Movimento Periódico

Universidade Federal Rural do Semi‐Árido – UFERSA Pro‐Reitoria de Graduação – PROGRAD Disciplina: Física II Professora: Subênia Medeiros Movimento Periódico O movimento é um dos fenômenos mais fundamentais na natureza, cuja classificação é extremamente ampla, abrangendo todos os limites: do mundo microscópico, macroscópico e planetário. A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial. Quando dizemos que certo objeto está se movendo é porque sua posição varia com relação a um ponto fixo. Quando analisamos um movimento cuja posição varia apenas nas proximidades de uma região tomada como ponto inicial (referencial), estamos tratando de uma oscilação. Um pêndulo, um corpo preso a uma mola, a corda de um violão, são exemplos simples de oscilações no nosso cotidiano. Para iniciarmos nossa análise, consideremos o caso mais simples: um sistema que possui apenas 1 (um) grau de liberdade (descrito apenas por uma coordenada), que é o sistema massa mola: Sendo x0 =0, a posição de equilíbrio do sistema. Quando a massa m é deslocada da sua origem (estendendo a mola) até a posição x = A, uma força restauradora tende a levar à massa a posição original, sendo esta força uma função somente da deformação causada na mola. Assumindo que possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi‐las em uma série de Taylor: 1
2!
1
3!
Onde é o valor de F(x) na origem (x = 0), então F0 = 0. Se considerarmos deslocamentos muito pequenos, podemos negligenciar todos os termos de potências mais elevadas que x. Então: Sendo: , a constante elástica, e o sinal negativo é devido a força ser do tipo restauradora, teremos: A força restauradora é uma força linear. Os sistemas descritos pela equação acima obedecem a Lei de Hooke. O sistema massa‐mola é um modelo de aplicação do oscilador harmônico simples, pois o seu movimento em torno da posição de equilíbrio executa um movimento harmônico simples (isso, desprezando o atrito). A equação de movimento desse sistema, segundo as Leis de Newton é: Ou seja: 0 0 ⁄ . A equação acima é uma equação diferencial (toda equação que envolve Sendo funções e suas derivadas), ordinária (as funções dependem de uma variável independente) de 2ª ordem (mais alta ordem), linear e homogênea, onde se define como a frequência angular, que é função da massa e da constante elástica. 2
Qualquer equação diferencial como esta possui as seguintes propriedades: a) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então: x1(t) + x2(t) também será solução; b) Se x(t) é solução, então: ax(t), onde a é uma constante, também será solução. Combinando tais propriedades, podemos dizer que: é solução, onde a e b são constantes. Como x é função do tempo, devemos encontrar uma função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é uma deste tipo: . Substituindo na equação diferencial: 0 0 Logo, a solução geral da equação diferencial será: Lembrando que: cos
sen
sen
, teremos: cos
cos
cos
sen
sen
Fazendo: sen cos Teremos: sen cos
cos α sen
As soluções possíveis para o sistema massa‐mola e consequentemente do oscilador harmônico simples são: sen
cos
Onde A é a amplitude de oscilação e , são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento em ⁄2, indicam em que ponto do ciclo o movimento se encontrava para t = 0. A grandeza varia com o tempo e é chamada de fase do movimento. Para t = 0 e x = x0, obtemos: cos 0
cos 0
, e a partícula começa no seu deslocamento positivo Para 0, então cos
, e a partícula começa no seu deslocamento máximo. Para , então cos /2 0, e a partícula está inicialmente na negativo máximo. Para /2, então origem. Todos os tipos de movimentos periódicos possuem os seguintes termos para definirmos suas equações de movimento: Amplitude – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de | |. Ciclo – é uma oscilação completa. Período (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s). 2 2
2
Frequência – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela é sempre positiva e sua unidade no SI é o hertz: 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclos/s = 1s‐1. 1
1
2
é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema. Das soluções possíveis, podemos encontrar a velocidade e aceleração do movimento harmônico simples (MHS): cos sen
cos cos A velocidade oscila entre os valores entre os valores á
e obtemos: á
á
e . A aceleração oscila á
. Analisando o resultado para a aceleração, Quando estendemos a mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para a posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva. Ao passar no ponto x0 a aceleração se anula, mas o bloco possui energia cinética. A partir daí ele começa a desacelerar, já que a aceleração é agora negativa. O bloco pára quando a mola estiver comprimida, e então é acelerado novamente movendo‐se em sentido contrário ao anterior. A figura acima representa o MHS. (a) Curva do deslocamento versus tempo, (b) velocidade versus tempo e (c) aceleração versus tempo. Note que para qualquer tempo, a velocidade tem uma diferença de fase de 90° com o deslocamento e a aceleração possui uma diferença de fase de 180°. Substituindo na 2ª Lei de Newton: Que é a Lei de Hooke para . Para encontrarmos a energia cinética no MHS, temos: 1
2
Aplicando: 1
2
cos
sen
, teremos: 1
2
sen
1
2
sen
1
2
sen
A energia potencial é definida como: 1
2
Substituindo o valor de x, teremos: 1
2
cos
A energia total do oscilador harmônico é: 1
2
1
2
sen
1
2
sen
cos
1
2
cos
1
2
. A energia total é proporcional ao quadrado da amplitude, este resultado é geral para sistemas lineares. Como não depende do tempo, ela se conserva, logo o OHS é um sistema conservativo. A figura (a) mostra as energias cinética e potencial versus o tempo para um OHS com 0. (b) caracteriza a curva das energias cinética o potencial versus o deslocamento para um OHS. Nos dois casos, podemos notar que . Outro exemplo unidimensional de MHS é descrito por um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica k, suspensa através de um suporte na direção vertical. A posição de equilíbrio x0 = 0 é orientada de tal forma que o sentido positivo do eixo 0x é dado de baixo para cima. Nesta posição, a mola está estendida em um valor Δ suficiente para que a força vertical da mola sobre o corpo Δ equilibre o peso do corpo kΔ
Quando deslocamos o corpo de massa m para uma posição x acima da posição de equilíbrio (comprimindo a mola) A força total que atuará sobre o corpo será: Δ
Este movimento possui as mesmas considerações para o caso horizontal. A maioria dos sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos). No entanto, para grandes acelerações, os sistemas se tornam osciladores não‐harmônicos, ou seja, as forças de retorno não mais são proporcionais ao deslocamento. Neste caso, o período depende da amplitude. Um exemplo familiar é o pêndulo simples. F
x
Para pequenos deslocamentos, ele é um exemplo de OHS, com: L o comprimento do fio e x o deslocamento máximo da bola; Então: Esta é a Lei de Hooke, com simples é: ⁄ ou ⁄
⁄ . O período de oscilação do pêndulo 2
⁄
Um tipo de MHS que nos permite uma melhor idéia dos parâmetros envolvidos é o dado pelo movimento circular de uma bola: θ x0 O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular . O movimento linear na parti interior da figura, descreve um movimento periódico com amplitude A e frenquência angular . No início do movimento, em t = 0, a fase inicial horário, o ângulo será: 0. Com o movimento no sentido anti‐
Então: cos
cos
Conhecendo x(t), temos: sen
cos
Oscila com Oscila com Nesse movimento harmônico angular, o movimento de rotação de um ângulo θ introduz um torque restaurador dado por: Em um exemplo como um disco suspenso por um fio, (letra grega capa) é uma constante chamada de constante de torção, que depende do comprimento, do diâmetro e do material do fio de suspensão: / . O período é então: Esta é a equação de movimento com 2
Um pêndulo real frequentemente chamado de pêndulo físico pode ter uma distribuição de massa extremamente complicada, muito diferente daquela de um pêndulo simples. Quando o pêndulo físico é deslocado para um de seus lados, a força da gravidade atua no seu centro de massa CM, a uma distância d do ponto de pivô O. Esta produz um torque com respeito ao eixo através de O, cuja magnitude é sen . Obtemos então: sen
sen
Para pequenas oscilações: sen
, então: E o período: 2