RESUMO SOBRE TRIGONOMETRIA NO CICLO Medida de um arco

Nome
___________________________________________ Série 2a ____ No _____
Professor
Disciplina
Celso Longo
Matemática
Data ____________
RESUMO SOBRE TRIGONOMETRIA NO CICLO
Medida de um arco
A medida de um arco é igual à medida do ângulo central correspondente.
Na figura, temos medida do arco AB  AOˆ B   .
As unidades de medidas de arcos (ângulos) mais usadas são o grau e o radiano.
O grau (0) corresponde a 1
da circunferência na qual está inserido.
360
O radiano (rad) é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o
contém.
B
r
O
l

A
r
Comprimento de um arco
O comprimento de um arco depende do raio da circunferência considerada.
Para se medir um arco, em radianos, deve-se calcular quantas vezes o raio “cabe” no comprimento desse arco. Assim,
l
   l   .r
r
Note que a circunferência possui 3600 ou 2 rad. Logo, a conversão de unidades deve obedecer à equivalência:
180 0   rad
Ciclo trigonométrico
É uma circunferência de raio unitário (raio = 1) onde os arcos trigonométricos
têm:
 Origem no ponto A de coordenadas (1,0).
 Medidas algébricas positivas, se percorridos no sentido anti-horário.
 Medidas algébricas negativas, se percorridos no sentido horário.
r =1
O
A(1,0)

2

II
I
III
IV
3
2
0  2
Perceba que dessa forma podemos associar a cada ponto da circunferência um
número real.
O par de eixos cartesianos dividem o círculo em questão em 4 partes congruentes
denominadas quadrantes que estão numerados, em algarismos romanos, sempre
no sentido anti-horário.
Seno, co-seno e tangente de um arco
eixo dos senos
eixo das tangentes
O arco AB tem medida x
B
senx
r
x tgx
raio r, onde r = 1
A
O
cos x P
eixo dos cossenos
Material produzido em papel ecológico feito a partir do bagaço da cana-de-açúcar.
Relações fundamentais
No triângulo retângulo OBP, temos, aplicando o teorema de Pitágoras: sen 2 x  cos 2 x  1
Da semelhança dos triângulos retângulos OBP e OAT, podemos deduzir: tgx 
senx
cos x
Valores notáveis
Arcos/razões
trigonométricas
00 (0)
300 (
450 (
600 (
900 (

6

4

3

2
)
)
)
)
seno
co-seno
tangente
0
1
2
0
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
1
0
3
3
1
3

Outras relações trigonométricas
Co-tangente
cos x
cot gx 
senx
Secante sec x 
1
cos x
Co-secante cos sec x 
, senx  0
, cos x  0
1
, senx  0
senx
Relações decorrentes
cot gx 
1
, se senx  0 e cos x  0
tgx
1  tg 2 x  sec2 x
, se cos x  0
1  cot g 2 x  cos sec2 x , se senx  0
Relações que usam o conceito de ângulos complementares
senx  cos(90 0  x) e cos x  sen(90 0  x)
cot gx  tg (90 0  x) e tgx  cot g (90 0  x) , se senx  0 e cos x  0
cos sec x  sec(90 0  x) e sec x  cos sec(90 0  x) , se senx  0 e cos x  0
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Expressão geral de um arco
Se  é a medida de um arco na primeira volta, então todos os arcos côngruos a  (com extremidades no mesmo
ponto do ciclo) têm medidas dadas por
  k .360 0 , k  Z , para  em graus ou   k .2 , k  Z , para  em radianos
Obs: Se  é a medida positiva de um arco na primeira volta, ele recebe o nome de primeira determinação positiva.
Função seno
y  senx
Função co-seno
Função tangente
y  cos x
y  tgx
Funções trigonométricas
Domínio D  R ; Imagem Im   1,1 e Período P  2
Domínio D  R ; Imagem Im   1,1 e Período P  2


Domínio D  x  R / x   2  k ; Imagem Im  R e Período P  
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Regra prática para o cálculo do período de uma função trigonométrica
2
c
A função y  a  bsen(cx  d ) tem período P 
Se trocarmos a função seno por co-seno, secante ou co-secante o período não se altera.
A função y  a  btg(cx  d ) tem período P 

c
Se substituirmos a função tangente por co-tangente o período não se modifica.
Fórmulas de adição (subtração)
sen(a  b)  senacos b  senbcos a
sen(a  b)  senacos b  senbcos a
cos(a  b)  cos a cos b  senasenb
cos(a  b)  cos a cos b  senasenb
tga  tgb
tg (a  b) 
1  tga.tgb
tga  tgb
tg (a  b) 
1  tga.tgb
Fórmulas de duplicação
Basta fazer nos casos de adição acima a  b  x
sen 2 x  2senx cos x
cos 2 x  cos 2 x  sen 2 x
2tgx
tg 2 x 
1  tg 2 x
Fórmulas de transformação em produto
pq
pq
cos
2
2
pq
pq
senp  senq  2sen
cos
2
2
pq
pq
cos p  cos q  2 cos
cos
2
2
pq
pq
cos p  cos q  2sen
sen
2
2
sen( p  q)
tgp  tgq 
cos p cos q
sen( p  q)
tgp  tgq 
cos p cos q
senp  senq  2sen
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