solucão das atividades com geoplano isométrico - MAT-UnB

SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO ISOMÉTRICO
Observações.

Os pinos ou pregos do geoplano isométrico são chamados de pontos.

A menor distância entre dois pontos consecutivos é estabelecida como a unidade de
comprimento linear. Notação. 1u : uma unidade de comprimento linear

A área do triângulo equilátero com lados medindo uma unidade linear é uma unidade de
área triangular. Notação. 1𝑢2 : uma unidade de área triangular.

Nos casos de indicação de desenvolvimento de uma Atividade em um geoplano de menor
tamanho dos disponíveis na sala de aula ou no Laboratório simplesmente delimitamos com
ligas de borracha, fios ou elástico a malha do tamanho requerido no geoplano maior.

Para representar uma reta no geoplano isométrico, são unidos dois pontos do geoplano
com uma liga de borracha; essa é a representação de uma reta. Imaginamos que a reta se
estende indefinidamente em ambos sentidos.
1. Segmentos colineares: EF e FG.
Segmentos adjacentes: HJ e JK.
Segmentos paralelos: AB e CD.
2. Representação no geoplano isométrico dos seguintes ângulos:
̂ e 𝐴𝐵𝐷
̂ ; 𝐾𝐿𝑀
̂ e 𝐾𝐿𝑁
̂.
Ângulos consecutivos: : 𝐴𝐵𝐶
̂ e 𝐶𝐵𝐷
̂ ; 𝐾𝐿𝑀
̂ e 𝑀𝐿𝑁
̂.
Ângulos adjacentes: 𝐴𝐵𝐶
̂ e 𝐻𝐹𝐽
̂.
̂ ; 𝐸𝐹𝐻
̂ e 𝐺𝐹𝐽
Ângulos opostos pelo vértice: 𝐸𝐹𝐺
3. Representação no geoplano exemplos dos seguintes ângulos:
̂.
Ângulo reto: 𝐴𝐵𝐶
̂.
Ângulo agudo: 𝐷𝐸𝐹
̂ .
Ângulo obtuso: 𝐺𝐻𝐽
1
4. Classificação dos ângulos representados no geoplano.
i. Ângulos retos: α, δ, ε, λ, σ.
ii. Ângulos agudos: β, γ, θ, μ, ρ, ω.
iii. Ângulos obtusos: η, φ.
5. Exemplo de representação de segmentos perpendiculares que
são concorrentes num ponto do geoplano isométrico.
6. Classificações dos seguintes polígonos representados no geoplano isométrico.
- Triângulo equilátero G.
- Quadrilátero: trapézio isóscele D.
- Pentágono irregular não convexo E.
- Pentágono irregular convexo F.
- Hexágono irregular não convexo C.
- Heptágono irregular não convexo H.
- Octógono irregular não convexo B.
- Eneágono irregular não convexo A.
2
7. Representação de todas as diagonais dos polígonos dados.
I
II
O polígono (I) é um octógono convexo, ele tem vinte diagonais.
O polígono (II) é um decágono convexo, ele tem trinta e cinco diagonais.
8. Representação e identificação de triângulos no geoplano.
i. Retângulo: C e F.
ii. Acutângulo: A, E, G, H.
iii. Obtusângulo: B e D.
iv. Equilátero: E.
v. Isóscele: A, G e H.
vi. Escaleno: B, C, D e F.
9. Representação no geoplano isométrico:
- Triângulo retângulo isóscele (A).
- Triângulo obtusângulo escaleno (B).
3
10. Construção de triângulos equiláteros com lados 1u, 2u, 3u, 4u, 5u, 6u e com um vértice comum.
Triângulo Número Triângulo básicos em:
Triângulos
equilátero
de
n
pinos
(n – 1)
n
acrescentados
1
3
0
1
1
2
6
1
4
3
3
9
4
9
5
4
12
9
16
7
5
15
16
25
9
6
18
25
36
11
n
3n
(𝑛 − 1)2
𝑛2
2n - 1
Triângulo Triângulo
básicos
Portanto, ao (n-1)-ésimo triângulo equilátero devem ser acrescentados (2n-1) triângulos unitários
para obter o n-ésimo triângulo equilátero.
11. Exemplos de trapézios, com bases que medem 4u, dos seguintes tipos:
i. Trapézio retângulo D, E, G.
ii. Trapézio isóscele A, B, C.
iii. Trapézio escaleno D, E, F, G.
Observação. São trapézios escalenos retângulos os polígonos D, E e G.
São polígonos congruentes os trapézios isósceles B e C.
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12. Representação no geoplano isométrico dos seguintes
polígonos:
i. Paralelogramos ou rombóides A e B.
ii. Hexágono regular convexo C.
iii. Hexágono irregular convexo D.
13. Construção das alturas dos triângulos dados.
14. Os polígonos regulares convexos que podem ser representados no geoplano isométrico são
triângulo equilátero e hexágono regular convexo.
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15. i. O menor segmento por três pontos do geoplano, AB: ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 2u.
̅̅̅̅ = 2√3 u.
ii. Segmento por três pontos do geoplano, CD: 𝐶𝐷
iii. Segmento por três pontos do geoplano, EF: ̅̅̅̅
𝐸𝐹 = 2√7u.
Comparação dos comprimentos dos segmentos de (i), (ii) e (iii):
2 < 2√3 < 2√7; logo, ̅̅̅̅
𝐴𝐵 < ̅̅̅̅
𝐶𝐷 < ̅̅̅̅
𝐸𝐹 .
16. Representação dos seguintes triângulos no geoplano isométrico:
i. Menor triângulo equilátero no geoplano isométrico, A.
ii. Menor triângulo retângulo no geoplano, B.
17. Cálculo do perímetro P dos seguintes triângulos equiláteros.
P(∆A) = 6 u
P(∆B) = 12 u
P(∆C) = 3√3 u
P(∆D) = 1 u
P(∆E) = (2√7 + √14 ) u
P(∆F) = 9 u
18. Calculo do perímetro P dos seguintes polígonos representados no geoplano.
- P(A) = 14u.
- P(B) = 12u.
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19. Representação de um hexágono convexo com perímetro
P = 16u e área triangular A = 40𝑢2 .
20. Cálculo da área triangular de cada um dos seguintes polígonos.
Área(A) = 4 u²
Área(E) = 3 u²
Área(B) = 22 u²
Área(F) = 8 u²
Área(C) = 7 u²
Área(G) = 6 u²
Área(D) = 16 u²
Área(H) = 12 u²
Área(J) = 6 u²
Área(F) = 11 u²
21. i. Representação no geoplano isométrico de um paralelogramo P com lados consecutivos
medindo 10u e 4u.
ii. A área triangular do polígono: Área(P) = 80 u²
iii. A partição de P determina cinco regiões poligonais
equivalentes e não congruentes, vide figura, cada
polígono da partição tem área triangular medindo 16 u².
22. Representação no geoplano de um polígono não convexo em forma de estrela de seis pontas
(estrela de David),
com lados medindo 2u de
comprimento.
- Perímetro de R:
P(R) = 24 u
- Área triangular de R:
Área(R) = 48 u²
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23. Representação de uma partição do polígono da Atividade 22 em oito regiões poligonais
equivalentes e não congruentes.
Todos os polígonos A, B, C, D, E, F, G e H contidos em R
têm área triangular medindo 6 u².
Logo, A, B, C, D, E, F, G e H são polígonos equivalentes e
eles são não congruentes.
24. Construção no geoplano isométrico, de dez polígonos equivalentes medindo 8u de perímetro e
6𝑢2 de área triangular.
8
25. Construção de triângulos retângulos e representação de triângulos equiláteros semelhantes sobre
os lados dos triângulos retângulos. Cálculo dos perímetros P e cálculo das áreas desses polígonos.
P(A) = ( 3 + √3 ) u
P(E) = ( 6 + 2 √3 ) u
P(B) = 3 √3 u
P(F) = 6 u
P(C) = 3 u
P(G) = 12 u
P(D) = 6 u
P(H) = 6 √3 u
Área(A) = 2 u²
Área(E) = 8 u²
Área(B) = 3 u²
Área(F) = 4 u²
Área(C) = 1 u²
Área(G) = 16 u²
Área(D) = 4 u²
Área(H) = 12 u²
26. Representação de um triângulo retângulo com base e hipotenusa medindo 1u e 2u e de losangos
semelhantes com base em cada um dos lados do triângulo
retângulo. Cálculo da área desses polígonos.
Àrea(A) = 2 u²
Área(B) = 2 u²
Área(C) = 8 u²
Área(D) = 6 u²
9
27. Cálculo das áreas dos três hexágonos regulares semelhantes representados no geoplano
isométrico sobre os três lados de um triângulo retângulo com base e hipotenusa que medem 1u e 2u,
respectivamente.
Àrea(A) = 6 u²
Área(B) = 24 u²
Área(C) = 18 u²
28. Representação de um triângulo retângulo com catetos medindo √3 u e 2√3 u, respectivamente.
Construção de trapézios isósceles semelhantes com base menor em cada um dos lados do triângulo
retângulo.
Cálculo da área triangular dos quatro polígonos:
Área(A) = 5𝑢2
Área(C) = 16𝑢2
Área(B) = 9𝑢2
Área(D) = 24𝑢2
Os três trapézios isósceles não são polígonos semelhantes.
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29. Representação de um friso no geoplano isométrico formado por trapézios isósceles congruentes.
A análise da figura acima indica que esse padrão de friso apresenta simetrias de rotação, de reflexão
(vertical e horizontal) e de translação.
30. Representação no geoplano isométrico das seguintes figuras espaciais:
i. um cubo (I);
ii. dois cubos com uma fase comum (II).
I
II
11