Teste de Matemática, vers˜ao A

Faculdade de Motricidade Humana
Núcleo de Métodos Matemáticos
Teste de Matemática, versão A
CURSO: Ciências do Desporto
6/I/10
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss.

x + 2y + z − w



2x + y + z
x + y + z + w


 x
− 2w
(b) Sendo
= −2
=
2
=
3
= −3


1
1 0
A =  1 −1 0  ,
0
0 2
3
2
determine A − 2A − 2A + 4I.
√
(c) Determine os vectores de R3 que distam 5 do vector (1, 0, 0)
e que são perpendiculares aos vectores (1, 1, 1) e (1, −1, 1).
(d) Determine a soma da série
∞
X
2n−1
n=2
7n
.
(e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência.
i)
∞
X
n1/2 + log n
n=1
n5 + 3n + 1
ii)
∞
X
7n
n=1
n!
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) xe−2x + 3x5 +
x
3 + x2
ii) xe−5x
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z 2
³ ´
i)
x − cos πx
dx
2
Z
+∞
e−2x dx
ii)
−1
0
(b) Determine β por forma a que a área da região do plano definida
por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−3x ∧ β < x
seja igual a 1.
III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite
Z x
2
et dt − x
lim 0
.
x→0
x3
IV – (2 valores) Sejam u e v dois vectores de Rn e α ≥ 0 tal que
ku − vk = αku + vk.
(i) Mostre que u e v são perpendiculares se e só se α = 1.
(ii) Se α < 1, o que pode concluir sobre o ângulo formado pelos
dois vectores? Justifique.
Faculdade de Motricidade Humana
Núcleo de Métodos Matemáticos
Teste de Matemática, versão B
CURSO: Ciências do Desporto
6/I/10
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Resolva o seguinte sistema pelo método de eliminação de Gauss.

x + 2y + z − w



2x + y + z
x + y + z + w


 x
− 2w
(b) Sendo
= −2
= −2
=
1
= −5


1 1 0
A =  −1 1 0  ,
0 0 2
determine A3 − 4A2 + 6A − 4I.
√
(c) Determine os vectores de R3 que distam 5 do vector (1, 0, 0)
e que são perpendiculares aos vectores (1, 1, 1) e (1, −1, 1).
(d) Determine a soma da série
∞
X
2n−1
n=2
5n
.
(e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência.
∞
∞
X
X
9n
n1/2 + log n
i)
ii)
n!
n5 + 3n + 1
n=1
n=1
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) 2x3 + 52 xe−x + x 2
2+x
ii) xe−3x
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z 1
³
´
i)
− x + sin 3πx
dx
2
Z
+∞
e−3x dx
ii)
−2
0
(b) Determine β por forma a que a área da região do plano definida
por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−5x ∧ β < x
seja igual a 1.
III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite
Z x
2
x−
e−t dt
0
lim
.
x→0
x3
IV – (2 valores) Sejam u e v dois vectores de Rn e α ≥ 0 tal que
ku − vk = αku + vk.
(i) Mostre que u e v são perpendiculares se e só se α = 1.
(ii) Se α < 1, o que pode concluir sobre o ângulo formado pelos
dois vectores? Justifique.
Faculdade de Motricidade Humana
Núcleo de Métodos Matemáticos
Exame de Matemática
CURSO: Ciências do Desporto
6/I/10
Duração: 2h
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas.
I – (12 valores)
(a) Determine, pelo método de eliminação de
parâmetro real γ para os quais o sistema

x + 2y + z − w =



2x + y + z
=
x
+
y
+
z
+
w
=


 x
+ γw =
Gauss, os valores do
−2
−2
1
−5
é possı́vel e determinado. Determine a solução quando γ = −2.
(b) Sendo


1 1 0
A =  −1 1 0  ,
0 0 2
3
2
determine A − 4A + 6A − 4I.
√
(c) Determine os vectores de R3 que distam 5 do vector (1, 0, 0)
e que são perpendiculares aos vectores (1, 1, 1) e (1, −1, 1).
(d) Determine a soma da série
∞
X
2n−1
n=2
5n
.
(e) Estude as seguintes séries quanto à sua convergência.
∞
∞
X
X
9n
n1/2 + log n
i)
ii)
3n + n!
n5 + 3n + 1
n=1
n=1
(f) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
2
i) 2x3 + 52 xe−x + x 2
2+x
ii) xe−3x
II – (4.5 valores)
(a) Calcule os seguintes integrais
Z 2
x
i)
dx
(x
+
1)(x
+ 2)
1
Z
+∞
e−3x dx
ii)
0
(b) Determine β por forma a que a área da região do plano definida
por
©
ª
Xβ = (x, y) ∈ R2 : 0 < y < e−5x ∧ β < x
seja igual a 1.
III – (1.5 valores) Calcule o seguinte limite
Z x
2
x−
e−t dt
0
lim
.
x→0
x3
IV – (2 valores) Sejam u e v dois vectores de Rn e α ≥ 0 tal que
ku − vk = αku + vk.
(i) Mostre que u e v são perpendiculares se e só se α = 1.
(ii) Se α < 1, o que pode concluir sobre o ângulo formado pelos
dois vectores? Justifique.