geoplano isométrico - MAT-UnB

GEOPLANO ISOMÉTRICO
Descrição.
Os geoplanos isométricos ou geoplano de malha triangular são tabuleiros de madeira de
forma quadrada com pinos de madeira, de plástico ou pregos, colocados parcialmente pregados
configurando uma malha triangular. As ligas de borracha, fios ou elásticos enlaçadas nos pinos,
representam figuras poligonais com vértices nesses pontos da malha.
Existe variedade entre os geoplanos isométricos, por exemplo, pode variar o tamanho do
tabuleiro, o número de pinos e os tipos de pinos segundo o material utilizado, podem ser diferentes
na inclusão ou não da representação dos segmentos da malha na montagem do geoplano, etc.
Também é possível colocar juntos, unidos pelo lado, dois ou mais geoplanos isométricos para
trabalhar em um geoplano maior.
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Os geoplanos são importantes ferramentas para o ensino-aprendizagem da Matemática pela
ampla variedade de temas que permitem abordar, inclusive formas distintas de trabalhar os mesmos
assuntos, combinando o estímulo da intuição, da criatividade, da reflexão, da inovação, do
desenvolvimento do raciocínio geométrico espacial com a indagação, a experimentação, a
verificação, a comprovação e a interiorização dos conceitos. Por ser muito simples de manufaturar e
com enorme potencial de aplicações no ensino, este recurso didático apresenta muitas
possibilidades de renovar as estratégias e metodologias aplicadas na sala de aula.
Construção do geoplano isométrico
Material: madeira de 30 cm x 30 cm e de 2cm de espessura, de preferência colorida, 70 pinos de
madeira ou pinos de plástico ou pregos. No caso de escolher pregos, também são usados canudos de
plástico (palitos de pirulitos), estes são opcionais.
Construção: O tabuleiro de madeira pode ser laminado com fórmica branca ou colorida, pode ser
pintado com tinta para madeira de cor branca ou outras cores. Resultados excelentes são obtidos
com tintas automotivas.
Para certas aplicações dos geoplanos isométricos, por exemplo com alunos do ensino
fundamental, pode ser necessário o desenho das linhas da malha no geoplanos. Com essa finalidade,
traçamos a malha em cartão colorido e o colamos no tabuleiro
antes da colocação dos pinos.
Para um geoplano isométrico, no desenho da malha
triangular marcam-se os pinos em cada linha horizontal e
vertical como na figura ao lado. A distância entre dois pinos
consecutivos, vértices de um mesmo triângulo equilátero é de
4cm. É importante deixar uma faixa de 2cm entre a malha e os
lados do tabuleiro.
Se os pinos são de madeira ou plástico, são feitas perfurações no tabuleiro de tamanho
adequado e colocam-se pinos nos orifícios, usando cola para uma melhor fixação.
Se os pinos são pregos então se pode cortar porções de
canudo de plástico (palito de pirulito) branco ou colorido, para
revestir o prego. Para acabamento, coloca-se tinta para metal ou esmalte na
cabeça do prego.
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Área de figuras planas representadas no geoplano isométrico
O geoplano isométrico apresenta um contexto diferente do habitual para a abordagem de
áreas de figuras planas utilizando um sistema de medição de áreas em unidades triangulares de área.
O triângulo unitário é o menor triângulo no geoplano isométrico e tem uma unidade triangular de
área, que notamos com 1𝑢2 , vide o triângulo A na figura.
A área em unidades triangulares de triângulos equiláteros
com vértices nos pontos do geoplano isométrico é calculada pela
contagem dos triângulos unitários que eles contém, assim na
figura ao lado, área(B) = 9𝑢2 , área(C) = 4𝑢2 .
Também são
determinadas por contagem as áreas das regiões poligonais, não
triangulares, logo, na figura ao lado, área(D) = 6𝑢2 , área(E) = 5𝑢2
e área(F) = 13𝑢2 .
Outras figuras planas não podem ter sua área calculada pela contagem direta dos triângulos
unitários que elas contém, por exemplo os triângulos G e H na
figura. Observar que o triângulo G tem o ângulo em P de 60º.
Logo, pode ser construído o rombóide OPQR e o cálculo da área
desse polígono segue da contagem direta das unidades
triangulares de área, área(OPQR) = 12𝑢2 .
A diagonal OG determina em OPQR dois triângulos congruentes,
portanto, área(ΔOPQ) = 6𝑢2 . Isso resulta também do produto
̅̅̅̅.𝑃𝑄
̅̅̅̅ = 6𝑢2 .
𝑂𝑃
O triângulo H tem o ângulo em O de 120º, e esse triângulo é metade da superfície do rombóide
OPQR onde PR é uma diagonal. Resulta assim, área(ΔROP) = 6𝑢2 . Esse valor também resulta do
̅̅̅̅ = 6𝑢2 .
produto ̅̅̅̅
𝑂𝑃.𝑂𝑅
Então, a área de triângulos na malha triangular com um ângulo interno de 60º ou de 120º é
igual ao produto dos comprimentos dos lados do ângulo de 60º ou de 120º, respectivamente. Esse
resultado conduz a uma fórmula geral para o cálculo de áreas de triângulos no geoplano isométrico.
Consideramos o triângulo ΔSTU e traçamos o segmento UV
que determina no ΔSTU os dois triângulos: ΔSVU, que tem o ângulo
̂ com med(𝑆𝑉𝑈
̂ ) = 120°, e o triângulo ΔUVT, que tem o ângulo
𝑆𝑉𝑈
̂ com med(𝑈𝑉𝑇
̂ ) = 60º. Logo,
𝑈𝑉𝑇
̅̅̅̅. 𝑉𝑈
̅̅̅̅ + 𝑉𝑈
̅̅̅̅ . 𝑇𝑈
̅̅̅̅
área(ΔSTU) = área(ΔSVU) + área(ΔUVT) = 𝑆𝑉
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
= (𝑆𝑉
𝑉𝑇) 𝑉𝑈
𝑆𝑇 . ̅̅̅̅
𝑉𝑈
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Nos casos onde não é possível traçar um segmento interior ao triângulo tal que forme
ângulos de 60º e de 120º com a base, como no exemplo
anterior, é produzido um novo polígono externo ao triângulo
com as características que nos permitem calcular a área usando
propriedades conhecidas.
No caso do triângulo ΔWXY traçamos o segmento com
origem no vértice oposto à base e com extremidade no ponto Z
da reta pela base XY. Logo, XZ e YZ são os lados do ângulo
̂ = 𝑌𝑍𝑊
̂ , tal que med(𝑋𝑍𝑊
̂ ) = 60º. Logo,
𝑋𝑍𝑊
área(ΔWXY) = área(ΔWXY) – área(ΔWXY) =
̅̅̅̅ . 𝑍𝑊
̅̅̅̅̅ - 𝑌𝑍
̅̅̅̅ . 𝑍𝑊
̅̅̅̅̅ = (𝑋𝑍
̅̅̅̅ - 𝑌𝑍
̅̅̅̅ ) 𝑍𝑊
̅̅̅̅̅ = 𝑋𝑌
̅̅̅̅ . 𝑍𝑊
̅̅̅̅̅
= 𝑋𝑍
Então, em ambos casos considerados, a área do triângulo é igual ao produto do comprimento
da base com o segmento que une o vértice oposto à base com a reta pela base formando um ângulo
de 60º. Esta é uma regra geral para o cálculo de áreas de regiões triangulares no geoplano
isométrico.
Enunciamos uma generalização do teorema de Pick para regiões poligonais representadas no
geoplano isométrico.
Teorema de Pick para polígonos em malha triangular.
Se P é um polígono com vértices em pontos da malha triangular, 𝑃𝑖 são pontos interiores a P e 𝑃𝑏
são pontos no bordo de P, então área(P) = 𝑃𝑏 + 2(𝑃𝑖 – 1).
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APLICAÇÕES DIDÁTICAS DO GEOPLANO ISOMÉTRICO
 Retas. Semirretas. Posições relativas.
 Segmentos de reta. Posições relativas. Comparações de segmentos.
 Poligonais. Classificação. Comparação de comprimento.
 Ângulos. Classificação de ângulos.
 Posições relativas de ângulos. Comparações de medidas de ângulos
 Elementos dos polígonos: lados, vértices, ângulos, diagonais.
 Elementos dos triângulos: alturas, bissectrizes, medianas, mediatrizes.
 Relações entre os elementos dos triângulos
 Classificações dos polígonos.
 Convexidade das figuras poligonais.
 Construção de padrões geométricos.
 Perímetro de figuras planas.
 Conceito de área.
 Trabalho com unidade de área triangular.
 Área de figuras planas. Equivalência de áreas.
 Relações perímetro-área.
 Teorema de Pick.
 Polígonos isoperimétricos. Polígonos equivalentes.
 Congruência de polígonos.
 Simetrias das figuras poligonais.
 Disecções de polígonos. Polígonos equidecomponíveis.
 Verificação do Teorema de Pitágoras.
 Semelhança de polígonos.
 Relações entre os perímetros e entre as áreas de figuras planas semelhantes.
 Visualização espacial.
 Construção de mosaicos.
Limitações do geoplano isométrico
As restrições inerentes à estrutura do geoplano isométrico fazem que não seja possível:

Construção de segmentos de comprimento √3 , √4 , √6 , √7 ,...

Construção de ângulos de certa amplitude.

Construção de polígonos regulares, exceto triângulo equilátero, hexágono regular convexo e
hexágono regular não convexo.
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