Teste de Matemática
Propaganda
Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss y + z − w = 7 z − w = 6 2x + y = 5 2y + 2z − w = 11 (b) Sendo 9 −3 0 0 −3 A= 3 0 0 3 e −1 1 0 B = −1 2 1 , 0 0 1 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, B −1 . (c) Determine os vectores de R4 com norma 3 cujas projecções sobre os vectores u = (1, 0, 0, −1) e v = (0, 1, −1, 0) são, respectivamente, u e −v, e que são perpendiculares ao vector w = (0, 0, 1, −1). (d) Determine o ponto da recta 3x + 4y = 6 que está mais próximo do ponto (−1, 1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ µ ¶n ∞ X X 5 3n i) ii) 7 2n + 5 n n=1 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 3x6/5 + x + ex 4 + x2 1 + e2x ii) x cos(2x) II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 3 cos 43 x + 5 sin(2x) dx Z +∞ 2 xe−2x dx ii) 0 0 (b) Considere a região do plano definida por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−βx ∧ 0 < x , onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de Xβ é igual a 1. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 5x i) lim x→0 arctan(x) − x ii) lim x→0 x3 0 2 e−t dt e2x − 1 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 vectores de Rn perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v1 e v2 definidos por v1 = cos(θ) u1 + sin(θ) u2 v2 = − sin(θ) u1 + cos(θ) u2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a1 u1 +a2 u2 . Determine b1 e b2 tais que w = b1 v1 +b2 v2 . Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss z − w = 6 y + z − w = 7 2x + y = 5 2y + 2z − w = 11 (b) Sendo 0 −2 4 2 2 A = −2 0 −2 2 e 1 1 −2 B = 1 0 −1 , 0 1 0 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, B −1 . (c) Determine o ponto da recta 2x + 3y = 6 que está mais próximo do ponto (1, −1). (d) Determine os vectores de R4 com norma 4 cujas projecções sobre os vectores u = (1, 0, 0, −1) e v = (0, 1, −1, 0) são, respectivamente, u e −v, e que são perpendiculares ao vector w = (0, 0, 1, −1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ µ ¶n ∞ X X 3 4n i) ii) 4 3n + 5 n n=2 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 4x2/3 + 5 + sin(7x) 1 + x2 1 + cos(7x) ii) x sin(6x) II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 3 cos 52 x + 7 sin(2x) dx Z +∞ 2 xe−2x dx ii) 0 0 (b) Considere a região do plano definida por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−βx ∧ 0 < x , onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de Xβ é igual a 1. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 2x i) lim x→0 arctan(x) − x ii) lim x→0 x3 0 2 e−t dt e3x − 1 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 vectores de Rn perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v1 e v2 definidos por v1 = cos(θ) u1 + sin(θ) u2 v2 = − sin(θ) u1 + cos(θ) u2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a1 u1 +a2 u2 . Determine b1 e b2 tais que w = b1 v1 +b2 v2 . Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Exame de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 10/I/12 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Determine os valores de α 2y + 2x + y y + para os quais o sistema z − 2z − w = 6 w = 11 = 5 z + αw = 7 é possı́vel e determinado. Determine a solução quando α = 1. (b) Sendo 2 2 −2 0 A= 2 6 0 2 2 e −1 1 −2 1 , B = 0 −1 −1 0 0 determine AB 2 . Com base neste resultado, calcule, justificando, B −1 . (c) Determine o ponto da recta 2x + 3y = 6 que está mais próximo do ponto (1, −1). (d) Determine os vectores de R4 com norma 3 cujas projecções sobre os vectores u = (1, 0, 0, −1) e v = (0, 1, −1, 0) são, respectivamente, u e −v, e que são perpendiculares ao vector w = (0, 0, 1, −1). (e) Estude as seguintes séries quanto à convergência, calculando a sua soma num dos casos. ∞ µ ¶n ∞ X X 4 4n i) ii) 5 2n + 5 n n=2 n=1 (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) 4x6/5 + x + 3x 1 + x4 1 + 2x2 ii) xe7x II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) 2 cos 45 x + 3 sin(2x) dx Z +∞ 2 xe−2x dx ii) 0 0 (b) Considere a região do plano definida por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−βx ∧ 0 < x , onde β é um número real positivo. Determine o valor de β para o qual a área de Xβ é igual a 1. III – (1.5 valores) Calcule os seguintes limites Z 3x i) arctan(x) − x lim ii) lim x→0 x→0 x3 0 2 e−t dt e2x − 1 . IV – (2 valores) Sejam u1 e u2 vectores de Rn perpendiculares entre si e com norma um. (a) Mostre que os vectores v1 e v2 definidos por v1 = cos(θ) u1 + sin(θ) u2 v2 = − sin(θ) u1 + cos(θ) u2 também são perpendiculares entre si e também têm norma um, qualquer que seja o valor de θ real. (b) Seja w = a1 u1 +a2 u2 . Determine b1 e b2 tais que w = b1 v1 +b2 v2 .
