5
−1
2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva
y = sen x e pelas retas x = 0, x = π e y = 0.
y
Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é
4
dado por:
b
V = ∫ π f ( x ) 2 dx .
3
a
Observe que neste caso o raio de rotação é (sen x)2, conforme mostra
figura ao lado. Então
π
π
π ⎛ 1 − cos 2 x ⎞
1
sen 2 x ⎤
⎡1
2
V = ∫ π (sen x ) dx = π ∫ ⎜
dx = π ⎢ x −
= π 2u.v.
⎟
⎥
0
0
2
4 ⎦0 2
⎝
⎠
⎣2
2
1
y = sen x
raio de rotação = sen x
x
0
1
x
2
3
pi
4
3) Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região R, em torno do eixo OX, onde R é
limitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2.
Solução:
4) Encontre o volume do sólido S obtido pela rotação da região R, em torno do eixo OY, limitada pelas
curvas y2 = 4x e x = 4.
5) Seja R a região do plano limitada pela curva y = x e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do
sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y = -2.
6) Seja R a região do plano limitada pela curva y = x e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do
sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x = -2.
7) Seja R a região do plano limitada pela curva y = x 3 e pelas retas y = 8 e x = 0. Calcule o volume do
sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX.
8) Seja R a região do plano limitada pela curva y = x 2 − 4 x e pela reta y = 0. Calcule o volume do
sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX.
5
9) Seja R a região do plano limitada pela curva y 2 = x e 2 y = x . Calcule o volume do sólido S obtido
pela rotação de R em torno do eixo OY.
10) Seja R a região do plano limitada pela curva y = x 2 e pela reta y = 4. Calcule o volume do sólido S
obtido pela rotação de R em torno de: a) y = 4; b) y = 5; c) x = 2.
11) Calcule o volume de um cone de altura H e raio R.
12) Calcule o volume de uma esfera de raio R.