Matrizes

Álgebra Linear II
2◦ semestre de 2009
Matrizes
Exercício 1 Considere uma matriz qualquer A com m linhas e n colunas. O espaço-linha
(resp. espaço-coluna) de A é o espaço gerado pelas linhas de A (resp. colunas de A).
Demonstre o seguinte teorema usando as propriedades da eliminação gaussiana
Teorema. A dimensão do espaço-linha de
A
é igual a dimensão do espaço-coluna de
A.
Indicações:
ˆ Após escalonamento o número k de linhas é a dimensao de...
ˆ A dimensão do núcleo de A é...
ˆ Utilize o teorema do núcleo-imagem para achar a dimensão da imagem de A
ˆ Conclui
A dimensão do espaço-coluna (ou linha) duma matriz é o
Determine o posto de A por:
Exercício 2


1
3
 0 −2 

A=
 5 −1  ;
−2
3


1
2 −3
 2
1
0 
;
A=
 −2 −1
3 
−1
4 −2

1
 1
A=
 2
3
posto
dessa matriz.
3
1 −2
4
3 −1
3 −4 −7
8
1 −7

−3
−4 
.
−3 
−8
Seja Ek,l a matriz de Mn×n cujos coecientes são todos nulos exceto o coeciente
da k -sima linha e l-sima colona que vale 1.
Exercício 3
a) Mostre que {Ek,l , 1 ≤ k, l ≤ n} é uma base de Mn×n . Isto é a
base canônica.
b) Estabelece as regras de cálculo dos produtos entre matrizes da base canônica.
c) Calcule os produtos AEk,l e Ek,l A por A ∈ Mn×n . determine as matrizes A de Mn×n que
comutem com todas as matrizes X de Mn×n (XA = AX ).
Exercício 4
Seja V o espaço vetorial real das matrizes 2 × 2 e W o subespaço gerado por:
[
1 −5
−4 2
]
[
,
1 1
−1 5
]
[
,
2 −4
−5 7
]
[
,
1 −5
−7 1
]
.
Ache uma base e a dimensão de W . Dica: Identica as matrizes com seus vetores coordenadas
na base canônica de V .
Exercício 5
Calcule AB , BA, (A + B)2 , A2 + B 2 + 2AB com:


1 −1 1
0 1  e
A= 2
3
2 0


0
3 1
0 1 .
B= 1
2 −1 1
1


1 1 0
Exercício 6 Sejam A =  0 1 1  e B = A − I3 .
0 0 1
Calcule B n , logo An por n ≥ 2.
Exercício 7
Calcule as inversas das seguintes matrizes (se inversíveis):
[
A1 =
1 −3
2 −5

]
;
A2 =
2 4
3 6

]
;

1 3 −1
A3 =  2 −1 3  ;
3 2
0


1 2 −1
A4 =  1 0 α 
0 β 0
Exercício 8
[
((α, β) ∈ R2 );
1
 0
A4 = 
 0
0
2
1
0
0
1
0
1
γ

2
1 

1 
2
(γ ∈ R).
Seja m um número real, denimos:

0 m 0 0
 0 0 m 0 

A=
 0 0 0 m 
0 0 0 0

Calcule A2 , A3 , A4 . Deduz (I4 − A)n . Calcule (I4 − A)−1 e (I4 − A)−n .

0 0 1
Seja J =  1 0 0 .
0 1 0

Exercício 9
a) Calcule J 2 e J 3 .
b) Mostre que o conjunto M das matrizes:


a c b
 b a c 
c b a
onde a, b e c são números reais, é um subespaço vetorial de dimensão 3 de M3×3 . Que
podemos dizer do produto de duas matrizes no conjunto M?

c) Calcule a inversa

1 1

d) Seja B = 1 1
1 1

0 1 1
da matriz: A =  1 0 1 .
1 1 0

1
1 . Calcule B 2 , logo B n .
1
e) Seja C = I3 + B . Calcule C n .


2 1 1
f) Seja D =  1 2 1 . Mostre que Dn = αn D + βn I3 onde αn e βn são números reais que
1 1 2
calcularemos.
2