Conjuntos_Numericos___Fund._Calculo___2009.2

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CAMPUS: REALENGO
CURSO: _____________________
DISCIPLINA: FUND. CÁLCULO
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO
ALUNO: ________________________________________________________
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
 Conjunto dos Números Naturais:
Os números naturais foi o primeiro sistema de números desenvolvido e foram usados primitivamente, para
contagem. Esse conjunto infinito, denotado por N é dado por N = {1, 2, 3, ...}. Usualmente encontramos e vamos
considerar N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} e N* = {1, 2, 3, 4, ...}.
 Conjunto dos Números Inteiros:
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}.
No conjunto dos números inteiros destacamos cinco subconjuntos:
a)
Z   0, 1, 2, 3, ...  N  conjunto dos inteiros não negativos.
b)
Z   ...,3,  2,  1, 0  conjunto dos inteiros não positivos.
c)
Z *  ...,3,  2,  1, 1, 2, 3,...   conjunto dos inteiros não nulos.
d)
Z *   1, 2, 3, ...  conjunto dos inteiros positivos.
e)
Z *  ...,3,  2,  1  conjunto dos inteiros negativos.
 Conjunto dos Números Racionais:


Chama-se conjunto do números racionais o conjunto Q   x x 
m

, onde m  Z e n  Z * . Logo, podemos os
n

números racionais são todos aqueles números que podem ser escritos na forma de uma fração, onde o numerador é um
número inteiro e o denominador é um número inteiro não nulo.
Observe que todo número natural é um número inteiro e todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma
fração, logo: N  Z  Q.
Como podemos observar os números decimais exatos e as dízimas periódicas também são números racionais.
Exemplos:
a) 7  Q, pois 7 
14
2
c)  3  Q, pois  3 
b) 0  Q, pois 0 
6
2
e) 0,3333 ... Q, pois 0,3333 ... 
0
2
d) 0,7  Q, pois 0,7 
7
10
1
3
1
 Conjunto dos Números Irracionais:
Os números que não podem ser escritos na forma
p
, com q  0, p,q  Z, isto é, os números que não pertencem
q
a Q, são definidos como números irracionais. O conjunto dos números irracionais pode ser representado por
Q ' , Q ou I .Em símbolos podemos escrever: Q'  x x  Q.
Por exemplo, são números irracionais, as raízes não exatas,
2,
3 , 3 2 , etc... , o número , pois não podem ser
escritos em forma de fração.
 Conjunto dos Números Reais:
Da reunião do conjunto dos Números Racionais com o conjunto dos Números Irracionais, resulta o conjunto dos
Números Reais ( R ).
Em R estão definidas duas operações, adição ( + ) e multiplicação ( . ), e uma relação (  ). A adição associa a
cada par (x,y) de números reais um único número real indicado por (x + y), a multiplicação um único número real (x.y).
Sejam x,yR, dizemos que x é estritamente menor que y (ou y é estritamente maior que x) e escrevemos x < y (ou
y > x) se existe um número real K estritamente positivo tal que y = x + K. A notação x  y é usada para indicar a
afirmação “x < y ou x = y”. A notação x  y é equivalente a y  x.
Intervalos Numéricos:
Sejam a, b  R, com a  b. Um intervalo é um subconjunt o de R descritos na seguinte forma :
. Intervalo fechado :
a, b  x  R / a  x  b
. Intervalo aberto :
a, b  x  R / a  x  b
.Intervalo s semi - abertos :
a, b  x  R / a  x  b
a, b  x  R / a  x  b
Com relação a  devemos observar que é um símbolo e não um número.
 , a  x  R / x  a
 , a  x  R / x  a
a,    x  R / x  a
a,    x  R / x  a
Exemplos:
a) 2,5  é o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 2 e 5, incluindo o 2 e não incluindo o 5.
b)  ,4  é o conjunto de todos os números reais menores que 4.
2
EXERCÍCIOS:
1) Sendo N o Conjunto dos Números Naturais, Z o conjunto dos Números Inteiros, Q o Conjunto dos Números Racionais
e R o conjunto dos Números Reais, associe V (verdadeiro) ou F (falso) para cada sentença abaixo:
(
)NQ
(
)ZQ
(
)0Q
(
)–3N
(
) 0  R*
(
) N = Z
) 12  R
(
(
)
 25  R
3
8


2) Considerando o conjunto U =  1, 2, 0, , 5, ,  5, 17  , responda:
4
2


a) Quais são números naturais?
b) Quais são números inteiros?
c) Quais são números racionais?
d) Quais são números irracionais?
e) Quais são números reais?
3) Considerando o conjunto U do exercício anterior (nº 2), determinar os seguintes conjuntos:
a) A  x  U x  0
e) E  x  U 2 x  0
c) C  x  U 4  x  5
g) G  x  U x  1 e x  3
b) B  x  U x  0
d) D  x  U x  1  2
f) F  x  U x  4
h) H  x  U x  1
4) Resolva, em R, as equações:
a) 6 x  5  4 x  9  12
b) 7.x  1  x.x  5  3  x  3
. x  2
c) 3x  1
. x  2  0
5) Resolva os sistemas:
 x  2 y  1
a) 
2 x  y  12
6) Resolva os problemas:
a) Um pagamento foi acrescido de 50¢ de seu valor inicial, resultando em um total a ser pago de R$ 300,00. Qual o
valor da dívida original?
b) A quantidade de equilíbrio para um produto é a quantidade q a ser produzida e comercializada tal que o custo de
produção é igual à receita de vendas. Se a equação da receita é R = 10q e o custo é C = 4q + 1800, qual é a
quantidade de equilíbrio para esse produto?
3
7) Descrever na notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
1,3
b) 0,2
a)
 ,4
c)
e) 7,9
d) 1,
f)
 ,0
8) Represente sobre a reta real:
1,3
b)  ,4
1,
d) 7,9
a)
c)
9) Represente na notação de intervalo:
a) x  R /  2  x  5
b) x  R / x  5
10) Sejam A e B conjuntos não vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B (A x B), por:
A x B  ( x, y ) / x  A e y  B. Logo, se A   2,0,1 e B  0,2, determine :
a) A x B
b) B x A
c) A²
d) B²
11) Localize no plano cartesiano os seguintes pontos:
A(3, 2), B(0, –2), C(–3, –1), D(4, –3), E(0, 2), F(0, 4), G(–3, 0), H(4, 0) e I(0, 0).
y







x
























4
12) Dados os conjuntos A   2,1,0,1,2 e B  0,1,2,3,4, determine :


a) A relação R  ( x, y )  A x B / y  x 2 ;
b) A relação R  ( x, y )  A x B / y  2 x  1 ;
13) Sejam os conjuntos A  0,1,2 e B  0,2,3. Determine a relação R de A em B definida por x < y:
5