Matemática – Aula 01 ENEM -Conjuntos numéricos

Conjuntos numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se
colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos
(negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é
igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais
finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma
sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também
conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número
irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu
diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular
bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais (R)
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os
irracionais).
Representado pela letra R.
União
União de A e B
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os
elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B,
chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto
A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
A união de um conjunto
, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio
conjunto
.
,
Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou
seja,
.
Intersecção
Intersecção de A e B (em azul mais escuro)
A intersecção de dois conjuntos
e , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois
conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos
e , pertencentes a um universo U, chamaseintersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a
quanto a .
Matematicamente:
Por exemplo:
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção
resulta num conjunto vazio.
Diferença
Diferença A menos B (em azul mais escuro)
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos
B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se dediferença de B
menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é
igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
N = {1,2,3,4,5,...}
A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio
conjunto A,
.
Exercícios
Exercício 1: (PUC-RIO 2010)
Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar
que:
A)
x=0ey=5
B)
x+y=7
C)
x=0ey=1
D)
x+2y=7
E)
x=y
Exercício 2: (PUC-RIO 2009)
Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme
e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
A)
0.
B)
10
C)
20
D)
30
E)
40
Exercício 3: (PUC-RIO 200
Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram
as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos
erraram as duas questões?
A)
40
B)
10
C)
nenhum
D)
8
E)
5
Exercício 4: (UDESC 2009)
O que os brasileiros andam lendo?
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa
Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que
também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos
leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. (Fonte: Associação Brasileira de
encadernação e Restaure, adapt.)
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas
estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300
pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais.
Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60
lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.
II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.
III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
A)
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B)
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C)
Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
D)
Somente a afirmativa II é verdadeira.
E)
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Exercício 5: (UFF 2010)
Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é
trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes
invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
A)
o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
B)
a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
C)
entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
D)
entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
E)
a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
Exercício 6 : Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ | 2 < x < 20}, então A⋂B =
(A) { }
(B) {2}
(C) {3}
(D) {2,3}
(E) {3,4}
Exercício 7 - - (UEPG PR/2012)
Sobre os conjuntos A = {2, 3, 5}, B = {3, 4} e C, tal que A  C = {2}, B  C = {4} e A  B  C =
{1, 2, 3, 4, 5}, assinale o que for correto.
01. A  B  C = .
02. C – B = {1, 2}.
04. C – A = {3, 5}.
08. 3  C.
16. (A  B)  C = {1, 2, 5}.
Exercício 8: Escreva com símbolos:
a) 4 pertence ao conjunto dos números naturais pares.
b) 9 não pertence ao conjunto dos números primos.
Exercício 9:
Dados os conjuntos A = {1, 2 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 }, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique
em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A Ì B
b) C Ì A
c) B Ì D
d) D Ì B
f) A Ì D
g) B Ì C
Exercício 10:
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩
B ∩ C) é:
a) {a, b, c, e}
b) {a, c, e}
c) A
d) {b, d, e}
e) {b, c, d, e}