Exame de Recurso - Área Interdepartamental de Matemática

Instituto Politécnico de Tomar
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área Interdepartamental de Matemática
Exame de Recurso de Matemática II
Tecnologia e Artes Gráficas
22 de Julho de 2005
Duração: 2 horas e 30 minutos
—–¯—–
1. Considere as matrizes




1
0 1
1 0 1
£
¤T
A−1 =  0 −1 1  , B =  2 3 2  e c = 1 −2 3
.
1
2 0
0 1 0
(a) (2.0) Calcule a caracterı́stica da matriz ccT . Esta matriz é não-singular ? Justifique.
(b) (2.0) Mostre que |A−1 | = −1 e calcule, usando a teoria dos determinantes, a
matriz A.
(c) (3.0) Determine a matriz Y que verifica
¢T
¡ −1
B Y A − 2I3 = B T (A−1 B T )−1 A−1


x
+3z = 2
2 x + a y + (a + 6) z = −a + 4 .
2. Considere o sistema de equações lineares

x + a y + (2a + 1) z = 0
(a) (3.0) Discuta a solução do sistema em função do parâmetro a ∈ R.
(b) (2.0) Resolva o sistema para a = 2, através do método de eliminação de Gauss.
3. Considere a matriz

1
 1
E=
 0
1

1 0 −1
k −k 0 
.
0 1
1 
1 1 2k
(a) (2.0) Mostre que |E| = 2k 2 − 2k.
(b) (1.5) Usando a teoria dos determinantes indique, justificando, qual o valor lógico
da seguinte proposição : “A matriz E é regular, ∀ k ∈ R \ { 0, 1 } ”.
(c) (2.5) Determine, caso existam, os valores de k ∈ R para os quais a igualdade
|2I4 | − 4 |E(E T )−1 | = 2|E| + 4 k
é verdadeira.
(d) Considere k = 2 na matriz E e o sistema EX =
£
¤T
x y z w
.
£
1 2 1 0
¤T
, com X =
i. (0.5) Trata-se de um sistema de Cramer ? Justifique.
ii. (1.5) Usando a regra de Cramer, se possı́vel, determine o valor da incógnita z.