Teste de Matemática
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Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 17/I/10 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss. 2x x 2x −x + − + + y − 2z + w y + w y + z y + 3z + 2w = = = = 0 5 1 4 (b) Sendo 1 −2 1 1 1 1 −1 2 3 1 , C = 0 −2 0 A = 1 −1 0 , B = 1 2 3 −2 1 −1 1 −2 0 0 −2 determine ABC. Utilize este resultado para calcular a inversa da matriz AB. (c) Determine os vectores de R3 com norma 2, que fazem um ângulo de π/3 com o eixo dos zz e cuja projecção sobre o vector w = (1, 1, 0) é o próprio vector w. (d) Calcule a soma da série ∞ X 32n . 11n n=1 (e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência. ∞ X n3 + log n i) n5 + 3n3 + 1 n=1 ii) ∞ X 3n n=1 n! (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) x 5/2 sin x + xe−2x2 + 2+ cos x ¡ ¢ log 1 + x2 ii) x2 II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) cos x 2 − sin(3x) dx Z +∞ xe−3x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ β < x e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ 0 < x < β Determine o valor de β para o qual as áreas de Xβ e Yβ são iguais. III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite Z √x √ 2 e−t dt − x lim 0 . x→0+ x3/2 IV – (2 valores) Sejam uj , j = 1, . . . , k, vectores não nulos de Rn para os quais se tem ui · uj = 0, se i 6= j. (a) Mostre que se α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0, então αi = 0 para todo o i = 1, . . . , k. (b) Mostre que nas condições dadas se tem necessariamente que k é menor ou igual a n, ou seja, que em Rn não pode haver mais de n vectores ortogonais dois a dois (Sugestão: considere o sistema Av = 0, onde A é a matriz n × k cujas colunas são formadas pelos vectores uj ). Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Teste de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 17/I/10 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss. 2x x 2x −x + − + + y − 2z + w + w y y + z y + 3z + 2w = −3 = −6 = 2 = 3 (b) Sendo 1 −2 1 1 1 1 −1 2 3 1 , C = 0 −2 0 A = 1 −1 0 , B = 1 2 3 −2 1 −1 1 −2 0 0 −2 determine ABC. Utilize este resultado para calcular a inversa da matriz BC. (c) Determine os vectores de R3 com norma 2, que fazem um ângulo de π/3 com o eixo dos zz e cuja projecção sobre o vector w = (1, 1, 0) é o próprio vector w. (d) Calcule a soma da série ∞ X 32n . 11n n=1 (e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência. ∞ X n3 + log n i) n5 + 7n4 + 1 n=1 ii) ∞ X 5n n=1 n! (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) x 7/2 sin x + xe−3x2 + 3+ cos x ¡ ¢ log 1 + x2 ii) x2 II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) sin x 2 − cos(3x) dx Z +∞ xe−5x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ β < x e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ 0 < x < β Determine o valor de β para o qual a área de Xβ é o dobro da área de Yβ . III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite Z √x √ 2 e−t dt − x lim 0 . x→0+ x3/2 IV – (2 valores) Sejam uj , j = 1, . . . , k, vectores não nulos de Rn para os quais se tem ui · uj = 0, se i 6= j. (a) Mostre que se α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0, então αi = 0 para todo o i = 1, . . . , k. (b) Mostre que nas condições dadas se tem necessariamente que k é menor ou igual a n, ou seja, que em Rn não pode haver mais de n vectores ortogonais dois a dois (Sugestão: considere o sistema Av = 0, onde A é a matriz n × k cujas colunas são formadas pelos vectores uj ). Faculdade de Motricidade Humana Matemática Aplicada e Estatı́stica Exame de Matemática CURSO: Ciências do Desporto 17/I/10 Duração: 2h Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. I – (12 valores) (a) Determine os valores 2x + y x − y 2x + y −x + y de α para os quais o sistema − 2z + w + w + z + 3z + αw = 1 = −2 = 2 = 11 é possı́vel e determinado. Determine a solução quando α = 2. (b) Sendo 1 −2 1 1 1 1 −1 2 3 1 , C = 0 −2 0 A = 1 −1 0 , B = 1 2 3 −2 1 −1 1 −2 0 0 −2 determine ABC. Utilize este resultado para calcular a inversa da matriz AB. (c) Determine os vectores de R3 com norma 2, que fazem um ângulo de π/3 com o eixo dos zz e cuja projecção sobre o vector w = (1, 1, 0) é o próprio vector w. (d) Calcule a soma da série ∞ X 32n n. 11 n=1 (e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência. i) ∞ X n=1 n3 + log n n5 + 11n4 + 1 ii) ∞ X 7n n=1 n! (f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: i) x 3/5 sin x + xe−4x2 + 5+ cos x ¡ ¢ log 1 + x2 ii) x2 II – (4.5 valores) (a) Calcule os seguintes integrais Z π ³ ´ i) sin x 2 − cos(3x) dx Z +∞ xe−4x dx ii) 0 0 (b) Considere as regiões do plano definidas por © ª Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ β < x e © ª Yβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−2x ∧ 0 < x < β Determine o valor de β para o qual a área de Xβ é o triplo da área de Yβ . III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite Z √x √ 2 e−t dt − x lim 0 . x→0+ x3/2 IV – (2 valores) Sejam uj , j = 1, . . . , k, vectores não nulos de Rn para os quais se tem ui · uj = 0, se i 6= j. (a) Mostre que se α1 u1 + α2 u2 + · · · + αk uk = 0, então αi = 0 para todo o i = 1, . . . , k. (b) Mostre que nas condições dadas se tem necessariamente que k é menor ou igual a n, ou seja, que em Rn não pode haver mais de n vectores ortogonais dois a dois (Sugestão: considere o sistema Av = 0, onde A é a matriz n × k cujas colunas são formadas pelos vectores uj ).
