Aula 23

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aulas no 23: Integração por Partes e Teorema do Valor Médio para as Integrais
Objetivos da Aula
• Apresentar a técnica de integração por partes;
• apresentar o Teorema do Valor Médio para as Integrais;
• Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.
1
Integração por Partes
Suponhamos agora f e g deriváveis em um intervalo I . Logo, segue da regra do produto que
(f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
E integrando no intervalo I , temos que
Z
Z
0
(f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)) dx
Z
Z
f (x)g(x) =
(f 0 (x)g(x) dx + f (x)g 0 (x)) dx
(f (x)g(x)) dx =
E assim, obtemos a regra de integração conhecida como integração por partes, que é dada por
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −
f 0 (x)g(x) dx
(1)
Fazendo u = f (x) e v = g(x), temos que du = f 0 (x) dx e dv = g 0 (x) dx. Assim, a regra de integração por
partes é dada por
Z
Z
u dv = uv −
v du
Vejamos alguns exemplos de aplicação dessa técnica.
Exemplo 1. Determine
Z
x cos x dx.
Solução: Escolhendo u = x e dv = cos x dx, temos que
du = dx e v = sen x
Logo,
Z
x cos x dx = xsen x −
Z
sen x dx = xsen x + cos x + C
Exemplo 2. Calcule
Z
x2 sen x dx.
1
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Solução: Escolhendo u = x2 e dv = sen x dx, obtemos que
du = 2x dx mboxe v = − cos x
logo,
Z
x sen x dx = −x cos x + 2
2
2
Z
x cos x dx
Utilizando o exemplo anterior, temos que
Z
x2 sen x dx = −x2 cos x + 2xsen x + 2 cos x + C
Exemplo 3. Calcule
Z
arctg x dx.
Solução: Tomando u = arctg x e dv = 1 dx, temos que
du =
Logo,
Z
1
dx e v = x
1 + x2
arctg x dx = x arctg x −
Z
x
dx
1 + x2
Fazendo w = 1 + x2 , obtemos que dw = 2x dx e assim,
Z
x
1
dx =
2
1+x
2
E por m,
Z
Z
1
1
1
dw = ln w + C = ln (1 + x2 ) + C
w
2
2
arctg x dx = x arctg x −
1
ln (1 + x2 ) + C
2
Exemplo 4. Calcule
Z
p5 ln p dp.
Solução: Escolhemos u = ln p e dv = p5 dp. Então
du =
Logo,
Z
p5 ln p dp =
p6 ln p 1
−
6
6
Z
1
p6
dp e v =
p
6
1
p6 ln p 1
p6 dp =
−
p
6
6
Z
p5 dp =
p6 ln p p5
−
+C
6
36
Exemplo 5. Calcule
Z
ln x dx.
Solução: Vamos considerar u = ln x e dv = 1 dx. Logo, obtemos que
du =
Logo,
Z
Z
ln x dx = x ln x −
1
dx e v = x
x
1
x dx = x ln x −
x
Z
dx = x ln x − x + C
Exemplo 6. Calcule
Z
ex cos x dx.
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Solução: Escolhemos u = ex e dv = cos x dx. Logo,
du = ex dx e v = sen x
Então,
Z
ex cos x dx = ex sen x −
Z
(2)
ex sen x dx
Agora, aplicando a integração por partes na integral do segundo membro da equação acima, escolhemos
u = ex e dv = sen x dx. Logo,
du = ex dx e v = − cos x dx
Sendo assim, temos que
Z
e sen x dx = −e cos x +
x
x
Z
(3)
ex cos x dx
Substituindo (3) em (2, obtemos que
Z
ex cos x dx = ex sen x + ex cos x −
Logo,
Z
Z
ex cos x dx
ex cos x dx = ex sen x + ex cos x
2
garantindo que
Z
ex cos x dx =
1 x
(e sen x + ex cos x)
2
Exemplo 7. Calcule
Z
(ln x)2 dx.
Solução: Para essa questão podemos resolver escolhendo u = (ln x)2 e dv = 1 dx. Logo,
du =
logo,
Z
2
2
(ln x) dx = x(ln x) −
2 ln x
dx e v = x
x
Z
2 ln x
x dx = x(ln x)2 −
x
Z
2 ln x dx
Utilizando o Exemplo 24, temos que
Z
(ln x)2 dx = x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C
Antes dos próximos exemplos, se faz necessário determinar a integração por partes para integrais denidas. A prova desse resultado é análoga ao do início dessa seção. Supondo f, g funções com derivadas
contínuas em um intervalo [a, b], então vale
Z
a
b
b Z b
f 0 (x)g(x) dx
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −
0
a
a
Da mesma forma, podemos reescrever a fórmula acima como
Z
a
Exemplo 8. Calcule
Z
3
b
b Z b
u dv = u(x)v(x) −
v du
a
a
x3 ln x dx.
1
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Solução: Escolhendo u = ln x e dv = x3 dx, temos que
1
x4
dx e v =
x
4
du =
Logo,
3
Z
1 3 4 1
x dx
x −
4 1
x
1
Z 3
81 ln 3
1
81 ln 3 1
x3 dx =
−
− (81 − 1)
4
4 1
4
16
81 ln 3
−5
4
3
Z
1 4
x ln
4
3
x ln x dx =
1
=
=
Exemplo 9. Calcule
1
2
Z
arcsen x dx.
0
Solução: Escolhemos u = arcsen x e dv = 1 dx. Logo,
du = √
Desse modo,
1
2
Z
0
1
dx e v = x
1 − x2
1 Z 1
2
2
x
√
arcsen x dx = xarcsen x −
dx
1 − x2
0
0
Aplicando uma substituição de w = 1 − x2 , temos que dw = −2x dx e também que x = 0 ⇒ u = 1 e
x=
1
3
⇒ u = . Logo,
2
4
Z
1
2
0
x
√
dx = −
1 − x2
1
= −
2
=
1
Z
3
4
1 1
√ du
2 u
1
Z
1
u− 2 du
3
4
1
1
1
2
− .2u =
2
3
√
3
−1
2
!
4
Dessa forma, temos que
1
2
Z
0
1
arcsen x dx = arcsen
2
√
√
1
3
π
3
+
−1=
+
−1
2
2
12
2
Exemplo 10. Calcule
Z
1
t cosh t dt.
0
Solução: Escolhendo u = t e dv = cosh t dt, temos que
du = dt e v = senh t
Logo,
Z
0
1
1 Z
t cosh t dt = tsenh t −
0
0
1
senh t dt = senh 1 − cosh(1) + cos(0) = 1 −
1
e
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Exemplo 11. Calcule
π
Z
o
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ecos t sen 2t dt.
0
Solução: Primeiramente, faremos uma substituição antes de utilizar a integração por partes. Note que
sen 2t = 2sen t cos t. Logo,
Z
π
cos t
e
sen 2t dt =
π
Z
0
ecos t 2sen t cos t dt
0
Então, fazendo w = cos t, temos que dw = −sen t e também que t = 0 ⇒ w = 1 e t = π ⇒ u = −1.
Desse modo,
Z π
Z π
Z 1
ecos t sen 2t dt =
ecos t 2sen t cos t dt = 2
0
wew dw
−1
0
Agora, utilizando a integração por partes com u = w e dv =
ew
dw, obtemos que
du = dt e v = ew
Dessa forma,
Z
1
w
1
−1
w
Z
−
we dw = we −1
Sendo assim,
π
Z
1
1
1
2
ew dw = e + − e + =
e
e
e
−1
ecos t sen 2t dt =
0
4
e
2
Teorema do Valor Médio para as Integrais
Denição 1 (Valor Médio de uma Função). O valor médio de uma função f no intervalo [a, b] é denido
por:
1
fmed =
b−a
Z
b
f (x) dx.
a
Exemplo 12. Encontre o valor médio da função f (x) = 1 + x2 no intervalo [−1, 2].
Solução: Com a = −1 e b = 2, temos:
1
fmed =
2 − (−1)
2
1
x3
(1 + x ) dx =
x+
= 2.
3
3 −1
−1
Z
2
2
Exemplo 13. O custo unitário C = C(x) para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado
por C(x) = 25 − 0.2x + 0.5x2 + 0.03x3 , onde x é o tempo em meses. Determine o custo unitário médio
durante o período.
Solução: Note que 0 ≤ x ≤ 120, logo:
1
Cmed =
120 − 0
Z
120
(25 − 0.2x + 0.5x2 + 0.03x3 ) dx = 15373.
0
Exemplo 14. Uma distribuidora estoca 24000 caixas de seu principal produto para as vendas de natal.
Em geral, as vendas são baixas no início do mês de dezembro e à medida que se aproxima o dia 24,
as vendas aumentam de tal modo que após x dias desde primeiro de dezembro o estoque é dado por
f (x) = 24000 − 3x3 , 1 ≤ x ≤ 20. Determine o número médio de caixas disponível no período de 20 dias.
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Solução: Neste caso, a = 1 e b = 20. Temos que:
20
Z
1
fmed =
20 − 1
24000 − 3x3 dx =
1
70737
≈ 17684, 3.
4
Teorema 1 (Teorema do Valor Médio para Integrais). Se f for contínua em [a, b], então existe um número
c em [a, b] tal que
1
f (c) = fmed =
b−a
ou seja,
Z
Z
b
f (x) dx,
a
b
f (x) dx = f (x)(b − a).
a
Exemplo 15. No Exemplo 12, calculamos o fmed =2 para a função f (x) = 1 + x2 . Como esta função é
contínua no intervalo [−1, 2], o Teorema do Valor Médio para integrais indica que existe um número c em
[−1, 2] tal que
Z
2
(1 + x2 ) dx = f (c)[2 − (−1)].
−1
Neste caso particular, podemos encontrar c:
1 + c2 = 2 ⇔ c = ±1.
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 369 − 374 e 420 − 423 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 374 − 375 e 223 − 225 na seção de apêndices do livro texto.
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