Aula - UFSM

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UNIDADE 3 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
OBJETIVOS: Estender os conceitos e técnicas do Cálculo Diferencial e Integral
a funções de várias variáveis.
1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição 1. Uma função f de duas variáveis x e y é uma regra que associa
um único número real z = f ( x, y ) para cada ponto ( x, y ) de um conjunto
D ⊂ IR 2 .
Exemplo 1. A pressão P , o volume V e a temperatura T de um gás confinado
estão relacionados pela fórmula (Lei dos gases ideais) PV = kT , onde k ∈ IR .
Assim, por exemplo, P = k
T
.
V
Exemplo 2. A estimativa da área da superfície do corpo humano (Fórmula de
Dubois e Dubois) é dada pela fórmula S( x, y ) = 0,007184 x 0,425 y 0,725 , onde x é
o peso (em Kg) e y é a altura (em cm).
Definição 2.
A) O domínio de uma função f : D ⊂ IR 2 → IR , Dom(f ) , consiste de todos
os pontos ( x, y ) ∈ D tal que f ( x, y ) está bem definida.
B) A imagem de f , Im f , é um subconjunto dos números reais.
Exemplo 2. A temperatura T em uma chapa de metal com a forma de uma
região D é T ( x, y ) =
10
x2 + y 2
, com ( x, y ) ∈ D . Determine T ( 4,3) e T (0,1) .
1
Exemplo 3. Determine o domínio da função f ( x, y ) = x 2 + y 2 .
Exemplo 4. Seja f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2 . Determine Dom ( f ) .
Exemplo 5. Determine o domínio da função f ( x, y ) =
xy − 5
2 y − x2
e represente
geometricamente.
ESBOÇANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES A DUAS VARIÁVEIS
No estudo de Cálculo a uma variável, o gráfico exibe de uma só vez as
características importantes. Os gráficos também são úteis para visualizar
funções de duas variáveis. O gráfico de f ( x, y ) , Gf é o conjunto de pontos
( x, y , z ) ∈ IR 3 com z = f ( x, y ) , ou seja, Gf = {( x, y , f ( x, y )); ( x, y ) ∈ Dom ( f )} .
Exemplo 6. Esboce o gráfico de z = 9 − x 2 − y 2 .
2
Exemplo 7. Esboce o gráfico de z = 1 − x −
1
y.
2
Definição 2. Uma função f de três variáveis x , y e z é uma regra que
associa um único número real f ( x, y , z ) para cada ponto ( x, y , z ) de um
conjunto D ⊂ IR 3 .
Exemplo 9. A força exercida sobre uma partícula de massa m situada no ponto
( x, y , z ) é dada por F ( x, y , z ) =
Gm o m
2
x + y 2 + z2
(Lei da Gravitação Universal de
Newton), onde G é a constante de gravitação universal, m o é a massa quando
a partícula está na origem do sistema xyz .
Exemplo 10. Seja f ( x, y , z ) = 1 − x 2 − y 2 − z 2 . Determine
1 1
a) f (0, ,− )
2 2
b) o domínio de f .
De uma forma geral, uma função f de n variáveis x 1, x 2 ,..., x n é uma regra
que associa um único número real
f ( x1, x 2 ,..., x n )
para cada n-upla
( x1, x 2 ,..., x n ) de algum conjunto D no espaço n-dimensional.
3
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