UNIVERSIDADE MODERNA

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MATEMÁTICA I - 19/09/05
[duração: 2 horas]
1) Considere o sistema de equações lineares
k  1x  y  k z  0

 x  k y  2 z  1
x  2z  t

onde k e t são parâmetros reais.
[1.5] a) Discuta o sistema em função dos parâmetros reais k e t.
[1.0] b) Resolva o sistema, para k  2 e t  1 .
c) Designe por A a matriz simples do sistema.
[1.5] c1) Diga para que valores de k a matriz A é
invertível.
[2.0] c2) Tomando k  1 , calcule a matriz A1 .
[2.0] c) Ainda com k  1 , resolva a equação matricial
AT AX  A1 .
(Nota: não precisa de fazer as contas finais)
[2.0] d) Use a regra de Cramer para resolver o sistema dado,
considerando k  1 e t  2 .
3) Determine os domínios das funções reais de variável real definidas
por:
[1.0] a) f x  
[1.0] b) f x   log 1  e5 x1 
2x 1
3x  2
4) Escreva as expressões das derivadas das seguintes funções
(apresentando-as numa forma simplificada):
[0.5] a)
log 2 x  1
x
[0.5] b)
5) Calcule:
x 2  e3x
x 2  e3x

x 3  3x 2  4
[1.5] a) lim
x 2 3 x 3  13 x 2  16 x  4
1  e x
[1.5] b) xlim
 

x
[4.0] 6) Faça o estudo e esboce o gráfico da função real de variável real
definida por
f x  
x  log x
x