PROVA DE FÍSICA 1O ANO ENSINO MÉDIO

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Curso e Colégio Anchieta
ESPECÍFICAS
PROFESSOR: Samy
DISCIPLINA: Matemática
01 - (PUC RJ/Janeiro/2006)
A área delimitada pelos eixos
a) 3
b) 2
c) 3,5
d) 2,5
e) 1,5
x 0 , y0
e pelas retas
x  y 1
e
2x  y  4
é:
Gab: C
02 - (UFG GO/1ªFase/2006)
Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0,0), B(0,2),
C(4,2), D(4,0) e E(x,0), onde 0  x  4 . Considerando os segmentos BD e , CE obtêm-se
os triângulos T1 e T2, destacados na figura.
Para que a área do triângulo T1 seja o dobro da área de T2, o valor de x é:
a) 2  2
b) 4  2 2
c) 4  2
d) 8  2 2
e) 8  4 2
Gab: B
03 - (PUC PR/2006)
Um triângulo ABC ,cujos lados AB e AC têm a mesma medida, pode ser representado
no sistema cartesiano pelos pontos A(0,8) , B(0,18) e C(x,0) sendo x positivo.
A área do triângulo é:
a) 30
b) 24
c) 54
d) 40
e) 72
Gab: A
04 - (UDESC SC/2005)
A área do triângulo formado pelas retas
a) 20ua
b) 10ua
c) 12ua
d) 24ua
y  4x  8 , y  7  x
e o eixo das abscissas é:
e) 40ua
Gab: B
05 - (PUC MG/2005)
Considere a região do plano cartesiano formada pelos pontos cujas coordenadas
satisfazem ao sistema
0  x  2

y  x
y  2x  2

. Tomando-se o metro como unidade de medida nos
eixos coordenados, essa região é um trapézio com
A metros quadrados.
Então o valor de A é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
2m
de altura e área igual a
Gab: D
06 - (PUC RS/Julho/2005)
Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas
de um cubo conforme a figura a seguir. Se a aresta do cubo é dada por a, a área do
hexágono é
a)
b)
c)
d)
e)
3a 2
2
3a 2
2
3a 2
4
3a 2
4
3a 2
2
2
2
3
3
Gab: D
07 - (UEPB PB/2005)
A área de uma região triangular com vértices determinado pelos pontos A(1, –2), B(1,
2) e C(3, 0) é:
a) 6 u.a.
b) 4 u.a.
c) 5 u.a.
d) 3 u.a.
e) 7 u.a.
Gab: B
08 - (Unifap AP/2005)
A área do triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0), B(1,4) e C(0,2) é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
Gab: B
09 - (Fuvest SP/2ªFase/2005)
Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é
positivo. Sabendo- se que a área do triângulo retângulo ABC é 5 , determine o valor de
2
m.
Gab:
m  2
5 2
2
10 - (UFRRJ RJ/2005)
Um projeto bem diferente deveria ser desenvolvido pelos candidatos inscritos em um
concurso para arquiteto. O vencedor dessa modalidade foi aquele que determinou a
área da região triangular cujos vértices representaram-se pelos pontos A = (2, 1, 1); B
= (1, 2, 0) e C = (1, 0, 1).
Determine a área correta encontrada pelo arquiteto.
Gab:
26
u a
2
11 - (Unimontes MG/2005)
Encontre a área do polígono de vértices em A(3, 3), B(5, 5), C(4, 4) e D(0, 6).
Gab:
12 - (UFAC AC/2004)
O último campeonato brasileiro de futebol foi disputado por 24 equipes, com jogos de
ida e volta, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada um dos seus 23
adversários. A computação dos pontos se deu de acordo com o seguinte critério: 3
pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto, em caso de derrota.
Considere que uma equipe, ao final do campeonato, somou 90 pontos e foi derrotada
8 vezes. O número de vitórias da equipe foi:
a)
b)
c)
d)
e)
25
30
29
35
26
Gab: E
13 - (Fuvest SP/1ªFase/2004)
Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD,
representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo,
construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a,0).
O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a)
b)
c)
d)
e)
5 1
52 2
5 2
2 5
5 2 2
Gab: B
14 - (ITA SP/2003)
Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região
interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo eqüilátero PQR, cujos
vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm 2, a:
a) 3 15
b) 7 3
c) 5 6
d)
e)
15
3
2
7
15
2
Gab: B
15 - (UFMG/MG/2003)
Considere as retas cujas equações são
y = –x + 4 e
y = mx em que m é uma constante positiva.
Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas
é:
a)
4m 2
2m  1
b) 4m2
c) 8m
d)
m 1
2 m  10
2m  1
Gab: C
16 - (Mackenzie SP/2002)
Pelo vértice da curva y = x2 – 4x + 3, e pelo ponto onde a mesma encontra o eixo das
ordenadas, passa uma reta que define com os eixos um triângulo de área:
a) 2
11
4
3
c)
4
b)
d) 3
e)
9
4
Gab: E
17 - (UFU/MG/Janeiro/2002)
Considere a figura abaixo, em que as retas r e s são tangentes à circunferência de raio
2 cm.
s
y
t
C
B
60º
-2
2
r
x
A
A área do triângulo ABC é igual a
a) 6 cm2
b) 6 3cm2
c) 4 3cm2
d) 3 3cm2
Gab: B
18 - (Fuvest SP/2ªFase/2002)
Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de
lado 4 cm e altura 20 3cm , com 2 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre
3
uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral
abaixo).
Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.
Gab: h = 21 cm
19 - (Unicamp/SP/2001)
Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC?
Gab.:
a) A(3, 1), B(-3, 1), C(5,5).
b) 12 u.a.
20 - (PUC RJ/Janeiro/2001)
Qual a área do triângulo delimitado pelos pontos (0, 0), (2, 2), e (1, 3)?
Gab: 2
21 - (Acafe SC/2000)
A área do quadrilátero abaixo, em unidades de área, é:
y
B
8
A
3
-1
a)
b)
c)
d)
e)
C
5
D
2
4
x
20
25
15/2
15
25/2
Gab: E
22 - (PUC RS/Janeiro/2000)
A área do polígono ABCD, onde A (2, 2), B (6, 6), C (4, 8) e D (0, 6) são os seus
vértices, é
a)
b)
c)
d)
e)
3
6
12
18
36
Gab: D
23 - (UFU/MG/Janeiro/2000)
Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C
têm coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente. Se M e N são pontos médios
de AB e BC , respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a
a) 53 u.a
b)
8 u.a
5
c) 1 u.a
d) 32 u.a
Gab: D
01 - (Fuvest SP/1ªFase/2006)
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem
t | x  y | , consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
t2  t  6  0 ,
onde
Gab: B
02 - (UECE CE/1ªfase/Janeiro/2005)
Na linha poligonal PQRSTU, plana e aberta como mostra a figura, dois segmentos
consecutivos são sempre perpendiculares, a medida de PQ é 1m e, a partir de QR,
inclusive, os demais comprimentos dos segmentos são obtidos, dobrando o valor do
segmento anterior.
A distância do ponto P ao ponto U, em metros, é:
a) 205
b) 215
c) 15
d) 235
Gab: A
03 - (Mackenzie SP/Grupo-II/2005)
Uma reta passa pelos pontos (,0) e (0,b), sendo que o seu coeficiente angular é a
raiz de um polinômio de grau 1 com coeficientes inteiros e não nulos. Então,
necessariamente, b é um número:
a) inteiro par.
b) inteiro ímpar.
c) racional positivo.
d) racional negativo.
e) irracional.
Gab: E
04 - (UECE CE/1ªfase/Janeiro/2005)
Os pontos X, Y, Z, W, distintos e colineares, são tais que Y é o ponto médio do
segmento XW e Z é o ponto médio do segmento YW. A razão entre as medidas dos
segmentos XY e XZ é:
a) 1
b)
3
2
3
c)
d)
3
4
1
2
Gab: B
05 - (UDESC SC/2005)
O perímetro de um terreno triangular cujas medidas dos lados representam a
progressão aritmética de termos x  1 , 2x e x 2  5 , nessa ordem, é:
a) 26
b) 25
c) 24
d) 28
e) 20
Gab: C
06 - (UFSCar SP/1ªFase/2004)
Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C
localizada 40 km a leste e 20 km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal
de rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância
máxima de 60 km. O ponto mais a leste de C, que está 20 km a norte de T e poderá
receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a
a) 20( 2  1) .
b) 30( 3  1) .
c) 40( 2  1) .
d) 40( 3  1)
e) 50(2  2 ) .
Gab: C
07 - (Fuvest SP/2ªFase/2004)
Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se entre A e C
e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi
marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado
entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km
mais próximo de C do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá
percorrer até o ponto de encontro.
Gab: 60km
08 - (UFSCar/SP/2ªFase/2004)
Os pontos A (3, 6), B (1, 3) e C (xC, yC) são vértices do triângulo ABC, sendo M (xM,
yM) e N (4, 5) pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
a) Calcule a distância entre os pontos M e N.
b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do triângulo ABC.
Gab:
a)
17
2
b) x – 4y + 11 = 0
09 - (Vunesp/SP/2003)
O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é:
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
Gab: B
10 - (UEPB PB/2003)
Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, então a
distância entre A e B é dada por:
a) |a – b|
b) (a – b)2
c) a 2  b 2
d) |a + b|
e) a 2  b 2
Gab: A
11 - (Fuvest SP/2ªFase/2002)
Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se
interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C 1 e C2; a reta s passa por O1 e
O2 e  é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C 1 é 4, o de C2 é 3 e que
1
sen   , calcule:
5
a) a área do quadrilátero O1QO2P;
b) sen , onde   QÔ 2 P
Gab:
a) 12
b) 24
25
12 - (UEL PR/2001)
Os pontos P(1, 3) e Q(6, 3) são vértices do triângulo PQR. Sabe-se que o lado PR
mede 3 cm e o lado QR mede 4 cm.
As coordenadas do ponto R são:
a) (2,8 ; 5,4) ou (2,8 ; 0,6)
b) (2,0 ; 5,4) ou (2,0 ; 0,4)
c) (2,4 ; 5,8) ou (2,4 ; 0,8)
d) (2,8 ; 5,8) ou (2,8 ; 0,4)
e) (2,4 ; 5,0) ou (2,4 ; 0,6)
Gab: A
13 - (UFRRJ RJ/2000)
Em um circo, no qual o picadeiro tem – no plano cartesiano – a forma de um círculo de
equação igual a x² + y² – 12x – 16y – 300  0, o palhaço acidentou-se com o fogo do
malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta, em
direção a um poço com água localizado no ponto ( 24, 32 ).
Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do
picadeiro até o momento em que chega ao poço.
Gab: 10 metros
14 - (Unesp SP/1999)
O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação (x +
2)² + (y – 2)² = 16 é:
a) 4
b) 4 2
c) 2
d) 2 2
e) 2
Gab: B
15 - (UFRJ RJ/1999)
Sejam A(1,0) e B(5, 4 3 ) dois vértices de um triângulo eqüilátero ABC. O vértice C
está no 2o quadrante.
Determine suas coordenadas.
Gab: C = (-3, 4 3 )
16 - (Unifor/CE/Julho/1998)
Sejam os pontos A(3,2) e B(5,4). A medida do segmento de reta
a) 2 10
b) 6
c) 4 2
d) 2 7
e) 2 6
AB
é
Gab: A
17 - (Vunesp SP/Exatas/1998)
Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, –1) e (–3, 4) de um
sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vértice,
se ele pertence ao eixo das ordenadas?
Gab:
23
10
18 - (UFCE CE/1997)
A distância entre o ponto de encontro (interseção) das retas x + y - 2 = 0 e x - y - 4 =
0 e a origem do sistema de coordenadas, (0 , 0), é:
a) 3
b) 7
c) 4
d) 11
e) 10
Gab: E
19 - (UFOP MG/Julho/1997)
Sabe-se que a reta 2x – y + 4 = 0 passa pelo ponto médio do segmento que une os
pontos A(2k, 1) e B(1, k). O valor de k é:
a) 3
b) –3
c) –2
d) 2
e) 0
Gab: B
20 - (UFRJ RJ/1997)
Sejam M1 = (1,2), M2 = (3,4) e M3 = (1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo.
Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
Gab: (-1,-3); (3,7) e (3,1)
21 - (UFG GO/2ªFase/1997)
Seja k > 0 tal que a equação (x2 – x) + k (y2 – y) = 0 define uma elipse com distância
focal igual a 2. Se (p, q) são as coordenadas de um ponto da elipse, com q² – q  0,
então qp ² pq² é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2 5
2 5 .
2 3
2 3
2.
Gab:
a.
y
Q
A
R
B
P
S
x
b) como PA  PB , PAB é um triângulo isósceles.
c) x + y – 3 = 0
22 - (UFF RJ/Julho/1997)
Considere os pontos A (3,2) e B (8,6). Determine as coordenadas do ponto P,
pertencente ao eixo x, de modo que os segmentos P A e P B tenham o mesmo
comprimento.
Gab: P (87/10, 0)
23 - (Unificado/RJ/1994)
O ponto Q é o simétrico do ponto P (x,y) em relação ao eixo dos y. O ponto R é o
simétrico do ponto Q em relação à reta y = 1. As coordenadas de R são:
a) (x, 1-y)
b) (0,1)
c) (-x, 1-y)
d) (-x, 2-y)
e) (y, -x)
Gab: D
24 - (UFU/MG/Janeiro/1993)
Seja r a reta determinada pelos pontos (5,4) e (3,2). Os pontos de r que são
eqüidistantes do ponto (3,1) e do eixo das abscissas são:
a) (6,4) e (2,5)
b) (6,5) e (2,1)
c) (4,3) e (5,4)
d) (6,5) e (2,3)
e) (4,3) e (2,1)
Gab: B
25 - (Cescem)
Sabe-se que A(1, 2) e B(2, 1). A distância do centro do quadrado ABCD à origem é:
a) 0 ou 1
b) 1 ou 2
c) 22 ou 2
d)
e)
Gab: E
2
2
ou 2
ou 2.
2
01 - (UEM PR/Janeiro/2006)
Se uma reta r é perpendicular a um plano  , é incorreto afirmar que
a) r é ortogonal a todas as retas do plano.
b) existem infinitas retas em  , paralelas entre si e ortogonais a r.
c) existem infinitas retas em  perpendiculares a r.
d) existem, pelo menos, duas retas paralelas entre si em  perpendiculares a r.
e) existem infinitas retas paralelas entre si, paralelas a  e perpendiculares a r.
Gab: D
02 - (Furg RS/2005)
Dados os pontos A(2,3), B(4,6) e C(5,1), vértices de um triângulo ABC, considere as
seguintes afirmações:
I. A reta suporte do lado AB passa na origem.
II. A área do triângulo ABC é igual a 7 unidades de área.
III. O triângulo ABC é isósceles.
Quais afirmações estão corretas?
a) apenas a I.
b) apenas a I e a III.
c) apenas a II.
d) apenas a III.
e) todas
Gab: B
03 - (FMTM MG/Julho/2005)
Em relação à figura, sabe-se que as retas r, s e t concorrem no ponto P, r passa pela
origem do sistema de eixos cartesiano ortogonal, s é paralela ao eixo x, t é
perpendicular a r, e o ângulo agudo de inclinação da reta r é .
A equação da reta t, em função de , é
a) xtg2 + ytg – tg2 = 0.
b) xtg + ytg2 – tg2 = 0.
c) xtg2 + ytg – sec2 = 0.
d) xtg + ytg2 – 1 = 0.
e) xtg + ytg2 – sec2 = 0.
Gab: E
04 - (Unioeste PR/2005)
Na figura abaixo, a circunferência tem raio R = 1, as retas r e s são perpendiculares e
interceptam-se no ponto P, onde r tangencia a circunferência. O ângulo  entre s e o
eixo x mede  6 radiano.
Sabendo-se que
 6   1/ 2
sen 
e
 6
cos 
3/2
podemos afirmar que
01. a inclinação da reta s é 3 / 3 .
02. a inclinação de r é  3 .
04. as retas r e s se interceptam no ponto P   2 / 2, 2 / 2 .
08. a equação reduzida de s é y   3 / 2x .
16. a reta r passa pelo ponto 2 3 / 3, 0 .
32. o ângulo  entre a reta r e o eixo x mede 2 3 radianos.
Gab: 51
05 - (UFAC AC/2004)
A medida do menor ângulo entre as retas de equações
y
3
x
3
e
y  ax
é 30º.
Logo, os possíveis valores de a são:
a) a   3 ou a = 0
b) a  3 ou a = 0
c) a = 3 ou a = 1
d) a = –1 ou a = 0
e) a  3 ou a = 1
Gab: B
06 - (FMTM MG/Julho/2004)
O triângulo ABC tem os vértices A (1, 0), B (2, –2) e C (x, y). A reta suporte do
segmento AC tem coeficiente angular mAC = 1, e a do segmento BC tem coeficiente
angular mBC = 2. As coordenadas (x, y) do ponto C são dadas por:
a) (2, –1).
b) (3, 5).
c) (4, –4).
d) (5, 4).
e) (6, –2).
Gab: D
07 - (UESPI PI/2004)
No plano cartesiano xOy, a equação
x 2  5xy  6 y 2  0
representa:
a)
b)
c)
d)
e)
uma elipse.
uma reta.
duas retas concorrentes.
uma hipérbole.
uma parábola.
Gab: C
08 - (EFOA MG/2004)
Sejam r e s retas de equações y  x  1 e y  x  1 , respectivamente, e d a distância entre
elas, dada pela medida do segmento AB indicado na figura abaixo.
Então d é igual a:
a) 2
b) 3
c) 2 2
d) 2 3
e) 3 2
Gab: A
09 - (Furg RS/2003)
Dada uma reta r cuja equação é y = – x + 4, seja s uma reta que não intercepta r e
passa pelo ponto (3, – 1). Então, a equação da reta s é dada por:
a) y = 2x – 7.
b) y = x – 4.
c) y = –2x + 5.
d) y = –3x + 8.
e) y = –x + 2.
Gab: E
10 - (UFAM AM/2003)
Considere as equações:
I.
II.
III.
IV.
2x  y  5  0
5x  2 y  4  0
5x  2 y  4  0
4x  2 y  7  0
Qual das afirmações é verdadeira?
a) II e III representam retas coincidentes
b) I e III representam retas perpendiculares
c) II e III representam retas paralelas
d) I e IV representam retas paralelas
e) I e III representam retas paralelas
Gab: D
11 - (UFMG/MG/2001)
A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não intercepta a reta e equação y  x2  5 .
Considerando-se os seguintes pontos, o único que pertence à reta r é:
a) (7, 6)
b) (7, 13
)
2
c) (7, 7)
d) (7, 15
)
2
Gab: B
12 - (UEPGPR/Janeiro/2001)
Seja um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, onde as equações são
representadas graficamente por duas retas r e s, coplanares. Então, é correto afirmar
que
01. se r  s   , o sistema é impossível.
02. se r  s  s , o sistema é possível e determinado.
04. se r  s  r , o sistema é possível e indeterminado.
08. se r  s   , o sistema é possível e determinado.
16. se r  s  P, o sistema é impossível.
Gab: 05
13 - (UFRRJ RJ/1998)
O valor de m para que as retas r1: y = mx – 3 e r2: y = (m + 2)x + 1 sejam
perpendiculares é:
a) 0.
b) 2.
c) 3.
d) – 1.
e) – 2.
Gab: D
14 - (Unifor/CE/Julho/1998)
As retas de equações 2x  5 y  1  0 e
a) paralelas entre si.
b) perpendiculares entre si.
c) concorrentes no ponto ( 0, 51 ) .
2x  5 y  1  0
d) concorrentes no ponto ( 1, 35 ) .
e) perpendiculares entre si no ponto (1,0).
Gab: C
15 - (UFU/MG/Janeiro/1996)
são
O menor valor real de k para que o triângulo de vértices A(0,0), B(9,3) e C(–1,k) seja
um triângulo retângulo é:
a) 1/3
b) 3
c) 19/3
d) 27
e) 33
Gab: B
16 - (UFOP/MG/Janeiro/1996)
Complete o quadro abaixo, onde r, s, t, u, v são retas distintas do plano. O símbolo ┴ aparece:
r s t
u //


v
s 
a)
b)
c)
d)
e)
3 vezes
4 vezes
5 vezes
6 vezes
7 vezes
Gab: C
17 - (UFOP/MG/Janeiro/1995)
No triângulo ABC onde A = (4,3), B = (1, -3) e C = (2, 3), determine a altura relativa ao
vértice C.
Gab:
4 5
5
18 - (ITA SP/1993)
Dadas as retas (r1):x + 2y – 5 = 0, (r2):x – y – 2 = 0 e (r3):x – 2y – 1 = 0 podemos
afirmar que:
a) são 2 a 2 paralelas
b) (r1) e (r2) são paralelas
c) (r1) é perpendicular a (r3)
d) (r2) é perpendicular a (r3)
e) as três retas são concorrentes num mesmo ponto.
Gab: E
19 - (USP/SP)
Dada a reta y =
é:
a)
b)
c)
d)
y = mx
y = bx
x = my
y = 1 x
e) nda
m
1
.x  b ,
m
a equação da reta perpendicular a esta, passando pela origem
Gab: A
20 - (FGV SP/1ªFase/Administração)
Sabendo que ABC é um triângulo retângulo em B, calcular as coordenadas do vértice
C.
y
A
5
3
B
7
2
-2
a) (5 ; –2)
b) (3 1 ; –2)
x
C
2
c) (4 ; -2)
d) (4 1 ; –2)
2
e) nda
Gab: C
21 - (Mackenzie SP)
Determinar (m), para que as retas: m2x + my + 8 = 0 e 3x + (m+1)y + 9 = 0 sejam
perpendiculares.
a) m = – 1
4
b) m = -1
c) m = -4
d) m = 1
4
e) m = 1
Gab: A
22 - (FEI SP)
Se duas retas ax + by + c = 0 e a’x + b’y + c’ = 0 são perpendiculares, então temos,
necessariamente:
a) a  b
a'
b'
b) a . a’ = b . b’ = –1
c) a . a’ = b . b’ = 0
d)
a a' 1
b b' 1  0
c c' 1
e) nda
Gab: C
23 - (USP/SP)
As retas de equações x – 5y + 1 = 0 e 10y – 2x + 22 = 0:
a) são reversas
b)
c)
d)
e)
concorrem na origem
não têm ponto comum
formam um ângulo de 90o
têm um único ponto em comum
Gab: C
24 - (Santa Casa SP)
As retas x = y e x + y = 1
a) são paralelas
b) contêm, ambas o ponto (0 ; 1)
c) são perpendiculares
d) contêm ambas o ponto (2 ; 2)
e) formam ângulo de 60o
Gab: C
25 - (Mackenzie SP)
As retas dadas pela equação 2x2 – 2y2 + 3x y = 0:
a) são paralelas
b) fazem um ângulo de 45o
c) são perpendiculares
d) determinam com os eixos um triângulo de área 4
e) nenhumas das anteriores está correta.
Gab: C
01 - (UEM PR/Janeiro/2006)
Uma esteira rolante de um supermercado com dois andares faz um ângulo de 30º com o plano
determinado pelo piso inferior. Assinale o que for correto, considerando o comprimento da esteira 12
metros.
a) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai ao piso superior se eleva 6 (seis) metros.
b) Faltam dados para se calcular a altura total que uma pessoa se eleva ao ir do piso inferior ao piso
superior utilizando a esteira.
c) Se uma pessoa caminha 2 metros na esteira durante o percurso entre o piso inferior e o piso
superior, então a pessoa se eleva, no total, 5 (cinco) metros.
d) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai ao piso superior se eleva 6 3 metros.
e) Se uma pessoa caminha 2 metros na esteira durante o percurso entre o piso inferior e o piso
superior, então a pessoa se eleva, no total, 5 3 metros.
Gab: A
02 - (Mackenzie SP/Grupo-IV/2005)
Num retângulo de lados 1 cm e 3 cm, o seno do menor ângulo formado pelas diagonais é:
a)
b)
c)
d)
e)
4
5
3
5
1
5
1
3
2
3
Gab: B
03 - (Unifor/CE/Julho/1999)
Na figura abaixo CD // AB , CD  12 m e AB  48 m.
C
A
30°
B
A medida do segmento AD , em metros, é aproximadamente igual a
a) 78
b) 74
c) 72
d) 68
e) 64
Gab: D
04 - (Unifor/CE/Julho/1999)
Na figura abaixo têm-se os triângulos retângulos ABC, BCD e BDE.
D
E
1 cm
D
1 cm
C
1 cm
A
B
2 cm
Se os lados têm as medidas indicadas, então a medida do lado BE , em centímetros, é
a) 7
b) 6
c) 5
d) 2
e) 3
Gab: A
05 - (PUC Campinas/1998)
Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º com a
horizontal, como mostra a figura abaixo:
T
60º
A
30º
X
Y
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da torre? (Se
necessário, utilize 2  1,4 e 3  1,7 ).
a) 30m
b) 32m
c) 34m
d) 36m
e) 38m
Gab: C
06 - (PUC MG/2000)
Na figura, o raio da circunferência mede r. A função f que expressa a medida da área do triângulo de
vértices A, B e C em função de r é:
A
45º
C
45º
B
a) f(r) = 1 r2
4
b) f(r) = 1 r2
3
c) f(r) = 1 r2
2
d) f(r) = r2
e) f(r) = 2r2
Gab: C
07 - (UFU/MG/Janeiro/2001)
Considerando que na figura abaixo BC = 2cm, a área do triângulo eqüilátero ABD é igual a
D
12
0
6
0
3
0
A
a)
B
C
3
cm 2
3
2
b) 3 3cm
c)
3cm 2
d)
3
cm 2
2
Gab: C
08 - (UFPB PB/1994)
No triângulo retângulo desenhado ao lado, calcule tgĈ.
A
13
C
12
B
Gab: tgĈ = 5/12
09 - (Unifor CE/Janeiro/2000)
Na figura abaixo tem-se um observador O, que vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45°. A partir
desse ponto, afastando-se do prédio 8 metros, ele atinge o ponto A, de onde passa a ver o topo do
7
mesmo prédio sob um ângulo  tal que cot g   .
6
4
5
°
A altura do prédio, em metros, é
a) 30 3
b) 48
c) 20 3
d) 24
e) 20 3
Gab: B

O
A
10 - (Unifor/CE/Julho/2000)
O losango ABCD tem seus quatro vértices localizados sobre os eixos cartesianos, como mostra a
figura abaixo.
y
B
C
A
x
D
Se seus ângulos internos medem 60º e 120º e sua diagonal maior mede 8 cm, então o ponto B é o
ponto

3
a)  0 ; 


2 
2 3

b) 
; 0
 3



 2 3

c)  0 ;


3 
4 3

d) 
; 0
 3



 4 3

e)  0 ;


3 
Gab: E
11 - (Furg RS/2000)
Na figura abaixo, as retas r e s representam duas estradas que se cruzam em C, segundo um ângulo
de 30°. Um automóvel estacionado em A dista 80 m de um outro estacionado em B. Sabendo que o
ângulo BÂC é 90°, a distância mínima que o automóvel em A deve percorrer até atingir o ponto B
seguindo por s e r é:
r
B
C
A
s
a) 80 m
b) 160 m
 
80 2  3  m.
c) 80 1  3 m.
d)
e) 240 3 m.
Gab: D
12 - (PUC PR/2000)
Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto
AC no diâmetro, vale:
B
A

O
C
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
3 3
4
3/2
3
2
3 3
8
Gab: E
13 - (UEL PR/2001)
Um topógrafo que necessitava medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, procedeu da seguinte
forma: de um ponto X, situado na beira do rio, avistou o topo de uma árvore na beira da margem oposta,
sob um ângulo de 45° com a horizontal. Recuando 30 m, até o ponto Y, visou novamente o topo da
mesma árvore, registrando 30° com a horizontal. Desconsiderando a altura do topógrafo e sabendo que
a árvore e os pontos X e Y estão alinhados perpendicularmente ao rio, é correto afirmar que a largura
aproximada do rio, em metros, é:
a) 6  3


b) 15 2  1
c) 15 2
d) 30 6  3
e)

30

2  1
Gab: C
14 - (UFPR/PR/2001)
Um instrumento para medir o diâmetro de pequenos cilindros consiste em um bloco metálico que tem
uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme ilustração abaixo. O cilindro é colocado na
fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que na escala corresponde ao ponto de
tangência entre o cilindro e o segmento AB. Ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2
corresponde a um certo ponto de AB. Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar:
B
3
2

1
A
2
01. x é igual a
cm.
tg( / 2)
02. x é igual a
1
cm.
tg( / 2)
03. Se a medida de  for 90º, então x será igual a 2 cm.
04. Quanto menor for o ângulo , maior será a distância x.
Gab: FVFV
15 - (Cefet PR/2001)
Calculando o valor de “x” na figura a seguir, obtém-se:
180 32
2 2 ,5 o
45o
x
a) 720 2 .
b) 720 .
c) 360 2 .
d) 360 .
e) 180 2 .
Gab: B
16 - (ITA SP/1993)
Num triângulo ABC retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD
mede l cm e que o ângulo DÂC mede  graus então a área do triângulo ABC vale:
a)
l2
2
sec  tg
b)
l2
2
sec 2  tg
c)
l2
2
sec  tg 2 
d)
l2
2
cos sec  cotg
e)
l2
2
cos sec 2  cotg
Gab: B
17 - (UnB/DF/Julho/1991)
Um observador, estando a L metros da base de uma torre, vê seu topo sob um ângulo de 60°.
1
 3 2
Afastando-se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 30°. Determine   h onde h é a
4
altura da torre.
Gab: 75 m
18 - (UnB/DF/Janeiro/1996)
Eratóstenes foi um grande matemático grego que viveu no século II a.C. e conseguiu calcular a medida
da circunferência da Terra, medindo comprimento das sombras de um estaca. Um procedimento
semelhante pode ser usado para calcular a altura da Torre de Televisão de Brasília, a partir de sua
sombra. Suponha que, no dia 23 de setembro, os raios solares, que são considerados paralelos,
incidem, ao meio-dia, perpendicularmente sobre a superfície da Terra ao longo da linha do Equador.
Nessa data, que marca o equinócio da primavera, a sombra projetada pela Torre, ao meio-dia, mede 58
m. Sabe-se que a Torre está situada no paralelo 15 de latitude sul, isto é, a 15° ao sul do Equador.
26
Tomando
como valor aproximado para 3 , calcule, em decâmetros, a altura da Torre e
15
desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
Gab: 21
19 - (UnB/DF/Julho/1999)
Leia o texto abaixo
Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o traçado de mapas
geográficos é a projeção estereográfica, que consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre um
plano  perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu pólo Sul. Mais precisamente, a
projeção de um ponto P da esfera é um ponto P1 de , obtido pela interseção com plano  da reta
determinada por P e pelo pólo Norte. Essa construção está representada na figura ao lado, em que O é
centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo paralelo a A é o ponto médio do segmento M’ Q’,
sendo M’ e Q’ as projeções dos pontos M e Q, respectivamente.
.
.. . .
`.
. . .
.
.`
.`
Eixo ligando o pólo Norte
(N) ao pólo Sul (S)
N
O
Q
M
P
Q

S
A
P
M
Com base nas informações acima, julgue os itens seguintes.
01. A imagem de um meridiano da esfera pela projeção esteriográfica está contida em uma reta que
passa pelo ponto S.
02. A imagem do equador pela projeção estereográfica é um círculo de centro S e de raio igual ao
quádruplo do raio do equador.
03. O plano NAS é perpendicular aos planos M’NQ’ e .
04. Os ângulos M’NQ’ e M’SQ’ são iguais.
Gab: VFVF
20 - (UEPGPR/Janeiro/2000)
Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um
barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados,
assinale o que for correto.
C
O
30
D
.
.
A
B
01. AC = 10 km
02. AD = 2,5 km
04. BC = 5 3 km
08. O ângulo BÂD mede 60º
16. A velocidade média do barco é de 15 km/h
Gab: 31
21 - (Mackenzie SP/2006)
Na figura, se A  (m;0) , B  (n;0) e C  (4;0) , então 3n  m é igual a
a)
15
2
b) 8
c) 5 3
d) 9
e)
25
3
Gab: B
22 - (Uniube/MG/1998)
No quadrilátero ABCD, representado na figura, os ângulos internos  e Ĉ são retos, os ângulos CD̂B e
AD̂B medem, respectivamente, 45º e 30º e o lado CD mede 2 cm. Os lados AD e AB medem,
respectivamente
A
D
B
C
a)
5cm e
3cm
b)
5cm e
2cm
c)
6cm e
5cm
d)
6cm e
3cm
e)
6cm e
2cm
Gab: E
23 - (UEL PR/2001)
Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na figura abaixo, sabe-se que CD = 2.BC e que
a distância de D a E é 12m. Então, a distância de A a C, em metros, é:
B
A
60º
C
30º
E
a)
b)
c)
d)
e)
6
4
3
2
1
Gab: C
24 - (UERJ RJ/1994)
D
Observe a figura abaixo (ABCD), que sugere um quadrado de lado a, onde M e N são, respectivamente,
os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN.
y
.
M
D
.
C
a
N
F
B
A
x
Utilizando esses dados, resolva os itens A e B.
a) Demonstre que o ângulo AFN é reto.
b) Calcule a área do triângulo AFN em função de a.
Gab:
a) O triângulo BAN é congruente ao triânguloADM.
[ AB = AD = a e AN = DM = a/2 ]. O ângulo ABN é igual a MAD =  e o ângulo ANB é igual a DMA = .
Como  +  = 90o  que o ângulo AFN é igual a 90o.
1 a2 a2

5 4
20
b) área  .
25 - (UERJ RJ/1997)
Observe a figura I, onde ABC é um triângulo retângulo e {r, s, t, u) é um feixe de retas paralelas
equidistantes.
.
Figura-I
A
5
r
s
5
t
.
5
u
C
25
B
A figura I foi dobrada na reta (t), conforme ilustra a figura II.
Figura -II
A
.
Q
P
B
.
M
C
´
A Nova posição de A
Calcule.
a) a área do triângulo A'BM, hachurado.
b) o seno do ângulo  = BP̂A' .
Gab:
a) 12 u. a
b) senθ 
24
25
01 - (Mackenzie SP/2006)
A soma das soluções da equação 2 cos 2 x  2 cos 2x  1  0 , para 0  x  2 , é
a) 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Gab: D
02 - (UFSCar SP/1ªFase/2000)
Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a
distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere  = 3,14)
a) 37,7 cm.
b) 25,1 cm.
c) 20 cm.
d) 12 cm.
e) 3,14 cm.
Gab: B
03 - (EFEI MG/2001)
O dispositivo de segurança (segredo) de um cofre tem o formato da figura ao lado, onde as posições A,
B, …, L estão igualmente espaçadas e a posição inicial da seta, quando está fechada, é a indicada.
E
D
C
B
F
G
A
L
H
I
J
K
Para abrir esse cofre são necessárias cinco operações, girando o dispositivo de modo que a seta seja
colocada dos seguintes ângulos:
2 no sentido anti-horário;
I.
II.
III.
IV.
V.
3
3 no sentido horário;
2
5 no sentido anti-horário;
2
3 no sentido horário;
4
 no sentido anti-horário.
3
Pode-se, então, afirmar que o cofre será aberto quando a seta estiver indicando:
a) o ponto médio entre G e H.
b) algum ponto entre J e K.
c) o ponto médio entre C e D.
d) a posição I.
e) a posição A.
Gab: B
04 - (UFPA PA/2000)
Na figura abaixo, temos duas circunferências concêntricas. O raio da circunferência maior mede 24m e
o da menor 12m. Com relação ao comprimento, em metros, dos arcos A, B e C, é correto afirmar que
a)
a)
c)
d)
e)
A = 2B – C
A = 2B – 3C
A = 2B – 3C/2
A = 2B – C/4
A = 2B – 2C
Gab: E
05 - (UnB/DF/Julho/1998)
Ana e Maria estão se divertindo em uma roda-gigante, que gira em sentido anti-horário e possui oito
lugares eqüidistantes. Inicialmente, a roda encontra-se na posição indicada na figura ao lado, estando
Maria na parte inferior e Ana ã meia altura entre as partes inferior e superior da roda.
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir:
01. A roda deve girar 90o para que Ana alcance o topo.
02. Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical, após a roda ter girado 225 o a partir do
momento inicial.
03. Se a distância entre os pontos de sustentação das cadeiras de Ana e Maria for igual a 4 2 m ,
então a circunferência que contém esses pontos e tem centro coincidente com a da roda-gigante
possui diâmetro maior que 9m.
Gab: VVF
06 - (FMTM MG/Julho/2003)
Sabendo-se que o seno de 53° é aproximadamente 0,8 e usando-se a expressão para sen ( – ), o
valor de sen 23° pode ser aproximado por:
a) 0,2 2  0,1
b)
0,4 3  0,3
c)
0,5 2  0,2
d)
0,6 3  0,3
e)
0,8 2  0,1
Gab: B
07 - (UERJ RJ/1992)
Um triângulo tem lados 3, 4 e 5. A soma dos senos dos seus ângulos vale
a) 1,4.
b) 1,5.
c) 1,8.
d) 2.
e) 2,4.
Gab: E
08 - (UFCE CE/1997)
Um relógio marca que faltam 15 minutos para as duas horas. Então, o menor dos dois ângulos
formados pelos ponteiros das horas e dos minutos mede:
a) 142º 30’
b) 150º
c) 157º 30’
d) 135º
e) 127º 30’
Gab: A
09 - (UFJF MG/1997)
Escrevendo os números reais x  sen
a)
b)
c)
d)
e)




, y  sen , z  cos e w  cos em ordem crescente, btêm-se:
5
7
5
7
x, y, w, z
y, x, z, w
y, x, w, z
w, z, x, y
z, w, y, x
Gab: B
10 - (PUC RS/Julho/2004)
Na circunferência representada a seguir, o valor de r para qualquer valor de  é:
a)
b)
c)
d)
e)
sen()
cos()
tan()
sen2() + cos2()
tan2() +1
Gab: D
11 - (UECE CE/1ªfase/Julho/2004)
As retas na figura interceptam-se duas a duas nos pontos P, Q e R. Considerando os valores indicados,
o ângulo  é igual a:
a)
b)
c)
d)
101º
102º
103º
104º
Gab: A
12 - (UFCE CE/1997)
Um relógio marca que faltam 15 minutos para as duas horas. Então, o menor dos dois ângulos
formados pelos ponteiros das horas e dos minutos mede:
a) 142º 30’
b) 150º
c) 157º 30’
d) 135º
e) 127º 30’
Gab: A
13 - (UFMT/MT/2002)
Considere que os ponteiros menor e maior de um relógio medem, respectivamente, 50cm e 80cm.
Calcule a distância entre suas extremidades quando o relógio estiver marcando 14:00h.
Gab: 70
14 - (PUC MG/2005)
No momento em que sai de casa, André, que tem 1,80 m de altura AB , enxerga o topo de uma velha
mangueira do sítio onde reside sob um ângulo de 30º com a horizontal. Após caminhar 8 m em direção a
essa árvore, ele vê o topo da mesma sob um ângulo de 60º.
Se necessário, use
3  1,73 .
Com base nessas informações, pode-se estimar que a altura, MP , dessa mangueira, em metros, é
aproximadamente igual a:
a)
b)
c)
d)
6,45
7,38
7,94
8,72
Gab: D
15 - (PUC RJ/Janeiro/2006)
Seja ABC um triângulo eqüilátero de área 30 cm 2. Seja PQR um triângulo eqüilátero com P no lado BC,
Q no lado CA e R no lado AB. Dado que o ângulo CPQ é igual a 90º, determine:
a) os ângulos AQR e BRP.
b) a área do triângulo PQR.
Gab:
Por simetria os ângulos CPQ, AQR e BRP são iguais. Temos que:
2
3
CB=CP+PB=CP+CQ donde CQ  AC . Mas CQ=2CP, logo, QP 
Logo a área de PQR é
1
da área de ABC, ou seja, 10 cm 2.
3
16 - (Mackenzie SP)
Convertendo–se 30°15’ para radianos, ( = 3,14) obtém–se:
a) 0,53
b) 30,15
c) 1,10
3
32
1
CQ 
AC 
AC
2
2 3
3
d) 3,015
e) 0,26
Gab: A
17 - (ITA SP)
Transformar 12° em radianos.
Gab: 0,209 rad
18 - (Fuvest SP/1ªFase)
Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad.
Gab: 6°
19 - (Mapofei SP)
Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas e 15 minutos.
Gab: 22°30’
20 - (PUC SP)
Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12 horas e 15 minutos.
Gab: 82°30’
21 - (Osec SP)
Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9 horas e 10 minutos
Gab: 145°
22 - (ITA SP)
O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é:
a) 142,30’
b) 142°40’
c) 142°
d) 142°30’
e) nenhumas das respostas anteriores
Gab: D
23 - (Fuvest SP/1ªFase)
O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é:
a) 27°
b) 30°
c) 36°
d) 42°
e) 72°
Gab: C
24 - (Poli SP)
Um homem inicia viagem quando os ponteiros do relógio estão juntos entre 8 e 9 horas; termina a
viagem quando o ponteiro menor está entre 14 e 15 e o ponteiro maior a 180° do outro. Quanto tempo
durou a viagem?
Gab: 6 horas
25 - (PUC RJ/Janeiro/2006)
Os ângulos (em graus)  entre 0° e 360° para os quais sen  =cos  são:
a) 45º e 90º
b) 45º e 225º
c) 180º e 360º
d) 45º, 90º e 180º
e) 90º, 180º e 270º
Gab: B
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