1a lista 2009_2

UFRJ - INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA -2009/2 - 1ª. Lista de exercícios
1) Escreva a expressão analítica das funções que têm as seguintes “receitas”
matemáticas:
a. y=f(x):
1º. Passo: tome o logaritmo neperiano de x e quadre-o;
2º. Passo: calcule o seno do resultado do 1º. passo;
3º. Passo: calcule o logaritmo na base 10 da raiz quadrada de x e some ao
resultado do 2º. Passo;
4º. Passo: multiplique o resultado obtido até aqui pelo logaritmo neperiano
do quadrado de x
b. y=g(t):
1º. Passo: tome t e calcule seu seno;
2º. Passo: quadre o resultado do 1º. Passo;
3º. Passo: some o resultado até aqui obtido com a tangente da raiz cúbica
de t;
4º. Passo: some finalmente o quadrado da cotangente de t.
2) Converta as expressões analíticas das funções abaixo indicadas em “receitas”
matemáticas:
1  sen( x)
a. F ( x)  log
1  sen( x)
b. F ( x) 
1
sen (
1
1/ 2
x
)
3) Determine o domínio de definição de cada função apresentada abaixo
1
sendo m e n reais
a. f ( x) 
m  nx
2x  5
x2
b.
f ( x) 
c.
f ( x)  log x 1 (4  x 2 )
d.
f ( x)  log(  x 2  2 x  3)
4) Seja y  f ( x)  e x 1  1 . Calcule:
a. f (a  b) ;
b. f (a)  f (b) ;
c. f (a ) f (b) );
d. f ( a ) / f (b)
5) Dados f ( x)  1  x e g ( x)  1  x , calcule:
a. f (2) / g (2)
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MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA -2009/2 - 1ª. Lista de exercícios
b. f g (2) 
c. g f (2)
d. f (a)  g (a)
6) Seja a função y  f ( x)  x 2 . Prove que:
a. f ( y )  f ( x)  ( y  x)( y  x)
b. f ( x  h)  f ( x)  2 xh  h2
c. f (2 y )  4 f ( y )
d.
f (t 2 )  f (t )2
7) Seja a função definida como:
a.
b.
c.
d.
para
0  x 1
1
f ( x)  

para
1  x  2
2
Esboce o gráfico da f(x)
Seja g ( x)  f (2 x) . Descreva o domínio de g(x) e esboce o seu gráfico;
Seja h( x)  f ( x  2) . Descreva o domínio de h(x) e esboce o seu gráfico;
Seja k ( x)  f (2 x)  f ( x  2) . Descreva o domínio de k(x) e esboce o seu
gráfico.
8) A função f (x) está definida no intervalo [0,2] da seguinte maneira:
 x3
para
0  x  1
f ( x)  

para
1 x  2 
x
a. Esboce o gráfico da função;
b. Faça uma transformação que desloque a curva para a esquerda de 3 unidades;
dê o domínio de definição da função em termos dessa nova variável; esboce o
gráfico em termos dessa nova variável
9) Seja y  f ( x)  ( x  2)4 . Faça a transformação u  x  2 . a) Esboce o gráfico
f (u ) X
u . b) Esboce o gráfico f (u) X
u 2 . c) Esboce agora o gráfico
f (u) X
u 4 . e) Diante destes três resultados gráficos, pergunta-se: representam
eles uma mesma função ou, três funções distintas? f) Esboce o 3º.gráfico em termos
da variável x. g) Em termos de gráfico, a qual operação corresponde a transformação
u  x  2 ? h) Qual o valor de y  f (x) para u  5 ? E para x  5 ?
10) O número de bactérias em uma cultura em placa de Petri após t horas é dado por
B  100e 0, 693t
a. Qual o número inicial de bactérias presentes?
b. Quantas bactérias estarão presentes em 6 horas
c. Quando o número de bactérias será de 200? Estime o tempo de duplicação das
bactérias