Instituto de matemática-UFBA

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1° lista de exercícios-Álgebra Linear
 1  4 0 2


 2 1 0 
 ,B=  3 6 2 1  e A.B=(c ij ) 2 x 3 ,encontre c 23 ,c 14 e c 21
1)Sendo A= 
 1 0  3
 2  3 3 5


usando a definição de produto de matrizes.
2)a)Sejam A e B matrizes reais de ordem n(n  1 )tais que AB=BA.
Mostre ,usando propriedades operatórias de matrizes,que:
i)(A-B) 2 =A 2 -2AB+B 2
ii)(A-B)(A+B)=A 2 -B 2
b)Mostre que as igualdades acima não são verdadeiras de A e B não comutam.
 1 1
 .
3)a)Encontre as matrizes de ordem 2 que comutam com 
 0 1
1 1 0


b)Encontre as matrizes de ordem 3 que comutam com  0 1 1  .
0 0 1


4)Sejam A,B e C matrizes reais de ordem n.
a)Mostre que se A é simétrica,então A 2 é simétrica.
b)Mostre que se A é inversível e AB=BC,então B=C.
c)Verifique (justificando) se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
i)A e B simétricas  A+B e A-B são simétricas.
ii)A e B anti-simétricas  A+B e A-B são anti-simétricas.
iii)AB=0  BA=0
5)Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A 2 =A.
a)Mostre que se AB=A e BA=B,então A e B são idempotentes.
b)Mostre que se A é idempotente ,então B=I-A é idempotente e AB=BA=O.
 2  2  4


c)Mostre que   1 3
4  é idempotente.
 1  2  3


2x
1 
 0
 2

6)Determine se possível,x para que a matriz  x
0  4 x  seja simétrica.
 x  1 x3
0 

7) I) a)Ache as matrizes elementares E 1 ,E 2 ,...,E s tais que I=E s ...E 2 E 1 A se :
 2 0

A= 
 3 5
 1  1 1


A=  2 0 1 .
 3 0 1


0 0 1
1 0



b)Sabendo-se que E 2 E 2 E 1 A=I 3 ,E 1 =  0 1 0  ,E 2 =  0 5
1 0 0
0 0



1
determine A e A .
 1 2 3
7 8 9
1





c)Considere as matrizes A  4 5 6  ,B=  4 5 6  e C=  4
7 8 9
 1 2 3
9





0
1 2 3 



0 e E 3 =  4 5 6  ,
 9 12 15 
1 


2 3

5 6 .
12 15 
II)Determine as matrizes elementares E 1 ,E 2 ,E 3 e E 4 ,tais que .
a)E 1 A=B b)E 2 B=A c)E 3 A=C d)E 4 C=A
III)É possível determinar uma matrizes elementar E tal que EB=C?
Justifique sua resposta.
8)Sejam A,B e C matrizes inversíveis de mesma ordem.Exprima X,sabendo-se que:
A)AXB=C
b)A(B+X)=A c)ACXB=C d)(AB) 1 (AX)=I e)AB t XB 1 =A t .
1 
1 1 1


9)Seja B=  2 1 1  3  .Determine uma matriz escalonada reduzida N que seja
1 2 1 0 


linha-equivalente a B e uma matriz M inversível de ordem 3 tal que N=MB.
10)Usando operações elementares sobre linhas,determine se A é inversível e em caso
afirmativo,determina sua inversa:
 2 5  1


a)  4  1 2 
0 4 1 


2 1
1


f)   1  1 4 
 0 1 3


1 1 2 


 3  1

b)  3 2  4  c) 
7 2 
 0 1  2


 4 1 2  2


3 1 0 0 
g) 
2 3 1 0 


0 7 1 1 


1 2

d) 
 2 4
1 0 1


e)  1 1 0 
0 2 1


11)Reduza as matrizes abaixo a forma escada reduzida por linhas:
 2  1 3 11


 1 1 1 4


4  3 2 0 
b) 
c)  2 5  2 3 

1 1 1 6
1 7  7 5




3 1 1 4 


12)Cada matriz ampliada de um dado sistema foi transformada na matriz reduzida
escalonada.Em cada caso,discuta o sistema original.
 0 1 3  2


a)  2 1  4 3 
 2 3 2 1


1 0 1 2 5
1 0 0 3
1 0 0 0
1 0 2 0








a)  0 1 2 1 3  b)  0 1 0 2  c)  0 1 0 0  d)  0 1 3 0 
 0 0 1 2
 0 0 1 0
0 0 0 1
 0 0 0 0 0








1 0 3


e)  0 1 2 
0 0 0


1 0 3 2

f) 
0 1 4 5
13)Usando escalonamento por linhas,resolva os seguintes sistemas de equações lineares.
2 x  y  2 z  10

a)  3x  2 y  2 z  1
5 x  4 y  3z  4

 x yz 4

d) 2 x  5 y  2 z  3
 x  7 y  7z  5

 x yz 4

b) 2 x  5 y  2 z  3
 x  2 y  7z  5

 2 x  y  3z  11
4 x  3 y  2 z  0

c) 
 x  y  z  6
 3x  y  z  4
 x  2 y  3z  0
e) 
2 x  5 y  6 z  0
 x y zt  0
 x y  z t  4

f) 
 x  y  z  t  4
 x  y  z  t  2
14)Use o método de Gauss para resolver os sistemas:
 x  2y  w  2
 x  y  2z  4
 x  2y  z  w
 x  2z  w  2
 x yz 0



a) 3x  y  4 z  6 b) 
c) 
d)  2 x  3 y  3
2 x  3 y  2 z  0
 x  2 y  2z  w  4
 x  y  z 1
x  y  z  w  0


3x  4 y  4 z  8w  8
15)Determine as soluções dos sistemas AX=0,AX=2X e AX=3X sendo
1 1 1


A=  2 1 3  .
 0 2 0


16)Usando operações elementares sobre linhas,determine t de modo que a matriz
6 
t  3 7


  1 t  5  6  seja inversível.
 1
1 t  2 

17)Resolvas os seguintes sistemas de Cramer:
 2x  y  2z  4

a)  x  2 y  z  1
3x  5 y  2 z  1

x  3 y  z  0
x yz 0


b)  2 y  2 z  0 c) 2 x  y  z  1
x yz 0
3 x  y  z  1


18)Determine os valores de  e  de forma que o sistema a seguir seja possível e
 3x  7 y  

x y  

determinado: 
5 x  3 y  5  2 
 x  2 y      1
19)Discuta em função de k os seguintes sistemas:
 4 x  3 y  2
 x  y  z  1
 2 x  y  kz  0
2 x  5 y  2 z  0




a)  5 x  4 y  0 b) 2 x  4 y  kz  k c) kx  y  z  2  k d)  x  y  z  0
 y  kz  1
 x  ky  z  k
 2 x  ky  0
 2x  y  k




20)Seja V o conjunto dos pares ordenados(a,b) de números reais com adição e
multiplicação em V definidos por:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e k(a,b)=(ka,b).Mostre que V
não é um espaço vetorial sobre  .
21)Dados os espaços vetoriais abaixo,diga em cada caso,se W é subespaço de V.
I)V=  3
a)W={(x,y,z)   3 :x + y + z =1}
b)W={(x,y,z)   3 :x=2y+z}
c) W={(x,y,z)   3 :y  0}
d)W={(x,y,z)   3 :x.y=0}
II)V=M nxn ( C ),n  2
a)W={A  V : AT=TA, T fixada em V}
b)W={A  V : A 2 =A}
c)W={A  V : A é inversível}
III)V=P 2 (  )
a)W={at 2 + bt +c  V :a-2b+c=0}
b) W={at 2 + bt +c  V :c=4}
IV)V={f:    }
a)W={f  V : f(-x)=-f(x)}
b) W={f  V : f(3)=0}
22)Escreva,se possível ,cada vetor v como combinação linear dos elementos de S,sendo:
 3 2   0 0   0 0   4 1 
 1 1
 e S= 
, 
, 
, 

a)v= 
 0 1
 0 0   0 3   1 0   9 5 
b)v=(2,7) e S={(1,0),(2,9),(5,1),(4,2)}
c)v = (0,0,3) e S={(2,0,0),(0,1,0)}
d)v = p(t) =t 3 -4t 2 +t+1 e S={2 , 3t , t 2 -1 , t 3 }
e)v=(3i,-1,-i)  C 2 e S={(1,1),(2,0),(1,-1)}  C 2
f)v=f(t)=sen 2 t e S={cos 2 t,3}
23)Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) W={(x,y,z)   3 :x+z=0 e x-2y=0}
b) W={(x,y,z)   3 :x+2y-3z=0}
a b 
 M nxn (  ): a + c=0 e d=0}
c) W={ 
c d 
d) W={at 3 + bt 2 + ct +d  P 3 (  ):b=c e a=0}
e) W={(x,y)  C 2 :x-2y=0} e C 2 é espaço vetorial real.
24)Mostre que A={2+3i,1-2i} é um subconjunto gerador do espaço vetorial C sobre  .
25)Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes
subespaços:
a)W=[(-2,1,0),(3,0,1),(-1,2,1)]
b)W[(2,1,-2),(4,-2,-4)]
c)W=[(1,1,1,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)]
1 0    2 1   3 1 
, 
, 

d)W= 
1
0

1
0
4
0







2
2
e)W=[t +t, t -2t,1]
f)[(1,0,i),(1+i,1,-1),(1,1,0)],K=C
26)Determine um sistema linear homogêneo cujo conjunto solução seja
W=[(1,0,2,3,0),(1,1,3,4,5)].
27)Dados os subespaços de  4 .
U={(x,y,z,t): 2x-y+t = 0 e y+z = 0} V=[91,0,2,5),(2,1,4,11),(0,2,0,2),(1,0,3,7)]:
a)Determine um conjunto de geradores de U.
b)Determine um conjunto de equações de caracterizam V.
c)Determine um conjunto de geradores e um conjunto de equações que caracterizam
cada um dos subespaços U  V e U+V, do  4 .
28)Verifique se V=U  V nos seguintes casos:
 a b
a)V=M 2 x 3 ,U= 
 d e

 a b
c
  V : a  b  f  e W= 
f

 d e

c
  V : d  0
f

b)V=  4 ,U={(x,y,z,w)  V :x+w=y=0} e W=={(x,y,z,w)  V :x=z=0}.
29)Seja V=M n (K) e sejam W 1 ={A  V : A t =A} e W 2 ={A  V : A t =-A}.
Mostre que :
a) W 1 e W 2 são subespaços de V
b) V=W 1 +W 2
c) V= W 1  W 2
30)Seja V o subespaço das funções de  em  e sejam V p o subespaço das funções
pares e V i o subespaço das funções ímpares.Verifique se V=V p  V i .
Breve gabarito,bons estudos,
Lucas Reis