UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO CURSO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA I PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO DATA: ___/___/____ ALUNO: __________________________________________________________ CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Números Naturais: Os números naturais foram o primeiro sistema de números desenvolvido e foram usados primitivamente, para contagem. Esse conjunto infinito, denotado por N é dado por N = {1, 2, 3, ...}. Usualmente encontramos e vamos considerar N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} e N* = {1, 2, 3, 4, ...}. Conjunto dos Números Inteiros: Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}. No conjunto dos números inteiros destacamos cinco subconjuntos: a) Z 0, 1, 2, 3, ... N conjunto dos inteiros não negativos. b) Z ...,3, 2, 1, 0 conjunto dos inteiros não positivos. c) Z * ...,3, 2, 1, 1, 2, 3,... conjunto dos inteiros não nulos. d) Z * 1, 2, 3, ... conjunto dos inteiros positivos. e) Z * ...,3, 2, 1 conjunto dos inteiros negativos. Conjunto dos Números Racionais: Chama-se conjunto do números racionais o conjunto Q x x m , onde m Z e n Z * . Logo, podemos os n números racionais são todos aqueles números que podem ser escritos na forma de uma fração, onde o numerador é um número inteiro e o denominador é um número inteiro não nulo. Observe que todo número natural é um número inteiro e todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, logo: N Z Q. Como podemos observar os números decimais exatos e as dízimas periódicas também são números racionais. Exemplos: a) 7 Q, pois 7 14 2 c) 3 Q, pois 3 b) 0 Q, pois 0 6 2 e) 0,3333 ... Q, pois 0,3333 ... 0 2 d) 0,7 Q, pois 0,7 7 10 1 3 1 Conjunto dos Números Irracionais: Os números que não podem ser escritos na forma p , com q 0, p,q Z, isto é, os números que não pertencem q a Q, são definidos como números irracionais. O conjunto dos números irracionais pode ser representado por Q ' , Q ou I .Em símbolos podemos escrever: Q' x x Q. Por exemplo, são números irracionais, as raízes não exatas, 2, 3 , 3 2 , etc... , e o número . Conjunto dos Números Reais: Da reunião do conjunto dos Números Racionais com o conjunto dos Números Irracionais, resulta o conjunto dos Números Reais ( R ). Em R estão definidas duas operações, adição ( + ) e multiplicação ( . ), e uma relação ( ). A adição associa a cada par (x,y) de números reais um único número real indicado por (x + y), a multiplicação um único número real (x.y). Sejam x,yR, dizemos que x é estritamente menor que y (ou y é estritamente maior que x) e escrevemos x < y (ou y > x) se existe um número real K estritamente positivo tal que y = x + K. A notação x y é usada para indicar a afirmação “x < y ou x = y”. A notação x y é equivalente a y x. A quádrupla (R, +, ., ) satisfaz as seguintes propriedades (x, y, z R); a) Associativa: (A1) ( x y) z x ( y z) (M1) ( x. y).z x.( y.z) b) Comutativa: (A2) x y y x (M2) x. y y.x c) Existência do elemento neutro: (A3) x 0 x (M3) x.1 x d) Existência do oposto: (A4) x R, y R x y 0. Tal y denomina-se o oposto de x e indica-se por – x . Assim, x ( x) 0 . e) Existência do elemento inverso: (M4) x R, x 0 y R x. y 1. Tal y denomina-se inverso de x e indica-se por x 1 ou 1 1 . Assim, x . x 1 x f) Distributiva da multiplicação em relação a adição: (D) x.( y z ) x. y x.z g) Reflexiva: (01) x x h) Anti-simétrica: (O2) Se x y e y x x y i) Transitiva: (O3) Se x y e y z x z 2 j) Tricotomia: (O4) x, y R, x y, x y ou x y k) Compatibilidade da ordem com a adição: (OA) Se x y x z y z l) Compatibilidade da ordem com a multiplicação: z 0, xz yz (OM) Se x y z 0, xz yz Seja A um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e suponhamos que em A estejam definidas duas operações indicadas por + e . ; se a terna (A, +, .) satisfazer as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4) e (D), diremos que (A, +, .) é um corpo. Se, além disso, estiver definida uma relação ( ) de modo que a quádrupla (A, +, ., ) satisfaça todas as 15 propriedades acima, diremos que (A, +, ., ) é um corpo ordenado. Conjunto dos Números Complexos: No conjunto dos números reais não negativos a radiciação é uma operação, qualquer que seja o real não negativo a, n a R Por exemplos: Se o Por exemplo, índice 5 32 , 3 25 , for 3, 5 8 ,... são números reais. ímpar, n a R para um número real não negativo a. 2 , são números reais. Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, o radical n a R . Por exemplo, 1 R , pois é impossível obter x real tal que x² = –1. Esse problema é resolvido através do Conjunto dos Números Complexos (C), que será estudado posteriormente. Módulo de um número real: Seja x R . Definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por: x, x 0 x . x , x 0 O módulo de um número real também pode ser definido das seguintes formas: x x2 e x max x, x Exemplos: a) 3 3 b) 3 3 c) 0 0 3 Decorrem da definição as seguintes propriedades ( x, y, a R) : 1ª.) x 0; 2ª.) x 0 x 0 2 3ª ) x x 2 4ª.) x. y x . y 5ª.) x y x y 6ª.) x a a x a, sendo a 0 7ª.) x a x a ou x a, sendo a 0 Intervalos Numéricos: Sejam a, b R, com a b. Um intervalo é um subconjunt o de R descritos na seguinte forma : . Intervalo fechado : a, b x R / a x b . Intervalo aberto : a, b x R / a x b .Intervalo s semi - abertos : a, b x R / a x b a, b x R / a x b Com relação a devemos observar que é um símbolo e não um número. , a x R / x a , a x R / x a a, x R / x a a, x R / x a Exemplos: a) 2,5 é o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 2 e 5, incluindo o 2 e não incluindo o 5. b) ,4 é o conjunto de todos os números reais menores que 4. 4 EXERCÍCIOS: 1) Sendo N o Conjunto dos Números Naturais, Z o conjunto dos Números Inteiros, Q o Conjunto dos Números Racionais e R o conjunto dos Números Reais, associe V (verdadeiro) ou F (falso) para cada sentença abaixo: ( )NQ ( )ZQ ( )0Q ( )–3N ( ) 0 R* ( ) N = Z 2) Considerando o conjunto U = 1, 2, 0, ) 12 R ( ( ) 25 R 3 8 , 5, , 5, 17 , responda: 4 2 a) Quais são números naturais? b) Quais são números inteiros? c) Quais são números racionais? d) Quais são números irracionais? e) Quais são números reais? 3) Considerando o conjunto U do exercício anterior (nº 2), determinar os seguintes conjuntos: a) A x U x 0 e) E x U 2 x 0 c) C x U 4 x 5 g) G x U x 1 e x 3 b) B x U x 0 f) F x U x 4 d) D x U x 1 2 h) H x U x 1 4) Descrever na notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: 1,3 b) 0,2 a) ,4 c) d) 1, e) 7,9 f) ,0 5) Represente sobre a reta real: 1,3 b) ,4 1, d) 7,9 a) c) 6) Represente na notação de intervalo: a) x R / 2 x 5 b) x R / x 5 7) Resolva, em R, as equações: a) 7.x 3 x.x 5 5 x 3 . x 2 b) 3x 2 5 2x x 2 x 8 6 7) Sejam A e B conjuntos não vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B (A x B), por: A x B ( x, y ) / x A e y B. Logo, se A 2,0,1 e B 0,2, determine : a) A x B b) B x A c) A² d) B² 5 8) Dados os conjuntos A 2,1,0,1,2 e B 0,1,2,3,4, determine : a) A relação R ( x, y ) A x B / y x 2 ; b) A relação R ( x, y ) A x B / y 2 x 1 ; 9) Sejam os conjuntos A 0,1,2 e B 0,2,3. Determine a relação R de A em B definida por x < y: 10) Verifique se as relações definidas nos exercícios 8 e 9 são funções, justificando a sua resposta: 11) Localize no plano cartesiano os seguintes pontos: A(3, 2), B(0, –2), C(–3, –1), D(4, –3), E(0, 2), F(0, 4), G(–3, 0), H(4, 0) e I(0, 0). y x 6