Colégio Adventista Portão – EIEFM

Colégio Adventista Portão – EIEFM
MATEMÁTICA – Análise Combinatória – 2º Ano
APROFUNDAMENTO/REFORÇO
Professor: Hermes Jardim
Disciplina: Matemática – Lista 5
Aluno(a):
Número:
3º Bimestre/2013
Turma:
1) Resolva os problemas:
a) De quantos modos distintos podemos entrar numa casa que tem 2 portões e 3 portas? 6
b) Quatro times de futebol disputam um torneio. Quantas são as possibilidades de classificação
para os três primeiros lugares?
c) Em um campeonato de futebol participam 10 clubes, todos com a mesma possibilidade de
vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os três primeiros
lugares? 720
d) Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá
escolher uma blusa e uma calça para se vestir? 6
e) Em um grupo de 6 pessoas, de quantas maneiras podemos formar comissões com um
presidente, um vice-presidente e um tesoureiro? 120
f) Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair
desse estádio? 16
g) Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair
desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou? 12
h) Para ir de uma cidade A para outra cidade B dispomos de quatro empresas de ônibus, três de
aviões e duas de navios. De quantos modos podemos viajar de A ate B?
i) Para ir da cidade “A” para uma cidade “B” existem 3 estradas, e de “B” para “C” existem
duas estradas. De quantas maneiras diferentes podemos ir de “A” ate “C”, passando por “B”?
j) Quantas comissões de 3 elementos podemos formar dispondo de 6 elementos, sendo que um
deve ser presidente, outro tesoureiro e outro deve ser secretário? 120 comissões
2) Resolva os problemas:
a) Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto
{1, 2, 3}? Resposta: 9
b) Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando
elementos do conjunto {1, 2, 3}? 6
c) Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto
{1, 2, 3}? 27
d) Quantos números de três algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando
elementos do conjunto {1, 2, 3}? 6
e) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9? 504
3) Quantas comissões podem ser formadas com presidente, vice-presidente e tesoureiro, entre os
15 conselheiros de um clube? 2 730
4) A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de Presidente,
Secretário e Tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar, com os 10 membros, chapas
contendo Presidente, Secretário e Tesoureiro?
5) Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos?
6) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
7) Calcule:
a) 2! =
f) 2! + 3! =
b) 3! =
g) 4! - 2! =
c) 4! =
h) 3! . 5! =
d) 5! =
i) 6! + 4! =
e) 6! =
j) (3!)2 - (32)! =
8) Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
0!
=
3!
6!
=
3!
4!
=
6!
8!
=
10!
10!
=
7!
100!
=
2 ⋅ 98!
3!⋅ 9!
g)
=
5!⋅ 7!
5!⋅ 8!
h)
= 40
4!⋅ 7!
6!+ 3!− 2!
i)
=
5!
50! + 49!
j)
=
48!
f)
9) Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
(n − 5)!
= n2 - 11n + 30
(n − 7)!
(2n + 2)!
g)
=
(2n + 1)!
(n + 1)!− n!
h)
=
n! − (n − 1)!
n!− (n + 1)!
i)
=
n!
(n + 2)! + (n + 1)!⋅ (n − 1)!
j)
=
(n + 1)!⋅ (n − 1)
n!
= n
(n − 1)!
n!
=
(n + 2)!
(n − 3)!
= n2 - 7n + 12
(n − 5)!
(n + 2)!
=
(n − 1)!
(n + 4)!
= n2 + 7n + 12
(n + 2)!
f)
10) Simplifique as expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
(n + 3)!
=
(n + 1)!
(n + 5)!
=
(n + 2)!
(n − 6)!
=
(n − 5)!
n!
=
(n − 2)!
(n + 2)!
=
(n − 1)!
(n + 3)!⋅ (n − 3)!
=
(n + 5)!⋅ (n − 4)!
(n − 8)!⋅ (n = 5)!
g)
=
(n − 7)!⋅ (n + 4)!
(n + 3)! − (n + 2)!
h)
=
(n + 1)!
(n + 2)!− n!
i)
=
(n + 1)!
(n + 4)! − (n + 2)!
j)
=
(n + 3)!
f)
2
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
11) Simplifique as expressões:
x!.(x + 2)!
= x2 + 2x
(x − 1)!.(x + 1)!
n!− (n − 1)!
g)
=
(n − 1)!+ (n − 2)!
(n + 1)! + n!
h)
= n+2
n!
n!.(n + 4)!
n
=
n+5
(n + 5)!.(n − 1)!
(n + 2)!
n
b)
=
(n − 1)!.(n + 2)
n +1
(n + 1)!− n!
n
c)
=
n+2
(n + 1)!+ n!
a)
f)
n!+ (n − 1)!
d)
=
(n + 1)!
(n!) 2
n
i)
=
(n + 1)!.(n − 1)!
n +1
n2 + n + 1
(n + 2)! − (n + 1)!
e)
=
n
(n + 1)! − n!
j)
n! − (n + 1)!
= -n
n!
12) Resolva as equações:
a) (n -2)! = 6.n!
f) n! + (n - 1)! = 6.(n - 1)! {5}
b) n! = 15.(n - 1)!
g) (n + 3)! - (n + 2)! = 20.(n + 1)! {3}
c) (n - 2)! = 2.(n - 4)!
h) (n + 2)! = 15.(n + 1)! - (n + 3)! {1}
d) (n + 1)! = n! + 6n {0, 3}
i) (n + 4)! + (n + 3)! = 12.(n + 3)!
e) 12.(n - 1)! = (n + 1)! {3}
j) (n + 2)! + (n + 1)! = 8n!.(n +1) {5}
13) Resolva as equações:
a) (n - 1)! = 6.(n - 3)! {4}
f) (n + 1)! = 15.(n - 1)! - n! {3}
b) 3n.(n + 1)! = 2.(n + 2)! {4}
g) n! - 2.(n - 1)! = 2.(n - 2)! {3}
c) n! - (n - 1)! = 6.(n - 1) {4}
h) (n + 1)! + n! = 11.n! {9}
d) (n + 1)! - n! = 8n.(n - 1)!
i) (n + 2)! + (n + 1)! = 24.(n + 3) {3}
e) (n - 1)! - n! = - 7.(n - 1)! {8} 14) Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
(n + 4)!
=2
(n + 2)!
n!
g)
= 20 {6}
(n − 2)!
(n + 3)!
h)
= 30 {3}
(n + 1)!
(n + 1)!
i)
= 30 {5}
(n − 1)!
(n + 2)!
n!
j)
. {1, 2}
=
3!⋅ n!
(n − 1)!
n!
= 6 {3}
(n − 2)!
(n − 1)!
= 12 {5}
(n − 3)!
(n + 2)!
= 12 . {2}
n!
(n − 2)! 1
= . {6}
(n − 1)! 5
(n + 1)! 1
. {2}
=
(n + 3)! 20
f)
15) Resolva a equação: (n + 1)!.(n + 2) = 20n.(n - 1)!.
16) Resolva as equações:
a) (n + 2).(n + 1).n! = 720 {4}
b) (n!)² - 25n! = 24 {1, 4}
j) (n + 2)! + (n + 1)! = 8n!.(n + 1) {5}
3
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
17) Calcule o valor de n nas expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
n! + (n − 1)! 6
. {5}
=
(n + 1)!− n! 25
n! + (n − 1)! 1
= . {6}
(n + 1)!
6
n! + (n − 1)! 1
= . {8}
(n + 1)!
8
n!+ (n + 2)!
= 31 {4}
n!
n!+ (n + 1)! 6
=
(n + 1)!
5
n!+ (n + 1)!
= 15 . {3}
(n − 1)!
(n + 2)!
g)
= 5 {4}
n!+ (n + 1)!
(n − 1)!⋅ (n + 2)!
h)
= 2 {2}
n!⋅ (n + 1)!
( n + 1)!+ n ! 1
i)
=
( n + 2) !
6
n!+ (n − 1)! 3
j)
=
(n + 1)!− n! 4
f)
18) Resolva as equações:
(n − 1)!⋅ (n + 1)! 5
{4}
=
4
(n)!2
(n − 1)!
n!
g)
. {4}
=
(n − 3)! 2!⋅ (n − 2)!
(n + 1)! − n! 2
{4}
=
(n + 1)! + n! 3
(n + 1)!+ (n + 2)
b)
= 24 {3}
n.(n − 1)!
a)
(n + 3)!
= 12 {2}
(n + 1)! + (n + 2)!
n!
( n + 4) !
i)
= 17
+
( n − 1)! 2.( n + 2)!
(n − 4)! (n − 3)! (n − 2)!
j)
+
+
= 20 {6}
(n − 6)! (n − 5)! (n − 4)!
(n!) 2
4
=
(n + 1)!⋅ (n − 1)! 5
n!
( n + 1)!
d)
+
= 10
( n − 2) !
n!
n! + 2.(n − 1)!
e)
= 18 {4}
(n − 2)!
c)
19) Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
h)
m!+ ( m − 1)! 5
= .
( m + 1)!− m! 16
(n + 3)! . ( n − 2)!
= 14 .
(n + 2)! . (n − 3)!
( a + 2) ! . ( a + 4) !
= 48 .
(a + 3)! . (a + 1)!
( x + 1)!+ ( x − 1)! 21
.
=
x !+ ( x − 1)!
5
x ! − ( x + 1)!
4
.
=
( x + 1)! − ( x + 2)! 25
20) Calcule x ∈ N, de modo que
f)
(n + 2)! . (n − 2)!
= 4.
( n + 1)! . (n − 1)!
( n + 2)!+ ( n + 1).(n − 1)!
g)
= 16 .
( n + 1).( n − 1)!
2.( x + 2) !
8n!
h)
.
+ 3.( x − 1) =
3n!
( x − 1) !
( x − 1)! ( x − 2)! ( x − 3)!
i)
+
= 14 .
−
( x − 3)! ( x − 4)! ( x − 5)!
( x − 4)! ( x − 3)! ( x − 2)!
j)
+
= 62 .
+
( x − 6)! ( x − 5)! ( x − 4)!
f)
( x + 1)!− 2.( x − 1)!
7
.
=
( x + 1)! + 10.( x − 1)! 10
21) Resolva a equação:
(n + 2)! + (n + 1).(n − 1)!
= 2!.(n + 1) . {5}
3.(n + 1).(n − 1)!
22) Resolva a equação:
( x − 1)! ( x − 2)! ( x − 3)!
−
= 17 − 3.(x − 2) .
+
( x − 3)! ( x − 4)! ( x − 5)!
4
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
23) Calcule:
a) A7, 4 =
f) A6, 6 =
b) A4, 3 =
g) A5, 2 =
c) A4, 4 =
h) A7, 5 =
d) A8, 3 =
i) A9, 6 =
e) A5, 4 =
j) A2, 1 =
24) Resolva as equações:
a) A6, 2 + A6, 4 - 2.A4, 2. 366
f) An, 4 = 12.An, 2 {6}
b) An, 2 = 6 {5}
g) An, 3 = 6.(n - 2) {3}
c) An, 2 = 20 {5}
h) An, 3 = 20.(n - 2) {5}
d) An, 2 = 30 {6}
i) An, 2 + An - 1, 2 = 32 {5}
e) An, 4 = 8.An, 3
j) An, 2 + An - 1, 2 = 98 {8}
25) Resolva as equações:
a) An, 2 = 20 {5}
b) An - 1, 2 = 30
f) An, 3 = 4.An, 2 {6}
g) 3An, 2 = 5An - 1, 2 {5}
{7}
c) An, 2 = 12 {4}
h) (2n)! = 12.(2n - 2)! {2}
d) An, 2 = 156. {13}
i) An, 3 + 12.An, 2 = 2.An + 1, 3 {8}
e) An, 2 = 3.(n + 4) {6}
j) An + 1, 2 + An + 2, 3 = 2.(An, 3 - An + 1, 2) + n.
26) Resolva a equação: An, 4 + An, 3 = 10.An, 3.
27) Sabendo que
n!
(n + 1)!
+
= 10 , calcule o valor de
(n − 2)!
n!
28) Sendo x um número natural tal que
29) Se
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n⎞
⎜
⎟+⎜
⎟+⎜
⎟+⎜ ⎟.
⎝ n − 3 ⎠ ⎝ n − 2 ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝ n ⎠
x! + (x + 1)!
= 10 , calcule o valor de Ax, x - 6. 56
x!
(n − 1)!
= 3 , calcule o valor de An + 1, 2.
(n − 2)!
m! − 7
30) Sendo A = 1
1 , calcule m tal que A = 2. M = 3
4 m +1
31) Calcule: a)
b)
A 5, 4 + A 3, 2
A 4, 2 − A 2, 1
A n, 6 + A n, 5
A n, 4
=
c)
=9
d)
5
A n, 4
A n, 3
=8
5 ⋅ A n −1, 3
A n, 3
=2
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
32) Resolva os problemas:
a) Com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 quantos números com 3 algarismos podem ser escritos? 60
b) Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 quantos números de 4 algarismos distintos podemos
escrever? 360
c) Quantos números com quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2,
3, 4, 5, 6 e 7.
d) Quantos números de três algarismos podem ser escritos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 6?
e) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos
1, 2, 3, 4 e 5?
f) Usando-se os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com 4 algarismos
podem ser montados? 5 040
g) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos podemos formar?
h) Quantos números distintos com 3 algarismos distintos, podemos formar com os dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 648
i) Calcule a quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos
formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8.
j) Quantos números de 3 algarismos diferentes podemos formar, empregando os caracteres 1,
3, 5, 6, 8 e 9?
33) Resolva os problemas:
a) Quantos números diferentes de quatro algarismos diferentes é possível escrever com os
algarismos 0, 2, 3, 4, 6, 8 e 9?
b) Quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,
2, 3, 4, 5, 6 e 7? 210
c) Quantos números naturais pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6 e 7? 1029
d) Quantos números naturais pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 360
e) Quantos números naturais pares e de quatro algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 0, 1, 2, 3, 5, 7? 108
f) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos
1, 2, 3, 4 e 5? 60
g) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine a quantidade de números de 3 algarismos
distintos que se podem formar.
h) Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? 90
i) Quantos números naturais maiores que 400 e de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 6?
j) No Brasil, as placas de automóveis são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D e os algarismos 1,
2, 3, 4 e 5?
34) Resolva os problemas:
a) Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9. 9000
b) Quantos números distintos com 4 algarismos distintos, podemos formar com: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9. 4 536
35) Considere o conjunto A = {0, 1, 4, 5, 7, 8}. Utilizando os elementos desse conjunto e sem os
repetir responda.
a) Quantos números distintos podemos escrever com cinco algarismos? 600
b) Dentre os números do item a, quantos são ímpares? 288
c) Quantos números de quatro algarismos distintos contêm os dígitos 1 e 5? 126
6
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
36) Resolva os problemas:
a) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 e sem repeti-los, quantos são os números maiores que 2000?
b) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números, com algarismos distintos, existem
entre 700 e 1000?
c) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos
distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 336
d) Considere todos os números de quatro algarismos distintos, formados com os dígitos 1, 2, 3,
4, ..., 9. Quantos destes são ímpares e maiores que 3.000?
e) Determine a quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500
que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não fiquem
algarismos repetidos. 60
f) Quantos números com 3 algarismos distintos são maiores que 500 e menores que 700?
g) Com os algarismos ímpares, quantos números de algarismos distintos que estejam entre
700 e 1600 podemos formar? 36
h) Com os algarismos 0, 1, 2, 4 e 5, sem repetir, quantos números compreendidos entre 200 e
1 000 podemos formar?
i) Considere os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Calcule o número n de números superiores a 20 000
e constituídos de algarismos diferentes entre si. 72
j) Quantos números situados entre 2 000 e 5 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6 e 7?
37) Usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a)
b)
c)
d)
e)
Quantos números de 2 algarismos podemos formar?
Quantos números pares de 2 algarismos podemos formar?
Quantos números ímpares de 2 algarismos podemos formar?
Quantos números de algarismos distintos podemos formar?
Quantos números de 2 algarismos pares podemos formar?
38) Com os algarismos 0, 1, 2, 4, e 5, sem os repetir, quantos números compreendidos entre 200 e
1000 podemos formar? 36
39) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5,
a) quantos números de 4 algarismos podem ser formados? 1 080
b) Desses, quantos são pares? 540
40) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5,
a) quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados? 300
b) Destes, quantos são divisíveis por 5? 108
41) Considerando todos os números de seis algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3,
4, 6, 7 e 9, determine:
a) Quantos são pares. 2 160
b) Quantos são ímpares. 2 880
42) Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5 000 e 10 000 podemos formar com os
algarismos 1, 2, 4 e 6.
43) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul
e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de
quantos modos se pode colorir a bandeira? 192
44) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 e sem repeti-los, quantos são os números maiores que 2000?
7
18
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
45) Considerando os numerais 1, 2, 3, 4, 5 e 6 determine quantos números:
a)
b)
c)
d)
de 4 algarismos poderão ser formados? 1296
são formados por algarismos distintos. 360
são ímpares. 648
são ímpares e com algarismos distintos. 180
46) Determine a quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos formar
com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8. 480
47) Resolva: a) Usando-se os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números com 4 algarismos
podem ser montados? 5040
b) Usando-se as 26 letras do alfabeto: A, B, C, D, ..., Z quantos arranjos distintos com 3 letras
podem ser montados? 15600
c) Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos
diferentes da coleção: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 5274
d) Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes podemos formar com: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9. 4536
e) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos
distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
f) Quantos números de 3 algarismo distintos podem ser formados usando-se os algarismo 1, 2,
3, 4 e 5?
g) Com os algarismos 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
h) Quantos números de três algarismos podemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
i) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
j) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre 300 e 500 que podemos
formar, usando apenas os algarismos 3, 4 e 5?
48) Quantos números podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que:
a)
b)
c)
d)
sejam múltiplos de 5 e tenham 4 algarismos distintos? 24
sejam menores que 650? 115
sejam pares e tenham 3 algarismos? 50
tenham 4 algarismos distintos e apresentem os algarismos 4 e 7 sempre juntos? 10
49) Um estudante possui um livro de Matemática, um de Biologia, um de Física, um de Química, um
de História e um de Geografia. Desejando organizá-los lado a lado em uma instante:
a) de quantos modos poderá fazê-lo? 720
b) o primeiro livro seja o de Matemática. 120
c) o 1º livro seja de Matemática e o 2º de Física. 24
d) os dois primeiros livros sejam os de Matemática e Física. 48
e) os livros de Matemática e Física fiquem juntos. 240
f) os livros de Matemática, Física e Química devem estar juntos, nessa ordem, no início da
fila. 6
g) os livros de Matemática, Física e Química devem estar juntos, nessa ordem. 24
h) os livros de Matemática, Física e Química devem estar juntos. 144
50) O Filipe tem 9 livros de Matemática, 5 de Física e 4 de Inglês. De quantas maneiras diferentes
pode o Filipe arrumar os livros numa prateleira, considerando que:
a) qualquer dos livros pode ocupar uma posição qualquer?
b) os livros de cada uma das disciplinas devem ficar juntos?
c) apenas os livros de Matemática e os livros de Física devem ficar juntos?
d) apenas os livros de Inglês devem ficar juntos?
8
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
51) Calcule:
a) P6 = 720
f) P72, 3 = 420
b) P53, 2 = 10
g) P72, 2 = 1 260
c) P42 = 12
h) P94, 3, 2 = 1 260
d) P73 = 840
i) P92, 4 = 7 560
e) P82, 3 = 3 360
j) P53, 2 + P54 + P55 = 16
52) Calcule o valor de m que verifica a relação
Pm + m ⋅ Pm − 2
Pm − 1
3
= . {3}
8
53) De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar em um automóvel com 5 lugares, se apenas uma
delas sabe dirigir? 24
54) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1,
3, 5 e 7? 24
55) Quantos são os anagramas da palavra EDITORA:
a) que começam por A? 720
b) que começam por A e terminam por E? 120
56) Numa prateleira existem cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química.
a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los? 3628800
b) De quantos modos podemos arruma-los de modo que os livros de cada matéria fiquem
juntos? 8640
c) De quantos modos podemos arruma-los de modo que os livros de física fiquem sempre
juntos? 241920
57) Com as letras A, B, C, D, E, F e G quantos:
a) anagramas de quatro letras distintas podem ser formados? 840
b) terminam por vogal? 240
58) De quantas maneiras podemos arrumar 5 livros de Matemática e 3 de Física em uma estante? Se
desejarmos que os livros de mesma disciplina fiquem juntos, de quantas maneiras eles poderão ser
arrumados?
59) Considere a palavra ESTACIO. Quantos anagramas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
podem ser formados com as letras da palavra?
começam por uma vogal? 4.6!
apresentam as vogais juntas? 4!.4!
apresentam as vogais juntas em ordem alfabética? 4!
começam e terminam por uma consoante? 6.5!
apresentam a sílaba TA? 6!
60) Calcule o número de anagramas da palavra VOLUME que começam com a letra V e terminam
com a letra L.
9
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
61) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra VESTIBULAR, em que as letras VES,
nesta ordem:
a) apareçam juntas. 40.320
b) apareçam juntas no início de cada anagrama. 5.040
62) Responda:
a)
b)
c)
d)
e)
Quantos são os anagramas da palavra FILHO?
Quantos anagramas de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO?
Quantos desses anagramas de 4 letras começam com O?
Quantos desses anagramas de 4 letras terminam com FI
Quantos desses anagramas de 4 letras tem a letra I?
63) Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA nos quais:
a) as letras S e C aparecem juntas. 240
b) as vogais aparecem juntas em ordem alfabética. 24
c) as vogais aparecem em ordem alfabética. 120
64) Dada a palavra CONTAGEM, pede-se:
a)
b)
c)
d)
quantos anagramas começam por vogal. 3.7!
quantos anagramas apresentam todas as vogais juntas no início da palavra. 5!.3!
quantos anagramas apresentam a sílaba COM. 120
quantos anagramas apresentas as vogais em ordem alfabética. 8! / 3!
65) Quantos anagramas da palavra PROBLEMA:
a)
b)
c)
d)
começam com R? 5040
começam com P e terminam com M? 720
começam com vogal? 15 120
terminam com consoante? 25 500
66) Com relação à palavra TEORIA, pede-se:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
quantos anagramas podem ser formados com suas letras? 720
quantos anagramas começam com T? 120
quantos anagramas começam com T e terminam com A? 24
quantos anagramas começam com vogal? 480
quantos anagramas apresentam as vogais juntas? 144
quantos anagramas aprestam as letras R, I e A juntas? 144
67) Com a palavra ADEUS, podemos formar:
a)
b)
c)
d)
e)
quantos anagramas? 120
quantos anagramas que iniciam com a letra A? 24
quantos anagramas que iniciam com vogal? 72
quantos anagramas que iniciam com consoante? 48
quantos anagramas que iniciam com consoante e terminam em vogal? 36
68) Considerando os anagramas que podem ser formados a partir da palavra PERNAMBUCO.
a)
b)
c)
d)
e)
Quantos começam com NA?
Quantos começam com NA e terminam com PE?
Quantos terminam com PE?
Quantos têm as letras PENA juntas?
Quantos têm as letras PENA juntas e nessa ordem?
69) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra AMADA?
10
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
70) Um aluno possui dois livros iguais de Matemática e 4 diferentes de Física. De quantas maneiras
ele poderá arrumar esses livros, lado a lado, em uma estante? 360
71) Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em
um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas
maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? 12600
72) Resolva os problemas:
a) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ELE?
b) Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?
c) Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS,
sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal? 1440
d) Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? 30
e) Quantos são os anagramas da palavra TAQUARA?
f) Quantos anagramas tem a palavra RETRATAR?
g) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra DANADA?
h) Quantos anagramas da palavra CONTAGEM podemos formar?
i) Calcule o número de anagramas que podemos escrever com as letras da palavra INFINITO?
j) Quantos anagramas tem a palavra TÁRTARA? 210
Calcule o número de permutações distintas possíveis com as oito letras da palavra PARALELA,
começando todas com a letra P. 420
73)
74) Considere a palavra GARRAFA. Determine:
a) o número de anagramas da palavra.
b) o número de anagramas da palavra que começam pela letra A.
75) Existem 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com
camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de
modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? 3 456
76) Responda:
a) Quantos são os anagramas da palavra DEZESSETE?
b) Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra
ARARUNA? 420
c) Quantos são os anagramas da palavra CARACOL? Resposta: 7! / 2!.2!
d) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARAPONGA, de modo
que a letra P ocupe sempre o último lugar?
e) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L?
f) Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO? 6720
g) Quantos anagramas podemos formas com as letras da palavra FLAMENGO,em que as
letras F, L e A aparecem sempre juntas? 4 320
h) Quantos anagramas da palavra BOMBEIROS possuem juntas todas as vogais e todas as
consoante? 1 440
i) Calcule o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra SEMENTES.
j) Quantas são os anagramas da palavra VOLUME que começam por vogal e terminam por
vogal? 144
77) Considere a palavra: BANANEIRA.
a) Quantos anagramas podem ser formados com as letras dessa palavra? 30.240
b) Destes, quantos começam por uma vogal? 16.800
11
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
78) Quantos anagramas da palavra AMARGURA:
a) começam com a letra A? 7! / 2!.2!
b) começam com a letra U? 7! / 3! . 2!
c) começam com uma consoante? 2.(7! / 3!.2!) + 7! / 3!
79) Quantos anagramas da palavra FELICIDADE:
a) começam com a letra F? 9! / 2! 2! 2!
b) começam por vogal? 2. 9! / 2! 2! + 9! / 2! 2! 2
c) apresentam a sílaba FE? 9! / 2! 2!
80) Considere os anagramas formados a partir da palavra CORREDOR. Responda:
a)
b)
c)
d)
quantos são? 3360
quantos começam por R? 1260
quantos começam por COR? 60
quantos começam e terminam por R? 360
81) Considere a palavra GARRAFA. Determine:
c) o número de anagramas da palavra.
d) o número de anagramas da palavra que começam pela letra A.
82) Calcule o número de permutações distintas possíveis com as oito letras da palavra PARALELA,
que começam com a letra P.
83) Determine o que se pede:
a) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam em O? 60
b) Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO? 6 720
c) Calcule o número de anagrama da palavra MACACADA.
d) Quantos anagramas da palavra SIMULADO começam com S e terminam com O?
e) Considere a palavra BANANA. Calcule o número de anagramas da palavra que começam
pela letra A.
Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas
e nesta ordem. 24
84)
(UFSC)
85) Permutando os algarismos 2, 4, 5, 8 e 9 são formados números dispostos em ordem crescente.
Determine o lugar que o número 58.429 ocupa. (a) 48º, b) 60º, c) 62º, d) 63º, e) 65º)
86) Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos, formados com
os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, determine a posição ocupada pelo número 62417.
b) 75, c) 79, d) 81, e) 92)
(a) 74,
87) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos formados
pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, determine a ordem do número 75389. (a) 54, b) 67, c) 66, d) 55, e) 56)
88) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando
os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Que posição ocupa o número 75391? (a) 21º, b) 64º, c) 88º, d) 92º, e) 120º)
89) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, que lugar ocupa o número 68412?
90) Permutando-se os algarismos 2, 4, 6 e 8 formamos números. Dispondo-se esses números em
ordem crescente, qual o número que ocupa a 22º posição?
12
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
91) Calcule:
a) C7, 5 =
f) C0, 0 =
b) C5, 4 =
g) C6, 2 =
c) C8, 8 =
h) C7, 5 =
d) C9, 1 =
i) C8, 4 =
e) C4, 0 =
j) C3, 2 =
92) Calcule: C7, 3 + C3, 3 - C4, 0.
93) Resolva as equações:
a) Cn, 2 = 21
f) 2.An, 4 = 4!.Cn, n - 5
b) Cn, 3 = 3.An, 2 {20}
g) An + 2, 3 = 16⋅Cn + 1, 2
c) An, 3 = Cx + 1, 2 {3}
h) 5.Cm + 1, 3 = 2.Cm + 2, 2
d) An3 - 6.Cn2 = 0 {5}
i) An, 3 + 2.An - 1, 2 = 8.Cn, 3. {6}
e) An + 1, 2 + Cn, 2 = 26 {4}
j) An, 2 + Cn, 2 + P5 = 150. {5}
94) Resolva a equação:
Cn + 1, 4
C x − 1, 2
=
7
.
2
95) Resolva as equações:
a) Cx, 2 = 3. {3}
f) Am, 3 = Cm, m - 2 + 10m.
b) Cn, 3 - Cn, 2 = 0. {5}
g) 3.Cn + 1, 2 + n.P2 = 4.An, 2.
c) An, 3 - 6.Cn, 2 = 0. {5}
h) 5.Cn, n - 1 + Cn, n - 3 = An, 3.
d) Am - 1, 2 = Cm, m - 2.
i) 5.Cn + 1, 3 + Cn + 1, 1 = An + 1, 3. {3}
e) 2.Ax, 4 = 4 ! Cx, x - 5.
j) Cn, 2 + 2.An, 2 + 4.(P4 + 1) = A2n , 2.
96) Resolva a equação: 6.Cn, 3 + An, 2 =
16.Pn
.
( n − 1)!
97) Resolva a equação: 6.Cn, 3 + An, 2 =
16.Pn
. {5}
( n − 1)!
98) Resolva a equação: An - 1, 2 + 2.Cn + 1, 2 =
n!
+ 58.
(n − 2)!
99) Se n é a solução da equação An + 1, 3 = 4.Cn + 2, 2, onde n é um número natural, calcule o valor de
expressão C2n, 4 - 5.(n + 1).(n - 2)!. S = {4} e E = 20
100) Se A pn = 30 e Cpn = 15 , ache o valor de
(n + p)!
n!
101) Sabendo que n é solução da equação (n - 3)! = 24, determine o valor de An, 2 + Cn, 3.
13
{77}
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
102) A diretoria de um centro acadêmico de uma faculdade é constituída por 5 estudantes do sexo
masculino e 3 do sexo feminino. Determine quantas comissões de 5 desses estudantes podem ser
formadas de modo que cada uma tenha 3 rapazes e 2 moças. 30
103) Resolva os problemas:
a) Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? 56
b) Quantas comissões de duas pessoas podem ser formadas com cinco alunos (A, B, C, D e
E) de uma classe?
c) Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do
alfabeto? 210
d) Quantas combinações com 4 elementos podemos montar com as 10 primeiras letras do
alfabeto, sempre começando pela letra A? 84
e) Quantas combinações com 4 elementos podemos criar com as 10 primeiras letras do
alfabeto, tendo sempre estejam juntas as letras A e B? 28
f) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Calcule
o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas. 35 comissões
g) Num plano há 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Quantas retas que passam
por esses pontos? 6
h) Uma classe tem dez alunos e cinco alunas, formam-se comissões de quatro alunos e duas
alunas. Quantas comissões diferentes posso formar? 2100
i) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem
ser feitas? 210
j) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com
3 rapazes e 4 moças? 525
104) Numa sala estão 5 médicos, 4 enfermeiras e 6 professores. Quantas comissões de 4 elementos
podem ser formadas com:
a) 2 médicos, uma enfermeira e um professor. 240
b) pelo menos 2 médicos. 55522
105) Resolva os problemas:
a) Com um grupo de 6 violinistas e 5 ritmistas, quantos quartetos podem ser formados de
modo que, em cada um, haja, pelo menos, 2 violinistas? 265
b) Em uma sala existem 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas
nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
c) Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com
3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades? 180
d) Com 6 pontos distintos sobre uma reta e um ponto fora dela, quantos triângulos podem ser
formados? 15
e) Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de 10 jogadores, dos quais 3 atuam
somente como goleiro. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados? 105
f) Numa reunião de jovens há 10 rapazes e 5 moças. Determine o número de grupos de
5 jovens que podem ser formados, tendo cada grupo no máximo 1 rapaz. 51
g) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem
ser formadas? 3 150
h) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões distintas podem ser
formadas, constituídas de 1 diretor e 4 gerentes? 1 050
i) Uma urna contém 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5 brancas, distintas apenas na cor.
Calcule o número de modos que podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas. 350
j) Calcule o número de maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de
um grupo de 6 estudantes. 6319
14
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
106) Com um grupo de 6 rapazes e 4 moças, de quantos modos se pode formar uma comissão de
4 pessoas de modo que em cada uma haja:
a) 2 rapazes e 2 moças. 90
b) pelo menos 2 rapazes. 185
107) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres.
a) De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens
e 2 mulheres?
b) Quantas comissões tem pelo menos uma mulher?
108) Com 4 professores de Matemática, 3 de Português e 3 de Física, quantas comissões podem ser
formadas:
a) compostas de 4 professores? 210
b) com 4 professores sendo que cada comissão deve conter, pelo menos, um professor de
Português? 175
c) com 4 professores sendo que cada comissão deve conter, no máximo, dois professores de
Português? 168
109) Resolva os problemas:
a) Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e
3 moças? 200
b) Uma família composta de 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos
poderão se acomodar no automóvel para uma viagem, sabendo-se que apenas o pai e a mãe
sabem dirigir? 48
c) De quantas maneiras diferentes um professor poderá formar um grupo de 3 alunos,
escolhidos a partir de um grupo de 6 alunos? 20
d) Num grupo onde há 4 médicos e 5 professores, quantas comissões podem ser formadas
com 4 desses profissionais? 126
e) Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens,
podem ser formadas? 60
f) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão de
3 pessoas? 165
g) Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 homens. Calcule o número de comissões de
5 pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres. 140
h) De quantos modos podemos separar 10 pessoas em dois grupos, um de 7 pessoas e o outro
de 3 pessoas? 120
i) Numa prova de 7 questões, o aluno deve resolver apenas 5.De quantas maneiras ele
poderá escolher essas 5 questões? 21
j) Numa prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 6.De quantas maneiras ele
poderá escolher essas 6 questões? 210
110) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões distintas podem ser formadas,
constituídas de 1 diretor e quatro gerentes? 1.050
111) São dadas 10 caixas, numeradas de 1 a 10, e 10 bolas, sendo 3 verdes, 4 vermelhas e 3 azuis.
Desejando-se colocar uma bola em cada caixa, de quantas maneiras é possível guardar nas caixas? 4200
112) A sequência (Cn, 2, An, 2, 12.P2) é uma progressão geométrica.
a) Qual é o valor de n? 4
b) Quais os valores dos termos dessa progressão? {6, 12, 24}
113) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri
com 7 jurados. Calcule o número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado. 120
15
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
114) Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores.
a)
b)
c)
d)
Quantas comissões terão apenas 1 professor?
Quantas comissões terão apenas 2 professores?
Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?
Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?
115) Determine o que se pede:
a) Com 5 pontos distintos sobre uma reta e outros 7 sobre uma paralela, quantos triângulos
podem ser formados? Resposta: 395
b) Com 7 pontos distintos sobre uma circunferência, quantos polígonos convexos podem ser
formados? Resposta: 99
c) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcamse 5 pontos. Calcule o número de triângulos que podem ser formados unindo 3 quaisquer
desses 8 pontos. 45
d) São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. Determine o número de retas distintas determinadas por esses pontos. 66 retas
e) Sobre uma reta, marcam-se 6 pontos e sobre uma outra, paralela à primeira, marcam-se
5 pontos. Quantos triângulos obteremos, unindo 3 quaisquer desses pontos? 165
f) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r. Quantos
triângulos existem com vértices em 3 desses pontos?
g) Dados 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma outra reta paralela à primeira.
Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos?
116) Na figura abaixo temos que r // s.
Qual é o número de triângulos que podemos formar com 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre
outra reta paralela à primeira? 30
117) Na figura, temos que r // s. Quantos:
a) triângulos podem ser construídos com vértices em três quaisquer desses pontos? 96
b) quadriláteros podem ser construídos com vértices em quatro quaisquer desses pontos? 90
118) Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do
jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes? 504
119) Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:
a) 3 bolas? 84
b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas? 60
c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis? 40
120) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4 são
mulheres.De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha3 homens e
2 mulheres? 120
16
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
121) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binômios abaixo:
a) (16x - 14y5).
f) (x - 3y)7. - 128
b) (x + 2y5)7.
g) (3x - 1)10. 1024
c) (3x + 1)5. 1024
h) (3x + 2y)5. 3125
d) (x2 + 2x)4.
i) (4x10 - 4y3)99.
e) (5x - 3y)8 .
j) (1032x - 1032y4)2001.
122) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. Calcule o valor de m.
m=4
123) Determine:
o quarto termo no desenvolvimento do binômio (x - 1)7. - 35x4
o termo independente de x no desenvolvimento de (x - 3)8.
o termo em x6 no desenvolvimento de (x - 3)9.
o termo médio no desenvolvimento do binômio (x - 3)6. - 540x3
o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)4.
o quinto termo no desenvolvimento de (x3 - 2y2)7.
o terceiro termo do desenvolvimento de (2x - 3y4)7.
o termo em x10 no desenvolvimento de (2x2 - 5)8.
o coeficiente do termo x8 no desenvolvimento de (1 - 2x2)5. 80
8
⎛x
2 ⎞
j) o 5º termo do desenvolvimento de ⎜ − 4x ⎟ .
⎝2
⎠
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
124) Em relação ao desenvolvimento do binômio (x + 2)6, calcule:
a)
b)
c)
d)
o 3º termo. 60x4
o termo médio. 160x3
o coeficiente de x5. 12
o termo independente de x. 64
10
2
125) No desenvolvimento de ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ , determine:
x ⎠
⎝
a) o termo central.
b) o coeficiente de x.
c) o termo independente de x.
12
⎛
1 ⎞
126) No desenvolvimento de ⎜⎜ x 2 +
⎟ , determine:
x ⎟⎠
⎝
a) o termo em x9.
b) o termo independente de x.
n
x2
3⎞
⎛
127) No desenvolvimento de ⎜ 4x − ⎟ , a razão entre o terceiro termo e o quarto termo vale − .
2
x⎠
⎝
Determine o valor de n.
10
2
128) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ 3x 2 + 3 ⎞⎟ .
⎝
17
x ⎠
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
4
2
129) Determine o termo em x2 no desenvolvendo do binômio ⎛⎜ + x 2 ⎞⎟ .
⎝x
⎠
n
p
130) No desenvolvimento de ⎛⎜ x 3 + ⎞⎟ , determine os valores de n e p a fim de que o termo central
x⎠
⎝
ocupe o 6º lugar e seja dado por 8064x10.
131)
(FGV-SP)
Determine o coeficiente do termo que contém o fator y4 no desenvolvimento binomial
10
⎛1
⎞
de ⎜ x 2 − y ⎟ .
⎝2
⎠
132)
(UFPE)
Calcule o coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento binomial de
5
⎛ 2 1 ⎞
⎜ 2x − 3 ⎟ .
x ⎠
⎝
133) Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x2 + 2)10, feito segundo os expoentes
decrescentes de x.
134) Resolva os problemas:
a) No desenvolvimento de (x2 + 3x)12, qual é o coeficiente de x20? 40095
b) Calcule o coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6. 60
c) Calcule o 4º termo no desenvolvimento de (2x + 3y)6. T4 = 4320x3y3
d) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8? T4 = 1512x5
e) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de (x + 3)5, de acordo com as potências
decrescentes de x? T5 = 405x
f) Determine o 4º termo do binômio (2x - 3)5, desenvolvido segundo as potências
decrescentes de x.
g) Determine o 7º termo do binômio (x + 2)7, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x. T7 = 448x
h) Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências
decrescentes de x. T7 = 672x3
i) Um dos termos do desenvolvimento de (x3 + 2y4)m apresenta a combinação x12y12. Qual é
o valor de m?
j) Os coeficientes dos 8º e 15º termos no desenvolvimento de (x + a)m são iguais. Calcule a
soma dos coeficientes de (x + a)m.
8
⎛
1 ⎞
135) (UFPE) Qual o termo independente de x na expansão de ⎜⎜ 5 x +
⎟ ?
3 x ⎟
⎝
⎠
136) Resolva as equações:
⎛ x − 3⎞
a) ⎜
⎟ = 21 .
⎝ 2 ⎠
⎛ x − 2⎞
b) ⎜
⎟ = 6.
⎝ x − 4⎠
⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞
⎛ n ⎞
c) ⎜
⎟ . {5}
⎟ + ⎜ ⎟ = 3⋅⎜
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ n − 3⎠
⎛ n − 3⎞
d) ⎜
⎟ = 21 {10}
⎝ 2 ⎠
⎛ 5⎞ ⎛ 5 ⎞
e) ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ {1, 2}
⎝ 2x ⎠ ⎝ x + 2 ⎠
⎛x⎞ ⎛x⎞
f) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 35 {6}
⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
18
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
⎛8⎞ ⎛8⎞ ⎛ 9 ⎞
137) Resolva a equação ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ . {- 1, 4}
⎝ 6 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ x + 3⎠
⎛ 12 ⎞
⎛ 12 ⎞
138) Determine m que verifique ⎜
⎟=⎜
⎟.
⎝ 2m − 1⎠ ⎝ m + 4 ⎠
⎛ p ⎞
{3, 5}
⎛ p +1⎞
⎛ p ⎞
139) Dado ⎜
⎟.
⎟ = 15 e ⎜
⎟ = 6 , calcule ⎜
⎝q + 2⎠
⎝ q + 1⎠
⎝q + 2⎠
140) Sejam n e k números naturais tais que:
Calcule
21
(n + 1)!
= 210 e (k + 3)! + (k + 2)! = 15.(k + 1)!.
(n − 1)!
(n + k)!
.
n!
141) Calcule o valor de a de modo que o coeficiente de x5 seja igual ao de x15 no desenvolvimento
10
1 ⎞
⎛
de ⎜ 2x 2 + 3 ⎟ .
x ⎠
⎝
142) Determine o valor de x, tal que o 2º, 3º e 5º termos do desenvolvimento de (2 + x)5 estejam em
progressão geométrica. 8
143) Determine o que se pede:
7
⎛
1 ⎞
a) Calcule o coeficiente de x no desenvolvimento de ⎜ 5x 3 +
⎟ .
⎜
x ⎟⎠
⎝
7
6
⎛
1 ⎞
b) Obtenha o termo em x no desenvolvimento de ⎜ x +
⎟ .
⎜
3 x ⎟
⎝
⎠
2
7
1⎞
⎛
c) Obtenha o quarto termo do desenvolvimento de ⎜ 2x 2 + ⎟ .
x⎠
⎝
6
1⎞
⎛
d) Qual é o terceiro termo do desenvolvimento ⎜ x 2 + ⎟ ?
x⎠
⎝
10
x⎞
⎛
e) Qual é o sexto termo do desenvolvimento ⎜ 2x 2 + ⎟ ?
2⎠
⎝
8
1 ⎞
⎛
f) Calcule o termo em x no desenvolvimento de ⎜ 2x 2 + 4 ⎟ .
x ⎠
⎝
-8
⎛
g) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de ⎜
⎝
5
1⎞
⎛
h) Calcule o termo independente em ⎜ x 2 + ⎟ .
x⎠
⎝
⎛
i) Obtenha o termo em x no desenvolvimento de ⎜
⎝
-5
12
1 ⎞
x− 3⎟ .
x ⎠
8
⎛x
⎞
j) Calcule o termo em x11, no desenvolvimento de ⎜ − 4x 2 ⎟ .
⎝2
⎠
19
10
1 ⎞
x− 2⎟ .
x ⎠
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
10
2
144) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ 3x 2 + 3 ⎞⎟ .
x
⎝
⎠
6
1
145) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x + ⎞⎟ . 20
x⎠
⎝
9
1
146) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x + ⎞⎟ .
⎝
x⎠
84
n
1
147) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x + ⎞⎟ , sabendo que n é a raiz da
x⎠
⎝
n!+ (n + 1)!+ (n − 1)!
equação:
= 7.
n!+ (n − 1)!
148) Calcule o coeficiente do termo x no desenvolvimento: ⎛⎜
⎝
-3
6
1⎞
x + ⎟ . 15
x⎠
⎧3x + y = 10
⎪
149) Resolva o sistema: ⎨⎛ 4 ⎞ 4 0 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ 4 ⎞ 2 2 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ 4 ⎞ 0 4
. (2, 4)
⎪⎜ 0 ⎟ x y − ⎜ 1 ⎟ x y + ⎜ 2 ⎟ x y − ⎜ 3 ⎟ xy + ⎜ 4 ⎟ x y = 16
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩⎝ ⎠
10
10
1
1
150) Calcule o coeficiente do termo independente no desenvolvimento de ⎛⎜ x + ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ x − ⎞⎟ . 252
x⎠ ⎝
x⎠
⎝
Analise as afirmativas que seguem.
5
1⎞
5
⎛
00. No desenvolvimento do binômio ⎜ x − ⎟ o coeficiente do termo em x2 é − .
4
2⎠
⎝
151)
(UFAL)
4
1 ⎞
81
⎛
01. A soma dos coeficientes dos termos, no desenvolvimento do binômio ⎜ x +
.
⎟ , é igual a
2x ⎠
16
⎝
6
⎞
⎛2
02. O termo independente de x no desenvolvimento de ⎜ − x ⎟ é 240.
⎝x
⎠
⎛ 200 ⎞ ⎛ 200 ⎞ ⎛ 200 ⎞
03. ⎜
⎟+⎜
⎟=⎜
⎟.
⎝ 32 ⎠ ⎝ 33 ⎠ ⎝ 34 ⎠
⎛ 18 ⎞ 8 ⎛18 ⎞
04. ⎜ ⎟ ⋅ = ⎜ ⎟ .
⎝10 ⎠ 11 ⎝ 11 ⎠
n
1
152) Determine n, sabendo que o 5º termo do desenvolvimento do binômio ⎛⎜ 2x 2 + ⎞⎟ , segundo as
⎝
4
x⎠
potências decrescente de x, é 1120x .
n
1
153) No desenvolvimento binomial ⎛⎜ x + ⎞⎟ , com n > 0, a diferença entre os coeficientes do
x⎠
⎝
terceiro e segundo termos é igual a 90. Qual é a ordem do termo independente de x no seu
desenvolvimento?
20
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
154) Considere o experimento: lança-se uma moeda comum e anota-se o resultado, lança-se em seguida um dado comum e anota-se o resultado como um par moeda, dado, descreva:
a) o espaço amostral S.
b) o evento E1: sair cara na moeda.
c) o evento E2: sair par no dado.
d) o evento E3: sair cara na moeda e par no dado.
e) o evento E4: sair cara na moeda ou par no dado.
155) Considere o experimento: lançam-se dois dados comuns e honestos e anotam se a face que fica
voltada para cima em cada lançamento, determine:
a) o espaço amostral S.
b) o evento A: a soma dos resultados é 5.
c) o evento B: os resultados são iguais.
d) o evento C: o produto dos resultados é ímpar.
156) Considere o experimento: o lançamento de dois dados comuns, honestos e indistinguíveis e
anotam-se as faces que ficam voltadas para cima. Determine:
a) o espaço amostral S.
b) o evento A: a soma dos resultados é 5.
c) o evento B: os resultados são iguais.
d) o evento C: o produto dos resultados é ímpar.
157) Considere o experimento aleatório: “Lançar dois dados e obter as faces voltadas para cima”.
Determine a probabilidade de se obter:
a) a soma dos pontos igual a 10.
b) o número em uma das faces igual ao dobro do número na outra face.
c) a soma dos pontos igual a 13.
d) a soma dos pontos menor ou igual a 12.
e) números cujo produto seja ímpar. 1/4
158) Considerando o lançamento de um dado, determine:
a)
b)
c)
d)
a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”. 1/2
a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”. 1
a probabilidade do evento C “obter o número 4 na face superior”. 1/6
a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”. 0
159) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e
observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos:
a) o número escolhido é ímpar.
b) o número escolhido é maior que 15.
c) o número escolhido é múltiplo de 5.
d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3.
e) o número escolhido é primo.
f) o número escolhido é par e múltiplo de 3.
g) o número escolhido é múltiplo de 4.
160) Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, escrevemos todos os números que podem ser represen-
tados usando dois deles sem repetir. Escolhendo aleatoriamente um dos números formados, qual a
probabilidade de o número sorteado ser:
a) par. 3/7
b) múltiplo de 5? 1/7
21
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
161) Resolva os problemas:
a) Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o disco for lançado 3 vezes, qual a
probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez? 7/8
b) Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo? 1/4
c) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determine a
probabilidade de que ele seja primo? 3/8
d) São lançadas 3 moedas simultaneamente. Qual a chance de se obterem 3 caras? 1/8
e) No lançamento de um dado ideal, qual a probabilidade de ser obtido um número menor
que 4? 1/2
f) Um casal planeja ter exatamente 4 filhos. Qual a probabilidade desse casal ter dois
meninos e duas meninas? 1/4
g) Qual a probabilidade de sair duas vezes seguidas o numero seis no lançamento de um
dado de seis faces?
h) Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Determine a probabilidade de que pelo menos
uma criança seja menino. 87,5%
i) Numa caixa não transparente existe 6 bolas pretas e 4 brancas extraindo duas bolas ao
acaso qual é a probabilidade ambas serem brancas?
j) No lançamento de 4 moedas “honestas”, calcule a probabilidade de ocorrerem 2 caras e
2 coroas. 3/8
162) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja
um número primo. 2/9
163) Em um conjunto de 40 pessoas, 6 pessoas são portadoras de cólera. Desse conjunto você
deve escolher 3 pessoas para companhia de viagem. Calcule a probabilidade aproximada de que
as pessoas escolhidas estejam infectadas pela doença.
164) Numa urna temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas amarelas é o
dobro de bolas brancas, e o de vermelhas, o triplo. Determine a probabilidade de ocorrer uma bola
preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro do número de amarelas. 40%
165) No lançamento simultâneo de 2 moedas perfeitas e distinguíveis qual é a probabilidade de que:
a)
b)
c)
d)
em ambas ocorra cara?
em uma cara e na outra coroa?
não ocorra nem uma cara?
ocorra exatamente uma coroa?
166) Numa sacola com 10 bolas numeradas de 1 a 10, procedeu-se a extração de uma bola.qual a
probabilidade de:
a) sair uma bola com um número primo.
b) sair uma bola com número par.
c) a bola seja um múltiplo de 4.
167) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, lê-se o número da face voltada
para cima. Calcular a probabilidade de se obter:
a) o número 2. 1/6
b) o número 6. 1/6
c) um número par. 1/2
d) um número ímpar. 1/2
e) um número primo. 1/2
22
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
168) No lançamento de 3 moedas perfeitas distinguíveis,qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) pelo menos 2 caras? 50%
b) exatamente 2 caras? 37,5%
169) No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, determine os eventos:
a) números cuja soma seja 8.
b) números iguais.
c) números cuja soma seja 14.
170) Resolva os problemas:
a) Uma moeda é lançada duas vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se obter cara em
pelo menos um dos lançamentos? 3/4
b) Jogando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um resultado
par na soma das faces?
c) Lançando-se um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se obter um número maior
que dois no dado e cara na moeda?
d) Lançando-se uma moeda e um dado, qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda e
mais de 4 pontos no dado? 1/6
e) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos através dos algarismos
4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, qual a probabilidade de ele ser um
2/5
número ímpar?
f) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma única bola de uma
urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis? 1/3
g) Determine a probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento de duas
moedas.
h) Na escolha de um número de 1 a 25, qual a probabilidade de que seja sorteado um número
múltiplo de 6?
i) Ao jogarmos dois dados distintos, qual a probabilidade de obtermos pontos diferentes nos
dois dados?
j) Retirando uma bola de uma urna que contem 15 bolas, numeradas de 1 a 15, qual a probabilidade de se obter um número primo?
171) Resolva os problemas:
a) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número ímpar?
b) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número múltiplo de 3?
c) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número primo?
d) Três moedas são lançadas simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter uma cara e 2
coroas?
e) Escolhido, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores de 60, a determine a probabilidade de que ele seja primo.
f) Com os dígitos 1, 4, 7, 8 e 9, são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ser ímpar?
g) Com os algarismos de 1 a 9, forma-se um número de 4 algarismos distintos. Determine a
probabilidade de que o número formado seja menor que 6000.
h) Escolhem-se ao acaso dois números distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o
produto dos números escolhidos seja ímpar?
i) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número múltiplo de 5?
j) Dispondo de um baralho completo, determine à probabilidade de retirar ao acaso uma
carta de ouros. 1/4
23
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
172) Dois dados, um branco e outro preto, são lançados simultaneamente sobre uma mesa. Qual a
probabilidade das somas dos valores obtidos nas faces do dois dados ser igual a 5?
173) Uma urna contém 5 bolas verdes, 3 brancas e 4 pretas, indistinguíveis pelo tato. Sorteando-se
uma das bolas ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser:
a) branca? 1/4
b) preta? 1/3
174) Uma cidade de 200000 habitantes tem à sua disposição dois jornais diários: “O Aurora” e o
“O Conhecedor”. Uma pesquisa revelou os seguintes dados:
- 50000 pessoas lêem diariamente ”O Aurora”.
- 40000 pessoas lêem diariamente ”O Conhecedor”.
- 5000 pessoas lêem diariamente os dois jornais.
Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja leitor:
a) de pelo menos um dos jornais. 17/40
b) de nenhum desses jornais. 23/40
c) exclusivamente do jornal ”O Aurora”. 9/40
175) Em uma urna há 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se 1 bola ao acaso. Calcule a probabilidade de seu número ser:
a) ímpar. 1/2
b) múltiplo de 3. 3/10
c) divisível por 2 e 3. 3/20
d) múltiplo de 5 e 7. 0
176) Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é
1
. Determine a probabi6
lidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado. 5/6
177) Uma urna contem 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso.
Qual a probabilidade da bola:
a) não ser amarela? 4/9
b) ser branca ou preta? 4/9
c) não ser branca, nem amarela? 1/3
178) Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado? 1/36
179) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade
do número escolhido:
a) ser par? 1/2
b) ser impar? 1/2
c) ser primo? 2/5
d) ser quadrado perfeito? 1/5
e) ser primo ou quadrado perfeito? 3/5
180) Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 artigos com defeitos menores e 2 com defeitos
graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Determine a probabilidade de que:
a) o artigo não apresente defeitos. 5/8
b) o artigo não apresente defeitos graves. 7/8
c) o artigo seja perfeito ou apresente defeitos graves. 3/4
24
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
União de Probabilidades:
181) Resolva os problemas:
a) Qual a probabilidade de obter, no lançamento de um dado, um número par ou primo?
b) Se lançarmos simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se
obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.
c) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número
ímpar? 1/2
d) Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso.
Determine a probabilidade de seu número ser par ou maior que 4. 4/5
e) Num lançamento simultâneo de dois dados, qual e a probabilidade de se obter a soma
igual a 3 ou 7?
f) No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter soma 5 ou 8?
g) No sorteio de um número natural de 1 a 15. Calcule a probabilidade de se obter um
número primo ou par.
h) Numa classe de 32 alunos, a professora sorteia o número de chamada de um deles. Qual a
probabilidade de o número do aluno sorteado ser um número maior que 19 ou um número
ímpar? 23/32
i) Em uma caixa foram colocadas oito bolas brancas, numeradas de 1 a 8; sete bolas pretas,
numeradas de 1 a 7 e cinco bolas verdes, numeradas de 1 a 5. Em seguida retiram-se,
aleatoriamente, uma das bolas. Determine a probabilidade de a bola retirada ter um número
ímpar ou ser preta. 7/10
j) Uma urna contem 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual
a probabilidade de que seja branca ou verde?
182) Resolva os problemas:
a) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha
da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou 3? 1/2
b) Um número é extraí do ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Calcule a probabilidade de
o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito.
c) Uma urna tem 30 papeizinhos numerados de 1 a 30. Sorteando-se um desses papeizinhos,
qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 5?
d) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, determine a probabilidade de que
suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9.
e) Uma urna contem 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual
a probabilidade de que seja branca ou verde?
f) Um número é extraído ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Calcule a probabilidade de
o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito.
g) Sorteando um número de 1 a 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou
múltiplo de 3.
h) De um pacote de cartões, numerados de 1 a 26, é retirado um deles ao acaso. Qual a
probabilidade de o cartão retirado apresentar um número ímpar ou um múltiplo de 3? 17/26
i) Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a
probabilidade de a bola retirada tem um número primo ou um número maior que 8? 3/5
j) Em uma urna existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as
vermelhas, de 7 a 10. Retirando-se 1, qual é a probabilidade de ela ser branca ou de seu
número ser maior que 7? 9/10
183) De uma urna que contém bolas numeradas de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se que
qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma
bola, cujo número é um quadrado perfeito ou cubo perfeito? 0,12
184) Em uma urna existem 10 bolas verdes, numeradas de 1 a 10, e 6 bolas amarelas, numeradas de
11 a 16. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de sair um número par em uma bola verde
ou um múltiplo 3?
25
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
185) Numa pesquisa feita com 600 pessoas de uma comunidade, verificou-se que 200 leem o jornal
A, 300 leem o jornal B e 150 leem os jornais A e B. Qual a probabilidade de, sorteando-se uma pessoa,
ela ser leitora do jornal A ou do jornal B?
186) Numa urna há 40 bolas brancas, 25 bolas pretas e 15 vermelhas, todas de mesmo formato e
indistinguíveis pelo tato. Retirando-se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de que ela seja
preta ou vermelha.
187) De um coleção de 8 livros de matemática, 5 de física e 7 de química, retira-se um livro. Calcule
a probabilidade desse livro ser de física ou química.
188) Num grupo de 200 estudantes, 60 gostam de matemática, 40 gostam de musica e 20 gostam
tanto de matemática quanto de musica. Escolhendo-se um estudante ao acaso, qual e a probabilidade
dele gostar de matemática ou de musica?
189) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento “retirada de uma bola” e
considere os eventos:
A = {a bola retirada possui um numero múltiplo de 2}
B = {a bola retirada possui um numero múltiplo de 5}
Determine a probabilidade do evento A ∪ B.
190) Um número é escolhido ao acaso dentre os números E = {1, 2, 3, ..., 50}. Calcule a probabilidade de o número ser:
a) múltiplo de 4.
b) primo.
c) divisível por 2 ou por 5.
d) par e menor que 21.
e) ímpar ou múltiplo de 3.
191) Consultadas pessoas sobre as revistas que habitualmente lêem, obteve-se o seguinte resultado:
Escolhida ao acaso uma das pessoas, qual a probabilidade de ela ler:
a) a revista A?
b) só a revista B?
c) as revistas A ou C?
d) somente uma revista?
e) a uma das revistas pesquisadas?
192) Um colégio tem 1000 alunos. Destes:
200 estudam matemática
100 estudam física
200 estudam química
20 estudam matemática, física e química
50 estudam matemática e física
50 estudam física e química
70 estudam somente química
Um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade:
a) ele estudar só matemática?
b) ele estudar só física?
c) ele estudar matemática e química?
26
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Adição de Probabilidades:
193) Resolva os problemas:
a) Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao acaso, uma
bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola com um número múltiplo de 2 ou
de 3? 13/20
b) Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas. Retirase, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma
bola azul? 2/3
c) Numa urna, existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é tirada ao acaso. Qual a
probabilidade de se retirar um número par ou maior que 4. 4/5
d) Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a
probabilidade de ela ser um número divisível por 2 e 3?
e) Numa urna há 16 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma
após a outra. Qual a probabilidade de serem ambas vermelhas?
f) Lançando-se um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se obter um número maior
que dois no dado e cara na moeda?
g) Numa urna, existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6 e as
vermelhas de 7 a 10. Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu
número ser maior que 7?
h) Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão
dessa urna, qual a probabilidade do número escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou múltiplo
de 3? 50%
194) De uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se uma bola ao acaso. Qual é a
probabilidade de ocorrer:
a) um número par? 1/2
b) um número par, dado que ocorreu um número maior que 10? 1/2
195) Para apresentar um trabalho um professor sorteará um aluno, entre 30 da turma, escolhido de
acordo com o número da chamada. Qual é a probabilidade de o número do aluno escolhido ser:
a) primo ou maior que 10?
b) múltiplo de 7 ou 5?
c) quadrado perfeito ou divisor de 36.
196) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas. Outra contém 3 brancas e 5 pretas. Retirando-se
uma bola de cada bolsa, qual a probabilidade de:
a) ambas serem pretas. 20,83%
b) ambas serem brancas. 25%
c) uma ser branca e outra preta. 54,17%
d) no máximo uma ser preta. 79,17%
197) Sejam três urnas: A, B e C. Cada uma contém 5 bolas brancas, 4 verdes e 3 pretas. Escolhe-se
aleatoriamente uma das urnas e retira-se uma bola, determinar a probabilidade de:
a) ser branca. 41,67%
b) ser verde. 33,33%
c) não ser preta. 75%
198) Uma urna tem 10 bolas idênticas numeradas de zero a nove. Retira-se uma bola da urna, qual a
probabilidade de:
a) ser divisível por 2. 50%
b) ser divisível por 3. 40%
c) ser divisível por 6. 20%
27
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Principio Fundamental da Contagem:
1) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne,
5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,
uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 90
b) 100
c) 110
d) 130
e) 120
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1,
3, 5, 6, 8 e 9 ?
a) 60
b) 120
c) 240
d) 40
e) 80
2)
(ITA-SP)
Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 algarismos
não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
a) 90
b) 120
c) 180
d) 240
e) 300
3)
(FATEC-SP)
(GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos
pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}?
a) 15
b) 23
c) 28
d) 39
e) 42
4)
5) (UEPG-PR) Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os
algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem os repetir?
a) 156
b) 60
c) 6
d) 12
e) 216
(PUC-SP) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se pode formar com
os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:
a) 300
b) 340
c) 360
d) 380
e) 400
6)
7) (UFCE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30000 e 65000 que podemos formar
utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a) 48
Xb) 66
c) 72
d) 96
e) 120
(UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de
3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis
de se firmar é:
a) 1370
b) 39 000
c) 468 000
d) 676 000
e) 3 276 000
8)
(PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do
alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não
podendo haver repetição de letras e algarismos é:
a) 67 600 000
b) 78 624 000
c) 15 765 700
d) 1 757 600
e) 5 760 000
9)
Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com
os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
10)
(CESCEA-SP)
11) (FGV-SP) As placas de automóveis constam de duas letras e quatro algarismos. O número de
placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 é:
a) 2.412
Xb) 2.304
c) 144
d) 216
e) 1.536
(Mack-SP) Com os algarismos 1,2,3,4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x números maiores
que 2500. O valor de x é
a) 78
b) 120
c) 162
Xd) 198
e) 240
12)
28
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Fatorial:
13)
A expressão n! + (n - 1)! é igual a:
(PUC-RS)
(n + 1)!
b) 1
a) n
14)
a)
n
(UFPA)
b) n!
c)
n +1
(PUC-SP)
16)
(UFPA)
a) n!
1
(n + 2) ⋅ (n + 1)
A expressão (n - 1)!.[(n + 1)! - n!] equivale a:
b) (n - 1)!
c) (n + 1)!
n
n +1
e) n - 1
d)
1
n +1
e) n!
n +1
d) (n!)2
(n + 2)! + (n + 1) ⋅ (n − 1)!
é:
(n + 1) ⋅ (n − 1)!
c) (n - 1)!
d) n + 1
n+2
e) [(n - 1)!]2
A forma mais simples da expressão
a) n.(n + 2)
b) n!
e) (n + 1)2
A soma e o produto das raízes da equação (x + 1)! = x! + 6x são respectivamente:
b) 3 e 3
c) 6 e 1
d) 3 e 0
e) N. D. A.
17)
(UFCE)
18)
(Cefet-PR)
O valor de n para que
a) 0
b) 1
Dada a equação
19)
(UFBA)
20)
(PUC-RJ)
Se
a) n = 2
n!
= (n + 1)! é:
n +1
c) 2
d) 3
e) 4
(n+3)!- (n+1)!
= 20 , com n ∈ N, determine n.
(n+2) ⋅ n!- n!
n!
1
, então:
=
(n + 2)!+ (n + 1)! 48
b) n = 12
c) n = 5
d) n = 7
(n + 1) ⋅ n! 1
, e tendo em vista que n > 0, o valor de n é:
=
(n + 2)! 10
b) 8
c) 10
d) 12
e) n = 10
(FDBEF-DF) Sendo
a) 6
22)
d)
(n + 2)!
15)
a) 3 e 6
1
n +1
Simplificando (n + 1)!+ n! , obtém-se:
1
n+2
21)
c)
(UEL-PR)
e) 9
n! + 2 ⋅ (n − 1)!
= 18 , então n é um número:
(n − 2)!
c) divisível por 2
d) maior que 10
e) múltiplo de 7
Se o número natural n é tal que
a) menor que 3
b) divisível por 5
(n + 2)!⋅ (n 2 )!
= 35 é:
23) (PUC-MG) O número natural que torna verdadeira a igualdade
n ⋅ (n + 1)!⋅ (n 2 − 1)!
a) 3
b) 4
Xc) 5
d) 8
24)
a) 0
(CEFET-PR)
O valor de n para que
b) 1
n!
= (n + 1)! é:
n +1
c) 2
29
d) 3
e) 4
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
(n − 1)!
1
25) (PUC-RS) Se
= , então n é:
(n + 1)!− n! 81
a) 13
b) 11
Xc) 9
26)
(UEL-PR)
d) 8
e) 6
n!+ 2.(n − 1)!
= 18 , então n é um número:
(n − 2)!
c) divisível por 5
d) múltiplo de 7
e) maior que 10
Se o número natural n é tal que
Xa) divisível por 2
27)
(Ulbra-RS)
a)
2
b) menor que 3
Sendo
(n + 1)!
= 7 , o valor de
n!
b) 7
(n + 3)!
é:
(n + 1)!
c) zero
6 2
d) n + 1
Xe)
d) 5
Xe) 12
Arranjo Simples:
28)
(CESCEA-SP)
a) 11
Se
A n −1, 3
A n, 3
b) 13
=
3
, então n é igual a:
4
c) 4
(UFAL) Quantos números inteiros positivos divisíveis por 5, de quatro algarismos distintos,
podem ser escritos com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
29)
Os números pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com os elementos do
conjunto {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, são em número de:
a) 63
b) 420
c) 5.62
d) 5.43
e) 380
30)
(Mack-SP)
(UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x números ímpares, com três algarismos
distintos cada um. Determine x. 40
31)
Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2,
4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?
a) 375
b) 465
c) 545
Xd) 585
e) 625
32)
(ITA-SP)
33) (UFMG) Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de
maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para
ocupá-las, é:
a) 1225
Xb) 2450
c) 2!
d) 49!
e) 50!
Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver
vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25.000
b) 120
c) 120.000
Xd) 18.000
e) 32.000
34)
(FAAP-SP)
35) (UFCE) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30000 e 65000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é:
a) 48
b) 66
c) 96
d) 120
e) 72
(CEFET-PR) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2,
3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:
a) 284
b) 422
c) 144
d) 120
e) 620
36)
Quantos números inteiros positivos divisíveis por 5, de 4 algarismos distintos, podem ser
escritos com os algarismos 1, 3, 5, 7, 9? 24
37)
(UFAL)
30
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Considere todos os números de três algarismos distintos formados com os algarismos 1,
3, 4, 5. Calcule a soma desses números. 8 658
38)
(UFMS)
39) (UFV-MG) Para emplacar automóveis, um município está autorizado a usar somente as letras A,
B, C, D e E e os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sendo cada placa constituída de três letras seguidas de quatro
algarismos. Quantos automóveis poderão ser emplacados se, em cada placa, as letras não se repetirem e
forem postas em ordem alfabética, e os algarismos puderem ser repetidos livremente? 6250
Considere os números de dois a seis algarismos distintos formados utilizando-se apenas
1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos desses números são ímpares e começam com um dígito par?
a) 375
b) 465
c) 545
Xd) 585
e) 625
40)
(ITA-SP)
Formam-se todos os números compreendidos entre 2000 e 3000, com algarismos
distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5. O total de números assim formados é:
a) 24
b) 48
c) 60
d) 120
e) 240
41)
(PUC-RS)
Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repetição, quantos números pares de
três algarismos e maiores que 234 pode-se formar?
a) 110
b) 119
c) 125
d) 129
e) 132
42)
(PUCCamp-SP)
Considere todos os números de cinco algarismos distintos, escritos com 1, 2, 3, 4 e 5.
Se esses números são ordenados em ordem crescente, o algarismo das unidades do número que ocupa a
trigésima posição é:
a) 5
b) 1
c) 4
d) 3
e) 2
43)
(Mack-SP)
(UFPI) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos
formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75 389 é:
a) 54
b) 67
c) 66
d) 55
e) 56
44)
(PUC-SP) Formados e colocados em ordem crescente todos os números naturais de quatro algarismos distintos obtidos com os algarismos 1, 3, 5 e 7, que lugar ocupa o número 5 731? 18º lugar
45)
Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos
distintos,obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61 473 será:
Xa) 76º
b) 78º
c) 80º
d) 82º
e) N. D. A.
46)
(ITA-SP)
Permutação:
47) (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas
e nesta ordem. 24
48)
(PUC-SP)
Xa) 20
O número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabética é:
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
(UFES) De quantas maneiras 10 clientes de um banco podem se posicionar na fila única dos
caixas de modo que as 4 mulheres do grupo fiquem juntas?
Xa) 4!.7!
b) 5!.6!
c) 6.6!
d) 10.6!
e) 4! + 10!
49)
(UEL-PR) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e n - 2 vezes a letra C, podemos formar 20
anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. Calcule n. n = 5
50)
51)
(CEFET-PR)
por vogal é:
a) P9
Dentre as permutações das letras da palavra triângulo, o número das que começam
b) P8
c) 2 . P8
31
d) 4 . P8
e) 4 . P7
Análise Combinatória e Probabilidade
52)
2º Ano - EM
(FCC-BA) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações:
I. O número total deles é 720.
II. O número dos que terminam com a letra A é 25.
III. O número dos que começam com EM é 24.
Assinale a alternativa correta:
a) Só a afirmação I é verdadeira.
b) A afirmação II é verdadeira.
c) Só a afirmação III é verdadeira.
d) As afirmações I e II são verdadeiras.
Xe) As afirmações I e III são verdadeiras.
53) (ITA-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos,
obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61 473 será:
Xa) 76º
b) 78º
c) 80º
d) 82º
e) N. D. A.
Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm
permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75391 ocupa, nessa disposição, o lugar:
a) 21°
b) 64°
Xc) 88°
d) 92°
e) 120°
54)
(UFMG)
Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos
formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75389 é:
a) 54
b) 67
Xc) 66
d) 55
e) 56
55)
(UFPI)
56) (PUC-MG) De quantas modos diferentes se podem organizar, em uma fila de 12 cadeiras,
5 brasileiros, 4 italianos e 3 alemães, de modo que a pessoas de mesma nacionalidade fiquem sempre
juntas?
Xa) 103 680
b) 152 326
c) 254 662
d) 54 200
e) 587 985
De quantas maneiras é possível ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de
Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física
fiquem, entre si, sempre na mesma ordem? 72 maneiras
57)
(EEM-SP)
(Unicamp-SP) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30,
de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta. 2030
58)
Permutação com Repetição:
Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2
e 3 respeitadas as repetições apresentadas?
Xa) 12
b) 30
c) 6
d) 24
e) 18
59)
(UFSC)
60)
(PUC-SP)
juntas?
a) 36
Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais
b) 60
c) 30
d) 144
e) 180
(UEPG-PR) Com uma letra R, uma letra A e certo número de letras M, podemos formar
20 permutações. O número de letras M é:
a) 6
b) 12
c) 4
Xd) 3
61)
Uma partícula desloca-se sobre uma reta, percorrendo 1 cm para a esquerda, ou para a
direita, a cada movimento. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma
sequência de 10 movimentos terminando na posição de partida. 252
62)
(UFRJ)
32
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Em um loteamento planejado, os quarteirões são retangulares e dispostos de acordo
com a figura. O loteamento é cercado e tem dois acessos, A e B.
63)
(UMC-SP)
De quantas maneiras diferentes um carro que entra pelo acesso A poderá chegar ao B, percorrendo as
ruas com um percurso mínimo? 10
(UFRGS) No desenho, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões.
64)
A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B passando por C é:
a) 12
b) 13
c) 15
d) 24
Xe) 30
Combinação Simples:
65)
(Unicruz-RS)
Xa) 56
Se tenho a expressão 2A 35 + 4P4 − 8C36 , o cálculo dessa resultará:
b) 65
c) 28
d) 32
66)
(UNESA-RJ) O valor da expressão
a) 0
b) 12
67)
(PUC-SP) A expressão
a) 3.(n - 3)
C116 + C105 + C104
é:
C126
c) 10
d) 6
e) 24
Xe)1
n!
é igual a:
(C n, 3 ) ⋅ (2!) ⋅ (n − 4)!
b) 2.(n - 3)
c)
1
n−4
d)
2
n−4
e)
3
n−4
Se o número de combinações de m elementos tomados dois a dois, é igual
a 15, então o valor da expressão (m - 1)! - Am + 1, 2 é:
a) 81
b) 78
c) 12
d) 9
e) - 6
68)
(F. C. CHAGAS-BA)
69)
(CESCEM)
a) 12
b) 9
70)
(Mack-SP)
71)
(FEI-SP)
Xa) 20
O valor de p na equação
A p, 3
Cp, 4
= 12 é:
c) 8
Se Cx, 3 = 3Ax, 2, então x é:
b) 18
c) 16
d) 6
Xe) 5
d) 14
e) 12
Sendo 5Cn, n - 1 + Cn, n - 3 = An, 3, calcule o valor de n. n = 4
33
Análise Combinatória e Probabilidade
72)
(UNICRUZ-RS)
Xa) 504
73)
(CEFET-PR)
a) 4
2º Ano - EM
Calculando A m3 sabendo que C m3 = 84 obtemos para resultado:
b) 748
c) 756
d) 1325
e) 636
Qual é o valor de n para que
b) 1
C6n
n
= ?
4
Cn −2 6
c) 6
d) 2
e) 8
(Viçosa-MG) Resolvendo a equação Cx, 2 = 21, encontramos:
a) x = - 6 ou x = 7 b) x = - 6
c) x = 21
d) x = 13
74)
75)
(UFPA)
a) 11
76)
(UFRS)
Xa) 14
77)
d) 14
e) 15
A solução da equação 2. A 4x = 4!.C xx − 5 é:
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
d) 3
e) 2
d) 2
e) 8
(PUC-RS)
C6n
n
= ?
4
Cn − 2 6
c) 6
(UFU-MG) Um valor de m que satisfaz a equação 6.A m ,
b) 6
80)
(Mack-SP)
Xa) 20
81)
(FEI-SP)
82)
(UFAL)
c) 8
4
− 2.C m , 2 = 35 .
d) 4
Se Cx, 3 = 3Ax, 2, então x é:
b) 18
c) 16
Pm
é:
( m − 2) !
Xe) 5
d) 14
e) 12
Sendo 5.Cn, n - 1 + Cn, n - 3 = An, 3 calcular n. 4
Os números naturais x e y são tais que (2x + 4y)! = 720 e 22x - y = 64. Nessas condições:
Cx + 2y, y + 1 é:
a) 15
b) 10
c) 4
d) 3
A seqüência (Cn, 2, An, 2, 12P2) é uma P.G. A razão dessa progressão é:
b) 4
c) 6
d) 8
83)
(UEBA)
84)
(UEL-PR)
a) 29
Qual é o valor de n para que
b) 1
a) 10
Xa) 2
A solução da equação A 3x − 8 ⋅ C 2x = 0 é:
b) 5
c) 4
(CEFET-PR)
a) 4
79)
x=7
Qual o valor de x, sabendo-se que C x, 2 = 6x ?
b) 12
Xc) 13
Xa) 6
78)
Xe)
O valor de P4 + A5, 3 . C6, 0 é:
b) 54
Xc) 84
d) 144
e) 1
e) 12
e) 724
85) (UEPA) Um organizador de eventos tem à sua disposição 15 auxiliares, sendo 7 mulheres e
8 homens. Quantas comissões de 3 mulheres e 4 homens poderá formar? 2 450 comissões
(Furg-RS) Existem cinco livros diferentes de Matemática, sete livros diferentes de Física e dez
livros diferentes de Química. O número de maneiras que podemos escolher dois livros com a condição
de que eles não sejam da mesma matéria é:
a) 35
b) 50
c) 70
Xd) 155
e) 350
86)
34
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
O número de maneiras segundo as quais podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três
bancos fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal, sem levar em conta aposição do casal no
banco, é:
a) 9
b) 18
c) 24
d) 32
e) 36
87)
(UFCE)
O número de maneiras pelas quais 6 pessoas podem ser distribuídas em 3 grupos, cada
um formado por duas pessoas, é:
a) 60
b) 75
c) 80
d) 85
e) 90
88)
(PUC-MG)
(EsFAO) Em uma unidade do Corpo de Bombeiros, há de serviço 2 oficiais, 3 sargentos e
7 soldados. Quantos grupos de 4 soldados comandados por um oficial ou por um sargento, podem ser
formados?
a) 4200
b) 840
c) 320
d) 250
e) 175
89)
90) (AMAN-RJ) Uma família composta de 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos
modos poderão se acomodar no automóvel para uma viagem, sabendo-se que apenas o pai e a mãe sabem
dirigir:
a) 24
b) 48
c) 120
d) 240
e) 480
(UFSM) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma
vermelha e uma branca?
a) 12
b) 30
Xc) 42
d) 240
e) 5040
91)
92) (UEL-PR) Em uma floricultura, estão à venda 8 mudas de cravos e 12 mudas de rosas, todas
diferentes entre si. Um cliente pretende comprar 3 mudas de cravos e 4 de rosas. De quantos modos ele
pode selecionar as 7 mudas que quer comprar? 27720 modos
Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco
símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é:
a) 10
b) 24
Xc) 30
d) 60
e) 120
93)
(PUC-SP)
94) (Esaf) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma
fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a:
a) 6
b) 12
Xc) 24
d) 36
e) 48
O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num
conjunto de dez pessoas é:
Xa) 120
b) 210
c) 102
d) 220
e) 110
95)
(UNITAU-SP)
96) (UFOP-MG) Para compor a tribulação de um avião, dispomos de 20 pilotos, 4 co-pilotos,
3 aeromoças e 5 comissários de bordo. Sabendo-se que em cada vôo vão 2 aeromoças, 2 comissários,
1 piloto e 2 co-pilotos, de quantos modos podemos escolher a tripulação? 3600
Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola.
O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é:
Xa) 35
b) 45
c) 210
d) 73
e) 7!
97)
(UFMG)
98) (ECMAL-AL) Num simpósio há 8 fisioterapeutas e 6 ortopedistas, entre os participantes.
O número possível de comissões a serem formadas por 3 fisioterapeutas e 2 ortopedistas é:
a) 1120
Xb) 840
c) 600
d) 560
e) 320
35
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas
para formar um grupo de trabalho. De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado?
a) 182
Xb) 330
c) 462
d) 782
e) 7920
99)
(PUCCamp-SP)
(FAAP-SP) O setor de emergência de uma unidade do Unicor tem 3 médicos e 8 enfermeiros. A
direção do Unicor deverá formar equipes de plantão constituídas de um médico e três enfermeiros. O
número de equipes diferentes possíveis é:
Xa)168
b) 3
c) 56
d) 24
e) 336
100)
(Mack-SP) Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 homens. O número de comissões de
5 pessoas que podemos formar com 1 homem e 4 mulheres é:
a) 70
b) 84
Xc) 140
d) 210
e) 252
101)
(UEPG-PR) Em uma circunferência são marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com
estes pontos, quantas cordas podem ser traçadas?
a) 42
b) 14
c) 21
d) 7
e) 28
102)
Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3), que podemos obter com vértices nos 9
pontos da figura, são em número de:
103)
(Mack-SP)
a) 83
104)
b) 84
(UFMG)
c) 85
d) 168
e) 169
Observe a figura.
Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é:
Xd) 31
e) 35
a) 20
b) 21
c) 25
Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se 2 quaisquer desses
pontos, obtém-se uma corda. Calcule o número total de cordas assim formadas. 28
105)
(UFSC)
Em um triângulo ABC marcam-se dois pontos no lado AB , três no lado AC e quatro
no lado BC , distintos dos vértices. O número total de circunferências que passam por três desses
pontos será:
a) 84
Xb) 79
c) 55
d) 2
e) 24
106)
(UFGO)
(UFRGS) O número máximo de triângulos que se pode obter quando se escolhem para seus
vértices 10 pontos distintos sobre uma elipse é:
a) 40
b) 60
Xc) 120
d) 300
e) 720
107)
36
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em
3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas?
a) 2340
b) 2480
c) 3640
d) 2520
e) 3200
108)
(CESCEA-SP)
(PUC-SP) Sejam r e s duas retas distintas paralelas. Considere 5 pontos distintos em r e 3 pontos
distintos em s. O número de quadriláteros convexos que podem ser formados com vértices nesses
pontos é:
a) 60
b) 54
c) 48
Xd) 30
e) 24
109)
Sejam m e n duas retas paralelas e sejam A, B, C e D pontos em m, e E, F e G
pontos em n, como na figura.
110)
(SUPRA-SC)
O número de quadriláteros convexos com vértices no conjunto {A, B, C, D, E, F, G} é:
Xd) 18
e) 36
a) 10
b) 12
c) 24
O número máximo de triângulos que se pode obter quando se escolhem, para seus
vértices, 10 pontos sobre uma elipse, é:
a 40
b) 60
?c) 120
d) 300
e) 720
111)
(UFRGS)
São dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma mesma reta r e os outros 2 não
alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a reta r. Quantos diferentes triângulos podem ser
formados usando os pontos dados como vértices?
a) 56
Xb) 64
c) 80
d) 120
e) 144
112)
(FGV-SP)
Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si,
turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. 17 equipes
113)
(UFSC)
Num encontro de políticos há 18 governadores e 12 senadores. O número de
comissões com 3 governadores e 2 senadores que podem ser formadas é:
Xa) C18, 3 . C12, 2
b) C18, 3 + C12, 2
c) A18, 3 . A12, 2
d) A18, 3 + A12, 2
e) 3C12, 2 + 2C18, 3
114)
(PUC-RS)
(UFRGS) Seja M o conjunto de todos os divisores positivos de 60. O número de subconjuntos
de 3 elementos de M que se pode formar é:
a) 20
b) 36
c) 120
Xd) 220
e) 440
115)
(CESCEA-SP) De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em
3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas?
a) 2340
b) 2480
c) 3640
Xd) 2520
e) 3200
116)
Com dois goleiros que só jogam nessa posição e sete jogadores que não jogam no
gol,calcule o número de times de futebol de salão que podem ser formados. 70
117)
(UnB-DF)
(Vunesp-SP) O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com
3pediatras, 4 clínicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por
1 pediatra, 1clínico geral e 2 enfermeiros. Determine:
a) quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados. 10
b) quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas. 120
118)
37
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Numa classe de 10 estudantes universitários, um grupo de 4 será selecionado para
uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado, se dentre os estudantes existe um
casal que não pode ser separado? 98 maneiras
119)
(UFOP-MG)
120) (UFPel-RS) Para realizar um bingo beneficente, uma associação solicitou a confecção de uma
série completa de cartelas com 10 números cada uma, sem repetição, sendo utilizados números de
1 a 15.
Calcule quantas cartelas foram confeccionadas. 3003
(CEFET-PR) Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta e pode misturá-las duas a duas,
em proporções iguais, para obter novos tons. O total de novas cores que possuirá, dessa forma, será
igual a:
Xa) 15
b) 30
c) 36
d) 21
e) 360
121)
Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para
compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S.
a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas entre as 10? 120 maneiras
b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas
formas ele poderá escolher as empresas? 56 formas
122)
(FGV-SP)
Binômio de Newton:
123)
(UFRN)
a) 30
124)
(UFS)
⎛6⎞
a) ⎜ ⎟ ⎝5⎠
125)
⎛7⎞ ⎛7⎞
A expressão ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 35 é igual a:
⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
b) 35
c) 40
⎛ 5 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 7 ⎞
A soma ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ é igual a:
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎛7⎞
⎛8⎞
b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ ⎝6⎠
⎝7⎠
(UFPR)
d) 45
⎛8⎞
d) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠
e) 50
⎛8⎞
e) ⎜ ⎟
⎝5⎠
Determine os números reais x e y tais que:
⎧x + y = 1
⎪
⎛ 5 ⎞ 3 2 ⎛ 5⎞ 2 3 ⎛ 5 ⎞ 4
⎨ 5 ⎛ 5⎞ 4
5
x
−
x
y
+
⎜
⎟
⎜
⎟ x y − ⎜ ⎟ x y + ⎜ ⎟ xy − y = 243
⎪
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
⎩
126)
a) 7
(Mack-SP)
⎛n⎞
Se ⎜ ⎟ = 28 , então n vale:
⎝ 2⎠
b) 8
c) 14
d) 26
38
e) 56
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
⎛ m −1⎞
⎡ m −1
⎤
127) (FUEM-PR) Se ⎜
+ 0!⎥ .
⎟ = 4 e m > 3, determine o valor de ⎢
⎣m − 3
⎦
⎝ m − 2⎠
⎛ n + 1⎞
⎜
⎟
4 ⎠ 7
128) (UEL-PR) A solução n da equação ⎝
= é um número inteiro múltiplo de:
⎛ n − 1⎞ 2
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
a) 11
b) 9
c) 7
d) 5
Xe) 3
129)
(FGV-SP) Se
a) 4
130)
(PUC-RS)
a) 120
131)
⎛ 18 ⎞ ⎛ 18 ⎞
Sendo ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ , então k! vale:
⎝ k ⎠ ⎝ k + 4⎠
b) 720
c) 840
⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞
O número de raízes da equação ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ é:
⎝ 2x ⎠ ⎝ x ⎠
b) 1
c) 2
d) 3
(Unesp-SP)
a) n = 5
133)
⎛10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎛ 11⎞
Seja n um número natural tal que ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ = ⎜ ⎟ , então:
⎝ 4 ⎠ ⎝ n + 1⎠ ⎝ 4 ⎠
b) n = 4
c) n = 3
Xd) n = 2
a) 8
135)
(UFCE)
⎛18 ⎞ ⎛ 18 ⎞
A soma das soluções da equação ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ , é:
⎝ 6 ⎠ ⎝ 4x − 1⎠
Xb) 5
c) 6
d) 7
e) 9
(Unifor-CE)
⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞
A soma das soluções da equação ⎜
⎟=⎜
⎟ é um número:
⎝ x − 3 ⎠ ⎝ 2x − 9 ⎠
Xb) múltiplo de 3
c) quadrado perfeito d) cubo perfeito
e) par
(Faap-SP) Os valores de x que satisfazem a igualdade
b) 1 e 3
c) 3 e 4
⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎜
⎟=⎜
⎟ são:
⎝ 3x − 1⎠ ⎝ x + 1⎠
d) 2 e 3
⎛ 11 ⎞ ⎛ 11 ⎞
⎜
⎟=⎜
⎟ , são:
⎝ m − 1⎠ ⎝ 2m − 3 ⎠
Xc) m = 2, m = 5
d) m = 3, m = 2
(PUC-SP) Os valores de m., para os quais
a) m = 1, m = 2
e) N. R. A.
e) 7
a) 1 e 4
137)
e) maior que 3
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 5n ⋅ (n − 2) , então n é igual a:
⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
b) 10
c) 9
d) 8
a) menor que 10
136)
e) 40320
(Santa Casa-SP) Se,
Xa) 11
134)
d) 504 0
Xe) 8
(F. M. ABC-SP)
a) 0
132)
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ n 2 − n
, então n é igual a:
⎜
⎟+⎜
⎟=
2
⎝ 5 ⎠ ⎝ 6 ⎠
b) 6
c) 9
d) 5
b) m = 3, m = 4
39
e) m = 1, m = 4
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
138) (CEFET-PR) ⎜
⎟ é o mesmo que:
⎟=⎜
⎝ n − 1⎠ ⎝ n ⎠
a) n
b) n2 + n - 1
c) 2n
139)
(PUC-SP)
a) 40
⎛ m − 1⎞
⎛ m ⎞
⎛ m − 1⎞
Se ⎜
⎟ = 55 , então ⎜
⎟ é igual a:
⎟ = 10 e ⎜
⎝m − p⎠
⎝ p ⎠
⎝ p −1 ⎠
Xb) 45
c) 50
d) 55
(MED. ABC)
141)
(EPCAR)
142)
(UFPA)
Qual o valor do termo médio de (2x + 3y)8.
143)
(UECE)
Determine o coeficiente de x4 de (2x + 1)8.
144)
(PUC-SP)
145)
a) 64
(Cesgranrio-RJ) O coeficiente de x
Xb) 60
146)
(PUC-SP) O coeficiente de a
147)
(PUC-SP)
148)
(UFCE)
a) 2
O termo do desenvolvimento de (2x2 - y3)8 que contém x10 é:
b) 3
Xc) 4
d) 5
a) 105
b) 210
a) 455
e) 60
No desenvolvimento de (x + 1)8, ordenado pelas potências de x, o termo central é:
b) 56x5
c) 70x4
d) 70x5
4
a) 2
e) 2n + 2
Calcule o 5° termo de (x - 3)6.
140)
a) 56x4
Xd) 2n + 1
13
no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:
c) 12
d) 4
no binômio (x + 2)15 é:
c) 360
d) 420
O termo no desenvolvimento de (2x2 - y3)8 que contém x10 é:
b) 3
c) 4
d) 5
O coeficiente de x15 no desenvolvimento de (x2 + x- 3)15 é:
b) 500
c) 555
d) 643
e) 6
e) 24
e) 480
e) 6
e) N. D. A.
Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x + y)n é igual a 243,
então o número n é:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 5
e) 3
149)
(UEL-PR)
150)
(Unifor-CE)
a)
1
4
151)
(EEL-SP)
O 4° termo do desenvolvimento de (x +
a) 6x 3 y
152)
(UFU-MG)
a) 1
Se o termo médio do desenvolvimento de (4x + ky)10 é 8064x5y5, então k, é igual a:
1
b)
c) 1
d) 2
e) 4
2
b) 15x4y
c) 20x 3 y y
y)6 é:
d) 6x6y3
e) N. D. A.
O coeficiente de x5 no desenvolvimento de ( x + 3 x )12 é igual a:
b) 66
c) 220
d) 792
Xe) 9
Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é
⎛m⎞
igual a 256, calcule ⎜ ⎟ ! . 24
⎝2⎠
153)
(UFBA)
40
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
10
154)
(UFMG)
x⎞
⎛
Determine o 6° termo de ⎜ 2x 2 + ⎟ .
2⎠
⎝
6
1
155) (PUC-RS) O Coeficiente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ 2x − ⎞⎟ .
x⎠
⎝
2
10
156)
(UFAM)
1⎞
⎛
O termo independente de x no desenvolvimento do binômio ⎜ x 4 − ⎟ é igual a:
x⎠
⎝
6
1
157) (UNITAU-SP) O termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x + ⎞⎟ é:
x⎠
⎝
a) 10
b) 30
c) 40
d) 16
Xe) 20
15
1
158) (UFCE) O coeficiente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ é:
x ⎠
⎝
Xa) 455
b) 500
c) 555
d) 643
15
e) N. D. A.
10
x
159) (UFAL) Desenvolvendo-se o binômio ⎛⎜ + 4y ⎞⎟ em ordem crescente das potências de x, qual é
⎝2
⎠
o coeficiente do termo médio?
9
1
160) (UFBA) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x 2 + ⎞⎟ . 84
x⎠
⎝
8
x 2
161) (PUC-MG) O termo médio ou termo central do desenvolvimento de ⎛⎜ + ⎞⎟ é igual a:
⎝2 x⎠
a) 42
b) 56
Xc) 70
d) 82
e) 96
8
1
162) (UFSM) O coeficiente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x + 2 ⎞⎟ é dado por:
x ⎠
⎝
a) 0
b) 1
Xc) 8
d) 28
5
e) 56
7
1
163) (PUC-RJ) O coeficiente de x no desenvolvimento ⎛⎜ x + ⎞⎟ é:
x⎠
⎝
a) 10
Xb) 35
c) 15
d) 6
e) 20
4
1
164) (UNIFOR-CE) No desenvolvimento do binômio ⎛⎜ 2x + ⎞⎟ , o termo independente de x é:
x⎠
⎝
Xa) 24
b) 12
c) 8
d) 6
e) 4
10
x
165) (UFAL) Desenvolvendo-se o binômio ⎛⎜ + 4y ⎞⎟ em ordem crescente das potências de x, qual é
⎝2
⎠
o coeficiente do termo médio? 8064
41
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
4
166)
(UFCE)
valor de a2. 9
1 ⎞
27
⎛
No desenvolvimento de ⎜ ax −
. Calcule o
⎟ , x ≠ 0, o termo independente de x é
2x ⎠
2
⎝
6
167)
(Vunesp)
a) terceiro
1 ⎞
⎛
O termo independente de x no desenvolvimento de ⎜ x 3 − 3 ⎟ é o:
x ⎠
⎝
b) quarto
c) último
d) sexto
e) primeiro
n
1
168) (Mack-SP) Os três primeiros coeficientes no desenvolvimento de ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ estão em progressão
⎝ 2x ⎠
aritmética. O valor de n é:
a) 4
Xb) 6
c) 8
d) 10
e) 12
7
1
169) (AFA) O termo independente de x no desenvolvimento ⎛⎜ x 4 + 3 ⎞⎟ é:
x ⎠
⎝
a) 4
b) 10
c) 21
d) 35
6
170)
a)
1 ⎞
⎛3
x no desenvolvimento de ⎜ x 2 − ⎟ é igual a:
3x ⎠
⎝2
1
5
c)
d)
e) 15
2
8
(UCSal-BA) O termo independente de
1
8
b)
5
12
7
171)
(PUC-SP)
1 ⎞
⎛
No desenvolvimento do binômio ⎜ kx 2 + 5 ⎟ , o termo independente de x é igual
x ⎠
⎝
21
. Nessas condições, k é igual a:
32
1
1
a)
b)
2
4
a
c)
1
5
d)
1
6
e)
1
8
6
172)
a) 10
(ESAM-RN)
1 ⎞
⎛
No desenvolvimento do binômio ⎜ x + 2 ⎟ , o valor do termo independente é:
x ⎠
⎝
b) 15
c) 25
d) 35
e) 60
6
⎛
1 ⎞
2
173) (UFOP-MG) No desenvolvimento de ⎜⎜ x +
⎟ . Calcule a ordem e o coeficiente do termo em x .
3 x ⎟
⎝
⎠
8
⎛
1 ⎞
174) (UFPE) Qual o termo independente de x na expressão ⎜⎜ 5 x +
⎟ ?
3 x ⎟
⎝
⎠
⎛
175) (IME-SP) Determine o termo independente de x de ⎜⎜
⎝
10
1 ⎞
x+
⎟ .
x ⎟⎠
10
⎛
2⎞
176) (EEM-SP) Verifique se no desenvolvimento do binômio ⎜⎜ 2x 2 −
⎟
4x ⎠⎟
⎝
simplificações, um termo em x5. Em caso positivo, determine seu coeficiente.
42
haverá, após as
Análise Combinatória e Probabilidade
177)
(IME-RJ)
2º Ano - EM
⎛
Determine o termo independente de x de ⎜
⎜
⎝
10
x−
1 ⎞
⎟ .
x ⎟⎠
7
⎛
1 ⎞
178) (UFES) O coeficiente de x no desenvolvimento de ⎜⎜ 5x 3 +
⎟ é:
⎟
x
⎝
⎠
a) 35
b) 125
c) 280
d) 875
7
179)
(UFCE)
valor de a2.
180)
e) 4375
1 ⎞
27
⎛
No desenvolvimento de ⎜ ax +
. Calcule o
⎟ , x ≠ 0, o termo independente de x é
2x ⎠
2
⎝
(Cesgranrio-RJ)
termo é:
a) 12
Desenvolvendo o binômio encontramos um termo em x2. O coeficiente desse
Xb) 24
c) 36
d) 48
e) 192
8
1
181) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de ⎛⎜ 3 x + ⎞⎟ para
x⎠
⎝
x ≠ 0, é:
Xa) 28
b) 56
c) 3
d) 0
e) 36
182)
(UEL-PR)
o valor de a é:
a) 6
Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)5, com a ∈ ℜ, é 80x², então
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
6
1
183) (Vunesp-SP) O termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x 3 − 3 ⎞⎟ é o:
x ⎠
⎝
a) terceiro.
b) quarto.
c) último.
d) sexto.
e) primeiro.
6
3
184) (UNI-BH) O termo central do binômio ⎛⎜ 2x − 2 ⎞⎟ é:
2x ⎠
⎝
3
-3
a) 20
b) 8x
c) 540x
Xd)
N. D. A.
15
1
185) (UFSCar-SP) O termo independente de x no desenvolvimento de ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ é:
x ⎠
⎝
a) 1
Xb) - 3 003
c) - 30
d) 1 225
e) - 425
7
⎛
1 ⎞
186) (UFBA) O coeficiente de x no desenvolvimento de ⎜⎜ 5x 3 +
⎟ é:
⎟
x
⎝
⎠
a) 35
b) 125
c) 280
d) 875
10
e) 4375
5
1⎞
⎛
O termo independente de x no desenvolvimento de ⎜ x − ⎟ é:
x⎠
⎝
Xa) não existe
b) é o primeiro
c) é o segundo
d) é o terceiro
187)
(UFRN)
43
e) é o quinto
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
1
188) (Unicentro-PR) O termo independente de x, no desenvolvimento de ⎛⎜ − 3x 4 ⎞⎟ , é igual a:
⎝x
⎠
a) 2
b) 30
c) 120
d) 240
e) 405
189)
(UFV-MG)
x ≠ 0, é:
a) 28
190)
a)
b) 56
(Unicentro-PR)
1 2
x
3
191)
1⎞
⎛
O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de ⎜ 3 x + ⎟ para
x⎠
⎝
c) 3
d) 0
1 ⎞
⎛
O termo independente de x no desenvolvimento do binômio ⎜ 3 x − ⎟ é:
9x ⎠
⎝
b) 9
c) 15
⎛
⎝
b) 7
e) x6
d) 81
(PUC-RJ) O coeficiente de x no desenvolvimento de ⎜ x +
a) 0
e) 36
c) 28
7
1⎞
⎟ é:
x⎠
d) 35
e) 49
10
192)
(UEL-PR)
a) - 2
x⎞
⎛
Se o 6º termo do desenvolvimento do binômio ⎜ ax 2 + ⎟ é - 252x15, o valor de a é:
2⎠
⎝
b) - 1
c) 1
d) 2
e) 4
3
2
193) (Mack-SP) O termo independente de x em ⎛⎜1 + x + ⎞⎟ é:
x⎠
⎝
a) 1
b) 10
c) 11
d) 12
Xe) 13
Probabilidade:
194) (PUC-SP) Uma entidade beneficente vendeu 100 bilhetes de uma rifa que deverá premiar
exatamente 6 pessoas. Se os bilhetes foram vendidas a 100 pessoas distintas e você foi um dos
compradores, qual a probabilidade que você tem de ser um dos premiados? 3/50
195) (UFPB) Escolhido ao acaso um dos divisores positivos de 100, a probabilidade de ele não ser o
quadrado de um número natural é igual a:
5
4
2
1
Xa)
b) c) d)
9
9
3
3
196)
(Mack-SP)
divisível por 3 é:
2
a) 3
Sorteado ao acaso um número natural n, 1 ≤ n ≤ 99, a probabilidade de ele ser
Xb)
1
3
c)
1
9
d)
1
2
197) (UFCE) Considerando o espaço amostral constituído pelos números de 3 algarismos distintos,
formados pelos algarismos 2, 3, 4, e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que ao
escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de 3:
1
1
1
2
3
a) b) Xc) d) e)
3
4
2
3
4
44
Análise Combinatória e Probabilidade
198)
a)
1
2
2º Ano - EM
(UFJF-MG) Ao lançar dois dados, a probabilidade de obtermos resultado cuja soma é sete é:
b)
1
3
c)
1
4
d)
1
5
Xe)
1
6
(PUC-RJ) Dois dados são jogados ao mesmo tempo. A probabilidade de que a soma dos dois
números que aparecem seja maior que 3 é:
6
11
13
31
2
a)
Xb)
c)
d)
e)
5
12
15
36
3
199)
200) (Uniube-MG) A probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de um
número obtido pelas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é igual a:
1
1
1
1
Xa) b) c) d) e) 1
5
4
3
2
A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna
contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:
1
1
2
1
1
Xa)
b)
c)
d)
e)
3
2
3
60
90
201)
(Osec-SP)
∈ N/20 ≤ n ≤ 500}.
a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7? 23
b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo
de 3 ou de 7? 206/481
202)
(Unicamp-SP) Considere o conjunto S = {n
Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos,
escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser
sorteado um cartão com um número menor que 500 é:
3
1
8
4
1
a)
b)
c)
Xd)
e)
4
2
21
9
3
203)
(PUC-SP)
(Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso,
são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas
vale:
1
2
4
16
20
Xa) b) c) d)
e)
6
9
9
81
81
204)
(Fatec-SP) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação
dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade dele ser um
número ímpar é:
1
2
1
1
a) 1
b)
Xc)
d)
e)
2
5
4
5
205)
Dois dados não viciados são lançados. A probabilidade de obter-se a soma de seus
pontos maior ou igual a 5 é:
5
13
2
5
1
Xa)
b)
c)
d)
e)
6
18
3
12
2
206)
(UEL-PR)
(Cesgranrio) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual é a probabilidade de se obterem, nas
faces voltadas para cima, números cuja soma é 8 ou cujo produto é 12? 7/36
207)
45
Análise Combinatória e Probabilidade
2º Ano - EM
Um número é sorteado entre os 20 inteiros de 1 a 20. Qual é a probabilidade de o
número sorteado ser primo ou quadrado perfeito? 3/5
208)
(UEM-PR)
209)
(UFJF-MG) Ao lançar dois dados, a probabilidade de obtermos resultado cuja soma é sete é:
1
a)
2
b)
1
3
c)
1
4
d)
1
5
Xe)
1
6
No lançamento de um dado, a probabilidade de obtermos, na face voltada para
cima, um número primo é:
1
2
1
3
5
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
3
4
6
210)
(UNIMEP-SP)
211)
(FEI-SP)
Jogam-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos
seja 4 ou 5?
(PUCCamp-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, então a
probabilidade de ocorrer a face 5, em um deles é:
1
2
4
1
a)
b)
c)
Xd)
e) N. D. A.
2
5
5
5
212)
213)
(UEL-PR)
menos, 2 caras?
1
a)
8
Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter, pelo
b)
1
4
c)
3
8
Xd)
1
2
e)
2
3
214) (UFPE) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino, qual a probabilidade de o casal vir a ter, no mínimo, dois filhos do sexo
masculino?
a) 0,6871
b) 0,6872
c) 0,6874
Xd) 0,6875
e) 0,6879
Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são
retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é:
13
1
5
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
72
18
18
9
4
215)
(FEI-SP)
216)
(Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti é de, respec-
tivamente,
a) 3%
1 2 5
, e . Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a:
2 5 6
Xb) 5%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 pertencem a um clube B,
30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e
10 pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela:
a) pertencer aos 3 clubes é 3/5.
Xb) pertencer somente ao clube C é zero.
c) pertencer a pelo menos dois clubes é de 60%.
d) não pertencer ao clube B é 40%.
217)
(PUCCamp-SP)
218)
(Mack-SP)
duas coroas é:
1
a)
16
No lançamento de 4 moedas "honestas", a probabilidade de ocorrerem duas caras e
b)
3
16
c)
1
4
Xd)
46
3
8
e)
1
2